一種改進(jìn)的自適應(yīng)格型陷波頻率估計(jì)算法及其收斂性分析

沈廷鰲，涂亞慶，張海濤，楊輝躍

(后勤工程學(xué)院 信息工程系，重慶 401311)

頻率估計(jì)是信號處理中的一項(xiàng)重要技術(shù)，在通信、聲納、振動控制、生物醫(yī)學(xué)等方面均有著廣泛的應(yīng)用。主要的頻率估計(jì)方法可分為參數(shù)模型法和非參數(shù)模型法［1－2］:兩者均具有較高的頻率分辨率，但參數(shù)模型法的性能受初始參數(shù)影響較大;非參數(shù)模型法存在計(jì)算量較大和難以實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)的問題。

利用自適應(yīng)陷波器進(jìn)行頻率估計(jì)，實(shí)際就是對其進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化的問題。自適應(yīng)陷波器可以根據(jù)被處理信號的特點(diǎn)，自動調(diào)節(jié)自身模型參數(shù)，以確定最優(yōu)陷波頻率，實(shí)現(xiàn)頻率的實(shí)時(shí)測量與跟蹤而倍受國內(nèi)外研究者［3－5］的關(guān)注。其中，自適應(yīng)格型陷波器由于結(jié)構(gòu)算法簡單、短時(shí)頻率跟蹤精度較高而得到了較廣泛的應(yīng)用［6－9］。然而陷波器均存在一個難題:即濾波器的非二次誤差曲面含有局部最優(yōu)值，當(dāng)算法梯度達(dá)到一個局部最優(yōu)值時(shí)，算法將固定參數(shù)值在局部最優(yōu)值上而停止調(diào)整，從而喪失對信號頻率變化的持續(xù)跟蹤能力。

本文利用濾波增強(qiáng)信號與原始信號的相關(guān)性，設(shè)計(jì)一個頻率跟蹤質(zhì)量評價(jià)因子，借鑒反饋控制的思想，根據(jù)頻率跟蹤質(zhì)量實(shí)時(shí)監(jiān)測并自動調(diào)整陷波參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)持續(xù)穩(wěn)定地跟蹤信號頻率的變化。據(jù)此原理，為推動自適應(yīng)格型陷波器得到更為廣泛的應(yīng)用，本文提出了一種改進(jìn)算法，以提高算法的收斂速度和持續(xù)跟蹤精度，給出了具體的實(shí)現(xiàn)算法，并利用MATLAB仿真與原有算法進(jìn)行了有關(guān)性能的比較分析。

1 自適應(yīng)格型陷波器

自適應(yīng)格型陷波器由全零點(diǎn)和全極點(diǎn)兩個格型濾波器級聯(lián)而成［6－8］。為了降低計(jì)算復(fù)雜度，徐科軍等［9］把零點(diǎn)固定在單位圓上，通過調(diào)整一個參數(shù)就可實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)陷波。其實(shí)現(xiàn)方式如圖1所示，傳遞函數(shù)為:

式中:k0為權(quán)系數(shù)，用于計(jì)算信號陷波頻率，k0經(jīng)過一段時(shí)間后會自適應(yīng)收斂到－cosω;ω為被處理信號y(n)的歸一化頻率;ρ為去偏置參數(shù)，決定陷波器陷阱帶寬。

y(n)－x(n)為去除噪聲后的增強(qiáng)信號，具體的實(shí)現(xiàn)算法參見參考文獻(xiàn)［9］。

圖1 自適應(yīng)格型陷波器的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of lattice-based adaptive notch filter

2 改進(jìn)算法

2.1 問題分析

自適應(yīng)陷波器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)會導(dǎo)致非二次型誤差曲面收斂至局部最優(yōu)，從而使得陷波器不完全收斂［10－11］，當(dāng)待估信號頻率很低或很高時(shí)尤為明顯。圖2給出了自適應(yīng)陷波器跟蹤單正弦信號的誤差曲面［12］。圖2(a)收斂因子ρ≈1，收斂區(qū)域內(nèi)誤差陷入局部最優(yōu)，梯度降為0，從而導(dǎo)致算法喪失自適應(yīng)能力;圖2(b)為正常跟蹤信號頻率的情況。

圖2 錯誤跟蹤(a)和正常跟蹤(b)時(shí)陷波器的誤差曲面Fig.2 Thefilter’s error surface in the case of(a)frequency miss-lock(b)correct frequency lock

在自適應(yīng)調(diào)整過程中，隨著收斂因子趨近于1，誤差曲面將陷入局部最優(yōu)，導(dǎo)致陷波器無法感知信號頻率的變化，從而失去對信號頻率變化的持續(xù)跟蹤能力。

2.2 改進(jìn)措施

當(dāng)誤差曲面陷入局部最優(yōu)時(shí)，陷波器失去自適應(yīng)能力，此時(shí)，可通過調(diào)整陷波器參數(shù)來增加陷波帶寬的方法，讓其重新恢復(fù)自適應(yīng)能力。原理分析如下:

采用陷波器跟蹤信號頻率，在輸入信號先驗(yàn)知識未知時(shí)，初始陷波帶寬往往較大，以便能盡快捕捉到信號頻率。隨著陷波參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整，收斂因子ρ趨近于1，陷波帶寬趨近于0，誤差曲面將陷入局部最優(yōu)值而非全局最優(yōu)值，陷波器可能鎖定在一個錯誤頻率上，此時(shí)，信號頻率在陷波帶寬之外，頻率估計(jì)結(jié)果存在較大偏差。在這種情況下，增加陷波帶寬可使陷波器能重新跟蹤信號頻率的變化，讓其恢復(fù)自適應(yīng)能力。此外，當(dāng)陷波器鎖定在正確頻率時(shí)，增加陷波帶寬也不會對頻率估計(jì)精度有太大影響，因?yàn)榇藭r(shí)正確頻率的誤差曲面確保了頻率是朝著原來正確方向調(diào)整的。

因此，一旦收斂因子ρ趨近于1，可通過增加陷波帶寬的方法，以確保陷波器不會鎖定在一個錯誤頻率上，進(jìn)而確保陷波器的有效性。

2.3 評價(jià)因子

采用增加陷波帶寬的方法，能重新恢復(fù)陷波器的自適應(yīng)能力，可提高收斂速度，但同時(shí)也會增大信號頻率估計(jì)的方差，因?yàn)樵谠黾酉莶◣挼耐瑫r(shí)會引入部分噪聲。為兼顧收斂速度和估計(jì)精度，需要增加一個頻率跟蹤質(zhì)量評價(jià)因子，用于實(shí)時(shí)監(jiān)測并自動調(diào)整陷波參數(shù)。頻率跟蹤質(zhì)量評價(jià)因子的設(shè)計(jì)過程及原理分析如下:

設(shè)輸入信號為y(n)=c(n)+e(n)，c(n)為時(shí)變正弦信號，e(n)為零均值高斯白噪聲，c^(n)為濾波增強(qiáng)信號。由圖1和式(1)可推導(dǎo)出:

由式(2)可知，c^(n)不依賴y(n)的前期輸入，與噪聲e(n)無關(guān)。若陷波器正常工作，則濾波增強(qiáng)信號c^(n)≈c(n)與y(n)顯著相關(guān);否則 c^(t)≈e(n)與 y(t)不相關(guān)。

為檢測陷波器是否有效跟蹤信號基頻，根據(jù)c^(n)和y(n)的相關(guān)性，設(shè)計(jì)一個頻率跟蹤質(zhì)量評價(jià)因子h(n)，h(n)可由圖3所示的0階LMS算法在線計(jì)算得到。

圖3 改進(jìn)的自適應(yīng)格型陷波器結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of the improved adaptive lattice notch filter

LMS算法可由下式表示:

式中:μh是步長，收斂狀態(tài)下，h是維納－霍夫(Wiener-Hopf)方程［12］的解:

其中:

若陷波器正常跟蹤信號基頻，則c^(n)≈c(n)，h收斂為:

若陷波器鎖定在錯誤頻率上，則c^(n)與c(n)不相關(guān)，E{c(n)c^(n)}≈0，則 h≈0。因此，可通過檢測h(n)的值來判斷陷波器是否有效跟蹤信號基頻。若h(n)低于設(shè)定值Th，則說明陷波頻率偏離信號基頻，此時(shí)需對陷波器參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，以增加陷波帶寬，進(jìn)而使陷波器恢復(fù)自適應(yīng)能力。

2.4 算法實(shí)現(xiàn)

根據(jù)上述分析，對自適應(yīng)格型陷波頻率估計(jì)算法進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)算法實(shí)現(xiàn)流程如圖4所示。

具體實(shí)現(xiàn)算法如下:

Step1:初始化參數(shù)

k^0(0)，λ(0)，λr，λ∞，ρ(0)，ρr，ρ∞，Th，μh

圖4 改進(jìn)算法流程圖Fig.4 Flow chart of the improved algorithm

Step2:采用自適應(yīng)格型陷波算法跟蹤檢測信號頻率

Step3:根據(jù)頻率跟蹤質(zhì)量實(shí)時(shí)監(jiān)測并調(diào)整陷波參數(shù)

需要說明的是，如改進(jìn)算法流程圖及其具體實(shí)現(xiàn)算法所示:改進(jìn)算法在原有算法的基礎(chǔ)上，只是引進(jìn)了一個頻率跟蹤質(zhì)量評價(jià)因子，用于實(shí)時(shí)監(jiān)測并自動調(diào)整陷波參數(shù)，本文僅是借鑒了反饋控制的思想，并沒有增加算法的計(jì)算量。

3 仿真研究

設(shè)陷波器的輸入信號由正弦信號和噪聲信號組成，即

式中:幅值A(chǔ)(n)、歸一化角頻率ω(n)和相位φ(n)按照隨機(jī)游動模型變化，時(shí)變信號模型及自適應(yīng)格型陷波器相關(guān)參數(shù)值的選取參見參考文獻(xiàn)［9］。

改進(jìn)算法有關(guān)參數(shù)設(shè)定值為:

采用兩種算法估計(jì)信號頻率，圖5～6為兩次獨(dú)立的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從圖中可以看出本文方法的頻率跟蹤曲線較好地與真實(shí)頻率變化曲線吻合，與原有算法相比，本文方法的長時(shí)頻率跟蹤效果更好、精度更高。表1列出了兩種算法真實(shí)頻率均值均方誤差均值MSE的比較，為去除收斂過程的影響，及MSE分別按下式計(jì)算:

天時(shí)——近年來電商和新能源的不斷發(fā)展，催生很多老舊倉儲中心升級改造和新興倉儲中心規(guī)劃建設(shè)，其對于內(nèi)部倉儲設(shè)備的要求更加緊貼社會、科技發(fā)展，而中鼎在過去積累的定制化解決方案經(jīng)驗(yàn)和核心設(shè)備的自主研發(fā)制造成為其獨(dú)到的市場競爭優(yōu)勢；地利——民族品牌建設(shè)更加接地氣，更加快速應(yīng)對中國物流行業(yè)發(fā)展新需求，許多客戶都贊許說：“中鼎倉儲管理軟件和自動化倉儲設(shè)備，能夠有效做到因需而變、快速反應(yīng)”；人和——與諾力集團(tuán)的合作，讓中鼎的研發(fā)實(shí)力更加雄厚，產(chǎn)品線更加豐富，可為客戶提供更加完善的倉儲一體式解決方案。張總說：“當(dāng)坐擁如此的“天時(shí)地利人和”，中鼎又豈能不收獲成功呢？”

圖5 真實(shí)頻率與估計(jì)頻率比較實(shí)驗(yàn)1Fig.5 Comparison experiment 1 between true frequency and estimated frequency

和MSE值的比較and MSE acquired by the two methods

和MSE值的比較and MSE acquired by the two methods

MSE原有算法 0.314 175 0.314 046 3.418 5 ×10 ω— ω^—－8本文方法 0.314 175 0.314 083 1.628 4 ×10－8

圖6 真實(shí)頻率與估計(jì)頻率比較實(shí)驗(yàn)2Fig.6 Comparison experiment 2 between true frequency and estimated frequency

由表1可見，本文方法估計(jì)頻率均值更接近真實(shí)頻率均值，且均方誤差均值更小，說明本文方法持續(xù)跟蹤信號頻率隨機(jī)緩慢變化的精度和工作穩(wěn)定性更好。

4 收斂性分析

通過分析陷波器原理可知，初始陷波帶寬越寬，收斂速度越快。改進(jìn)算法在原有算法的基礎(chǔ)上增加了一個頻率跟蹤質(zhì)量評價(jià)因子，用于實(shí)時(shí)監(jiān)測和自動調(diào)整陷波參數(shù)。在陷波器跟蹤信號頻率的初始階段，該評價(jià)因子能始終使改進(jìn)算法保持較大的陷波帶寬，以使改進(jìn)算法能盡快捕捉到信號頻率，因而可獲得比原有算法更快的收斂特性。

從圖5和圖6可以看出，兩種方法在前期估計(jì)信號頻率的效果均較好，但無法從圖形中對兩種方法的收斂性進(jìn)行比較分析。為了進(jìn)一步考察兩種方法的收斂特性，提出兩種比較方法:

方法1:對EA值的偏差估計(jì)

首先定義如下函數(shù):

式(10)中，c(n)為正弦信號，ε(n)為輸出信號。在理想狀態(tài)下，陷波器將把正弦信號c(n)濾除，其輸出只存在噪聲信號e(n)，此時(shí)EA值即為信號的理想信噪比值。對EA值進(jìn)行仿真分析，越先靠近并穩(wěn)定在理想信噪比值的方法，其收斂速度越快，濾波效果越好。

方法2:對陷波濾波后的增強(qiáng)信號進(jìn)行比較

對陷波濾波后的增強(qiáng)信號進(jìn)行比較分析，增強(qiáng)信號越先達(dá)到穩(wěn)定的，其收斂速度越快，濾波效果越好。采用陷波濾波后的增強(qiáng)信號來分析不同方法的收斂特性和濾波效果，是最直觀有效的一種方法。

圖7為原始信號經(jīng)原有算法與經(jīng)本文方法陷波濾波后得到的增強(qiáng)信號的比較。從圖中可以看出，經(jīng)原有算法陷波濾波后得到的增強(qiáng)信號在500點(diǎn)左右才達(dá)到穩(wěn)定，而經(jīng)本文方法陷波濾波后得到的增強(qiáng)信號在200點(diǎn)左右便達(dá)到穩(wěn)定，其收斂時(shí)間更短，去噪效果更好，得到的增強(qiáng)信號受收斂過程的影響較小。

圖7 經(jīng)格型陷波器與本文方法陷波濾波后增強(qiáng)信號的比較Fig.7 Comparison of the enhanced signals by LANF and the presented method

5 結(jié)論

當(dāng)收斂因子趨近于1時(shí)，自適應(yīng)陷波器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)將使得誤差曲面陷入局部最優(yōu)，從而失去對信號頻率變化的持續(xù)跟蹤能力。本文利用濾波增強(qiáng)信號與原始信號的相關(guān)性原理，設(shè)計(jì)一個頻率跟蹤評價(jià)因子，以實(shí)時(shí)監(jiān)測并自動調(diào)整陷波參數(shù)，據(jù)此原理提出了一種改進(jìn)的自適應(yīng)格型陷波頻率估計(jì)算法，并進(jìn)行了仿真比較和性能分析。結(jié)果表明本文方法具有以下特點(diǎn):

(1)改進(jìn)算法的長時(shí)持續(xù)跟蹤信號頻率隨機(jī)緩慢變化的精度和穩(wěn)定性更好;

(2)改進(jìn)算法在不增加計(jì)算量的前提下，收斂速度更快，去噪效果更好;

(3)本文方法的思想還可參考應(yīng)用于其它類型的自適應(yīng)陷波器。

［1］ Ignacio S，Carlos P，Jesus I.A comparative study of high －accuracy frequency estimation methods［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2000，14(5):819－834.

［2］張 磊，束立紅，劉永光，等.基于級聯(lián)自適應(yīng)陷波器的正弦波頻率估計(jì)［J］.信號處理，2006，22(3):387－389.ZHANG Lei，SHU Li-hong，LIU Yong-guang，et al.A method of sinusoidal frequency estimation based on cascaded adaptive notch filter［J］.Signal Processing，2006，22(3):387－389.

［3］張世平，趙永平，張紹卿，等.一種改進(jìn)的自適應(yīng)格型陷波算法及其收斂性分析［J］.電子學(xué)報(bào)，2004，32(2):338－341.ZHANG Shi-ping，ZHAO Yong-ping，ZHANG Shao-qing，et al.A modified adaptive algorithm of Lattice Notch Filter and its convergence analysis［J］.Acta Electronica Sinica，2004，32(2):338－341.

［4］儲昭碧，張崇巍，馮小英.基于自適應(yīng)陷波濾波器的頻率和幅值估計(jì)［J］.自動化學(xué)報(bào)，2010，36(1):60－66.CHU Zhao-bi，ZHANChong-wei，F(xiàn)ENGXiao-ying.Adaptive notch filter-based frequency and amplitude estimation ［J］.Acta Automatica Sinica，2010，36(1):60－66.

［5］涂亞慶，蘇奮華，沈廷鰲，等.自適應(yīng)陷波器的科氏流量計(jì)信號頻率跟蹤方法［J］.重慶大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，34(10):147－152.TU Ya-qing，SU Fen-hua，SHEN Ting-ao，et al.Frequency tracking method and simulation for Coriolis Mass Flowmeter based on new adaptive notch filter［J］.Journal of Chongqing University，2011，34(10):147－152.

［6］ Regalia P.An improved lattice－based adaptive IIR notch filter［J］.IEEE Trans.Signal Processing，1991，39(9):2124－2128.

［7］ Cho N I，Lee S U.Tracking analysis of an adaptive lattice notch filter［J］.IEEE Trans.Circuits and Systems，1995，42(5):186－195.

［8］潘欣裕，趙鶴鳴，陳雪勤.修正自適應(yīng)格型陷波器及其應(yīng)用［J］.聲學(xué)技術(shù)，2007，26(6):1254－1258.PAN Xin-yu，ZHAOHe-ming，CHEN Xue-qin.An improved adaptive lattice notch filter and its application［J］.Technical Acoustics，2007，26(6):1254 －1258.

［9］徐科軍，倪 偉，陳智淵.基于時(shí)變信號模型和格型陷波器的科氏流量計(jì)信號處理方法［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2006，27(6):596－601.XU Ke-jun，NI Wei，CHEN Zhi-yuan.A signal processing method for Coriolis mass flowmeter based on time－varying signal model and lattice notch filter［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，2006，27(2):596 －601.

［10］ Shynk J.Adaptive IIR filtering［J］.IEEE ASSP Magazine，1989，4:5－21.

［11］Ta M，Thai H，DeBrunner V.Adaptive tracking in the timefrequency plane and its application in causal real-time speech analysis［C］.ICASSP 2009:3233 －3236.

［12］Ta M，Thai H，DeBrunner V.Stochastic search methods to improve the convergence of adaptive notch filter［C］.IEEE 13th DSP workshop，2009:78－83.