解析幾何中范圍和最值問題的解法研究

阮世雄

平面解析幾何歷來是高考的重頭戲，尤其是解答題，每年必考且?？汲Ｐ?，具有涉及面廣、綜合性強(qiáng)、運(yùn)算量大、能力要求高等特點(diǎn)，常以圓錐曲線為背景，重點(diǎn)考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想.近幾年的高考中，解析幾何簡答題中的范圍和最值問題出現(xiàn)的頻率相當(dāng)高，下面根據(jù)個(gè)人的教學(xué)實(shí)踐，結(jié)合高考題，探討一下此類問題的解法.

解析幾何中的幾何元素（點(diǎn)、直線、曲線）經(jīng)常處于運(yùn)動(dòng)變化中，并且它們在運(yùn)動(dòng)變化中又互相聯(lián)系、互相制約.這在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為相應(yīng)變量之間的聯(lián)系與制約，即相應(yīng)變量之間的等量關(guān)系與不等量關(guān)系.

若將變量間的等量關(guān)系看成函數(shù)關(guān)系，則可以將等量關(guān)系式轉(zhuǎn)換成函數(shù)關(guān)系式，然后可以用求函數(shù)的值域（或最值）的方法求得變量的取值范圍（或最值）.

若將變量間的等量關(guān)系看成關(guān)于某個(gè)變量的方程，則利用方程的性質(zhì)可以求另一個(gè)變量的取值范圍（或最值）.

若問題中已知（或隱含）某變量的范圍，則利用變量間的等量關(guān)系實(shí)現(xiàn)變量之間的相互轉(zhuǎn)化，從而構(gòu)造關(guān)于未知變量的不等式，即可求變量的取值范圍或最值.

這就是說，可以用函數(shù)的觀點(diǎn)、方程的觀點(diǎn)、不等式的觀點(diǎn)來解決變量的范圍與最值問題.下面舉例說明.

一、用函數(shù)的觀點(diǎn)解決范圍與最值問題

【例1】設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)在拋物線y=2x2上，l是線段AB的垂直平分線.

（1）當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2取何值時(shí)，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論.