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    關(guān)于烤盤最佳形狀選擇的研究

    2013-04-29 15:18:06邱志昌程龍張寧
    科技創(chuàng)新導(dǎo)報 2013年6期
    關(guān)鍵詞:元胞自動機

    邱志昌 程龍 張寧

    摘 要:該文是對2013年美國數(shù)學(xué)建模競賽A題的更深一步的討論,題目是如何在不烤焦蛋糕和最大利潤條件下優(yōu)化確定烤蛋糕的烤盤最佳類型,而文章僅僅考慮在烤盤給定確定面積和蛋糕不烤焦的前提下,來確定烤盤的最佳形狀。蛋糕是否被烤焦取決于蛋糕中心達到相同溫度時所用時間長短,首先運用推導(dǎo)的熱穩(wěn)態(tài)傳導(dǎo)公式,通過matlab的PDE工具箱繪出矩形的溫度分布圖,解釋了在蛋糕邊角上容易烤焦。烤盤外壁溫度分布類比恒溫條件下的球殼傳溫給出,蛋糕內(nèi)部遵循熱傳遞,從高溫傳向低溫。文章將蛋糕離散化并結(jié)合元胞自動機模型,仿真得到了不同形狀的烤盤在中心達到相同溫度時蛋糕的溫度分布,并給出運行次數(shù)。仿真結(jié)果顯示圓形形狀烤盤運行次數(shù)僅為4374,次數(shù)最少,從而確定圓形烤盤是最佳選擇。

    關(guān)鍵詞:熱傳遞 球殼傳溫 元胞自動機

    中圖分類號:F203.9 文獻標識碼:A 文章編號:1674-098X(2013)02(c)-00-03

    2013年美國數(shù)學(xué)建模競賽A題是對烤箱中烤盤的最佳形狀設(shè)計的探討。最佳形狀的設(shè)計要考慮兩個方面,一方面烤盤要盡量保證蛋糕不被烤焦,另一方面盡量充分利用烤箱的空間。為了簡化問題,文章忽略對烤箱空間利用率的考慮,僅僅考慮保證蛋糕不被烤焦的因素。

    蛋糕在烤箱中加熱過程及其復(fù)雜,蛋糕被烤熟的過程中涉及到熱量的傳導(dǎo)、溫度的升高、水分的蒸發(fā)等一系列的變化,就熱量的傳導(dǎo)來說,就包括熱傳導(dǎo)、熱對流和熱輻射,假設(shè)烤箱內(nèi)部的溫度是均勻分布的,將傳遞的熱量就需考慮熱傳遞。因不可能將所有因素量化來分析蛋糕的烤焦,類似熱流量的傳導(dǎo),我們予以簡化,但主要影響因素是溫度的分布不均。文章通過降維的思想,將蛋糕烤焦的原因歸于蛋糕內(nèi)外受熱不均勻??颈P中的蛋糕只有上表面直接與烤箱中空氣接觸,其他5個面都是與烤盤壁直接接觸,通過烤盤壁與蛋糕之間的熱傳導(dǎo)加熱。食物通常是在外表面被烤焦,文章只需選取平行于烤盤的橫截面作為分析對象,考慮蛋糕內(nèi)外溫差的持續(xù)時間以確定在相等面積下的最佳烤盤形狀。由于熱量是從外向內(nèi)傳導(dǎo),在蛋糕的外層存在局部溫度較高的情況。那么可能出現(xiàn)蛋糕內(nèi)層被烤熟后,蛋糕外層已經(jīng)被烤焦的現(xiàn)象??紤]到在烤蛋糕的最后,邊角總是焦的,為了之后更精確的仿真出蛋糕的傳熱,首先通過熱穩(wěn)態(tài)傳導(dǎo)分析來解釋邊角烤焦的原因?;诖?,文章認為一個較好形狀的烤盤是指蛋糕內(nèi)部達到一定的溫度所用的時間較短,傳遞時間將通過元胞自動機仿真運行次數(shù)來反映。

    1 熱穩(wěn)態(tài)模型

    蛋糕在烤盤中烘烤過程中的熱量傳導(dǎo)主要有兩個階段:首先是烤盤壁將熱量傳遞給蛋糕外層,其次是蛋糕內(nèi)部的熱傳導(dǎo)??颈P壁熱傳導(dǎo)系數(shù)較大,傳熱較快,烤盤壁相對較薄,文章可以認為烤盤內(nèi)外壁的溫度相同。

    運用熱穩(wěn)態(tài)傳導(dǎo)模型給出蛋糕橫截面的溫度分布圖來說明拐角烤焦的原因。給出一般的熱傳導(dǎo)方程

    其中表示溫度,溫度是x、y、z與t的函數(shù),即,t表示時間。表示內(nèi)部每單位容積熱產(chǎn)生率。c是比熱容,是常數(shù),表示導(dǎo)熱系數(shù)。因為我們考慮的是穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的情況下,所以溫度對時間的偏導(dǎo)為零,將②式代入①式得到的二維穩(wěn)態(tài)熱傳遞方程為

    ③式滿足橢圓偏微分方程的形式,稱為Possion方程。由于烤箱內(nèi)溫度恒定,故為定值。

    在面包熱傳導(dǎo)加熱中,對于給定的一個立方體的烤盤,烤盤的橫截面的溫度分布基本一致,從而只需求出某一橫截面的穩(wěn)態(tài)溫度分布圖,以達到降維、簡化模型的目的。

    通過matlab的PDE工具箱繪出矩形的溫度分布圖,得到溫度分布圖形如圖1。

    結(jié)果評價:從圖中可以明顯看到在拐角區(qū)域的溫度最高,從外邊緣順著熱量傳遞方向溫度是遞減的,與生活中反映的現(xiàn)象一致,說明了建立的模型可信度較高,一定程度上解釋了矩形烤盤在拐角及少量邊緣處容易烤焦的現(xiàn)象。但模型僅僅是從穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)角度來考慮溫度的分布,沒有考慮在從開始烘烤到烤熟整個過程各個階段溫度的分布。

    在前面的模型中僅僅從溫度角度考慮了溫度高就容易燒焦,這樣的考慮是有缺陷的。因為如果在烤面包時,中心的溫度雖然比邊緣的溫度低,但是當過了時間t后中心的蛋糕已經(jīng)熟了,蛋糕在邊緣區(qū)域還沒有燒焦,這樣雖然蛋糕的形狀不規(guī)則,但是仍然是一種較好的選擇。選出的形狀可以作為最后一問中優(yōu)化問題中的一個不錯選擇。同時上述模型是在烤盤邊緣溫度恒定條件下建立的,只能解決像矩形這樣邊界恒溫的平壁傳導(dǎo)。這是因為對于矩形烤盤而言,空氣中的熱量是以平壁傳導(dǎo)的方式傳遞給烤盤壁,由于直線的曲率為零,對于矩形的每一條邊各個點的溫度是一樣的。

    為此應(yīng)用元寶自動機來改進上面的模型,在下面的模型中,著重考慮不同形狀的烤爐壁,即曲率對傳熱的影響,這樣就能更加精準的計算從烤爐壁各處每時刻傳遞給蛋糕的熱量,這樣考慮也更貼近生活。

    2 元胞自動機仿真熱穩(wěn)態(tài)模型

    2.1 元胞自動機原理

    元胞自動機是一種將空間與時間離散化的模型,能將一個連續(xù)的過程通過許多離散的網(wǎng)格表示出來。離散網(wǎng)格中每一元胞取有限的離散狀態(tài),遵循相同的作用規(guī)則,在局部不斷更新。元胞自動機通常運用于信息傳遞、通信、生長與進化等領(lǐng)域,為復(fù)雜的現(xiàn)象提供有效的動態(tài)模型。

    熱量的傳導(dǎo)是一個從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域傳遞的連續(xù)過程。文章將熱傳導(dǎo)平面細化成細小的網(wǎng)格,熱量從橫截面四個面向內(nèi)傳導(dǎo),網(wǎng)格內(nèi)溫度通過熱量的疊加的結(jié)果反映大小。

    2.2 烤盤曲面溫度分布計算

    為確定元胞自動機模型的邊界初始溫度,文章將烤盤類比為高光曲面模具在恒溫環(huán)境中的球殼傳溫,并引用溫度與曲率的方程。伍曉宇等(2012)通過實驗并擬合出溫度與曲率的方程。如下

    所示:

    該方程適用于平壁高光面。其中為某t時刻型面的溫度;為高光面殼的初始溫度;為對流介質(zhì)溫度;和為方程系數(shù);L為高光面殼厚度。

    當烤盤出現(xiàn)光滑的曲線時,空氣對烤盤的熱傳遞可以看成是球殼傳熱。給定一個外界恒溫條件和時刻t,烤盤表面的各個點的溫度會隨著曲率的變化而變化,找出的公式如下

    為時刻t 型面上曲率半徑為r的點的溫度;a b c d分別是方程系數(shù)。

    為了給出同時具有平壁與曲線烤盤表面的溫度函數(shù),可以將 ①與 ②兩個式子結(jié)合起來,給出一個式子如下

    定義k為曲率影響系數(shù),若k=0,則 ⑥轉(zhuǎn)化為 ④式。該文選取 烤盤初始溫度=25 ℃,烤箱溫度=200,=1.1925,烤盤壁厚度L=1 cm。

    2.3 熱傳導(dǎo)規(guī)則

    將蛋糕內(nèi)部橫截面熱分布的二維空間網(wǎng)格化。熱量的傳導(dǎo)可以看成是在不同的網(wǎng)格之間的傳導(dǎo)。

    ① 每一小格的熱量只能從上下左右傳遞,不能斜向傳遞。

    ② 熱量總是從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域傳遞。

    ③ 任一小格傳遞給周圍小格熱量后,溫度不能低于接受熱量小格的溫度。

    對于規(guī)則的圖形表示,見圖a。其中 箭頭表示熱傳導(dǎo)>;表示紅色區(qū)域的溫度,表示黃色區(qū)域的溫度。

    蛋糕外表面自接受來自四面烤盤外部的熱量后,從外向內(nèi)擴散,距離邊界越遠,傳遞到的熱量越少。熱量總是從高溫區(qū)域楚傳向低溫區(qū)域。擴散的路徑如下圖所示。

    2.4 仿真結(jié)果

    文章選取生活中最常用的幾種常見的烤盤類型:圓形、矩形,通過元胞自動機模型對其進行仿真,仿真時間步長選取0.05。

    3 結(jié)果分析

    從上述五個圖看出圓形、橢圓、跑道形、圓角矩形和矩形烤盤在內(nèi)部溫度達到相同溫度(60 ℃左右)時運行的次數(shù)依次是4374、8217、9234、10259、10627,選取次數(shù)最少的圓形作為最佳形狀,其傳熱最均勻。

    另外通過仿真可以粗略的看出拐角處溫度較高,矩形表現(xiàn)得特別明顯,說明在該處蛋糕容易烤焦,那么在滿足需要對烤盤進行特殊設(shè)計時,應(yīng)盡量避免出現(xiàn)類似矩形的拐角。

    參考文獻

    [1] 伍曉宇,王金金,張會迎,等.三月注塑模具近隨形高光面殼計算[J].深圳大學(xué)學(xué)報理工版,2012,29(2):171-177.

    [2] 朱代根.食品對流烹飪過程熱質(zhì)傳遞分析[J].科技信息,2012(16).

    [3] 王志國,趙陽,陳健,等.邊界熱質(zhì)傳遞過程的主動傳遞過程分析及應(yīng)用[J].大慶石油學(xué)院學(xué)報,2012,36(1):101-103.

    [4] 薛雷,魏瑞演,喬虹.恒溫邊界矩形區(qū)域內(nèi)熱傳導(dǎo)的可視化計算[J].福建工程學(xué)院學(xué)報,2008,6(3):219-223.

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