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    淺談配方法的應(yīng)用

    2013-04-29 17:33:06何明輝
    新課程學(xué)習(xí)·上 2013年6期
    關(guān)鍵詞:原式解方程代數(shù)式

    何明輝

    配方法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要工具。它除了在課本中用于推導(dǎo)一元一次方程的求根公式和拋物線的頂點坐標(biāo)公式外,在數(shù)學(xué)中的其他方面都有廣泛的應(yīng)用,現(xiàn)略舉例如下:

    一、解方程

    例1.解方程:x2+2mx-n2=0

    解:移項,得x2+2mx=n2

    配方,得x2+2mx+m2=n2+m2

    即(x+m)2=n2+m2

    ∴x1=-m+■,x2=-m-■

    設(shè)計意圖:將含有未知數(shù)的項移到左邊,常數(shù)項移到右邊,進行配方,配方時兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方。

    例2.在實數(shù)范圍內(nèi)解方程:2(■+■+■)=x+y+z

    解:將原方程變形得:(x-2■+1)+(y-1-2■+1)+(z-2-

    2■+1)=0

    即(■-1)+(■-1)+(■-1)=0

    由非負(fù)數(shù)和的性質(zhì):■-1=0,■-1=0,■-1=0解得:x=2,y=2,z=3

    經(jīng)檢驗x=1,y=2,z=3是原方程的解。

    設(shè)計意圖:配方法常與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合起來使用,若a,b,c為常數(shù),由配方得a2+b2+c2=0則a=b=c=0,從而求出問題的解。

    二、求代數(shù)式的值

    例1.已知a2-4a+b2-■+■=0,求a2-4■的值。

    解:將原式進行配方,得:(a2-4a+4)+(b2-■+■)=0

    ∴(a-2)2+(b-■)2=0

    ∴a-2=0,且b-■=0即a=2,b=■

    ∴a2-4■=22-4■=2

    設(shè)計意圖:通過配方,利用非負(fù)數(shù)和為0的性質(zhì),進而求出問題的解。

    例2.已知■=a(a≠0),求■的值。

    解:∵■=a

    ∴■=■,即x+■+1=■

    ∴x+■=■-1

    ∴■=x2+■+1=(x+■)2-1=(■-1)2-1=■

    故■=■

    設(shè)計意圖:本例綜合運用了倒數(shù)法和配方法,從而使問題簡化。

    三、分解因式

    例:分解因式a4+4。

    解:原式=a4+4a2+4-4a2=(a2+2)2-(2a)2=(a2+2a+2)(a2-2a+2)

    設(shè)計意圖:由配方法知a4+4中差一項,而這個項正好是某式的平方,從而將原式配方后再利用平方差公式,進而可進行因式分解。

    四、恒等變形

    例1.用配方法證明:-10x2+7x-4的值恒小于0。

    證明:-10x2+7x-4=-10(x2-■x)-4=-10[(x-■)2-■]-4=

    -10(-■)2-■

    ∵-10(-■)2≤0

    故-10(-■)2-■<0

    即-10x2+7x-4的值恒小于0。

    設(shè)計意圖:證明一個代數(shù)式的值大于0或小于0,常用方法就是利用配方法得到一個含完全平方式和一個常數(shù)的式子來證明。

    例2:△ABC中,三邊BC=a,AC=b,AB=c,且滿足a4+b4+■c4=a2c2+b2c2,試判定△ABC的形狀。

    解:由a4+b4+■c4=a2c2+b2c2得

    (a2-■c2)2+(b2-■c2)2=0

    ∴a2-■c2=0且b2-■c2=0

    即a=b且a2+b2=c2

    所以△ABC為等腰直角三角形。

    設(shè)計意圖:本例綜合利用配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定a,b,c之間的關(guān)系,從而判定三角形的形狀。

    五、求最值

    例1.已知x是實數(shù),求代數(shù)式x2-4x+5的最小值。

    解:x2-4x+5=(x-2)2+1

    因為x是實數(shù),所以(x-2)2≥0,所以當(dāng)x-2=0,即x=2時,代數(shù)式x2-4x+4有最小值為0。所以x2-4x+5的最小值為1。

    設(shè)計意圖:由配方法配出完全平方式,知其是非負(fù)數(shù),從而得出結(jié)果。

    例2.求y=x+■+2012(x<0)的最大值。

    解:y=-(-x-■)+2012=-(■-■)2+2010

    所以當(dāng)■-■=0即x=-1時,y有最大值,最大值是2010。

    設(shè)計意圖:這里根據(jù)分式函數(shù)y的結(jié)構(gòu)特征,將含x的式子x+■進行整體配方,[不能配成-(■+■)2+2014的形式]則y可以看成關(guān)于y的二次函數(shù),根據(jù)圖象特點,求出最大值。

    參考文獻:

    [1]韓生祥.科學(xué)編題培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.初中數(shù)學(xué)教與學(xué),2008(6).

    [2]王愛琴.合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.魅力中國,2011(21).

    (作者單位 湖北省十堰市房縣萬峪中學(xué))

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