留數(shù)在計(jì)算實(shí)變函數(shù)積分中的應(yīng)用

摘 要：留數(shù)是復(fù)變函數(shù)中的重要定理，留數(shù)定理在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛。不僅僅是在復(fù)變函數(shù)中，在實(shí)變函數(shù)中，留數(shù)也起著非常重要的作用。將實(shí)變函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)的積分，再利用留數(shù)進(jìn)行計(jì)算，可以計(jì)算出一些難以計(jì)算的定積分或者不定積分。

關(guān)鍵詞：留數(shù)；復(fù)變函數(shù)；實(shí)變函數(shù)

在數(shù)學(xué)分析以及一些實(shí)際問題中，常常要計(jì)算一些定積分或者不定積分的值，而一些被積函數(shù)的原函數(shù)往往難以求出，或是不能用初等函數(shù)表示出來，一些原函數(shù)雖然能夠求出，卻非常復(fù)雜。然而在實(shí)際應(yīng)用中，常常需要將復(fù)雜的積分計(jì)算出來才能繼續(xù)研究。例如，光學(xué)中需要計(jì)算的菲涅爾積分、阻尼震動(dòng)中需要計(jì)算的積分等，這些積分的值都具有重要的意義，但是根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式難以計(jì)算出它們的值。此時(shí)，可以利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

根據(jù)復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理，要計(jì)算某些定積分或不定積分，只需計(jì)算出一些解析函數(shù)在孤立點(diǎn)的留數(shù)，由于留數(shù)的計(jì)算較為簡便，這就把問題大大簡化了?，F(xiàn)階段尚沒有利用留數(shù)計(jì)算定積分或不定積分的一般方法，但在一些特殊情況下，根據(jù)被積函數(shù)本身的一些特性，可以總結(jié)出一定的計(jì)算規(guī)律。

下面研究幾種特殊形式的實(shí)變函數(shù)利用留數(shù)進(jìn)行計(jì)算的方法。

（1）積分形如I=■R（sint，cost）dt，在半徑為1的圓上，分母不等于0。此種情況一般做圓，再將x和y轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)t的形式，將原實(shí)變函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)的積分，再根據(jù)復(fù)變函數(shù)的留數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

例1.計(jì)算積分I=■■，其中常數(shù)a>1

解：根據(jù)積分區(qū)域可知，令eit=z，實(shí)變函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為了復(fù)變函數(shù)的積分，要計(jì)算此復(fù)變函數(shù)的積分，只需計(jì)算被積函數(shù)在半徑為1的圓內(nèi)的極點(diǎn)處的留數(shù)。積分的被積函數(shù)在半徑為1的圓內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z1，于是可以求得積分值為■。

（2）積分形如I=■R（x）dx，其中R（x）是有理分式，R（x）的分母在實(shí)數(shù)軸上恒不等于0，且分母次數(shù)比分子的次數(shù)至少高2次。對(duì)于這一種情況，由于自變量是在實(shí)數(shù)軸上取的，將其建立在復(fù)數(shù)平面上，假設(shè)積分區(qū)域是有限的，并將其擴(kuò)充為復(fù)平面上的上半圓，尋找被積函數(shù)在上半圓內(nèi)的極點(diǎn)，就可以根據(jù)留數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。

例2.計(jì)算積分I=■■

解：根據(jù)實(shí)變函數(shù)積分的性質(zhì)，這一積分顯然是收斂的，因此根據(jù)留數(shù)定理計(jì)算較為簡單。事實(shí)上，被積函數(shù)有兩個(gè)二階極點(diǎn)，在上半平面內(nèi)它的二階極點(diǎn)是z=i。

現(xiàn)做圓盤，以復(fù)平面原點(diǎn)O為圓心，r為半徑，考慮這一圓盤在上半平面的部分，可以取r>1，使得z=i包含在上半圓內(nèi)，于是沿著Cr取積分，可以得到積分值為■，其中，F(xiàn)r表示Cr上圓弧的部分，其方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，在原式中令r趨近于+∞就得到積分值為■。

（3）積分形如I=■f（x）eixdx，其中f（x）在復(fù)平面上半平面上只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，除了這些孤立奇點(diǎn)外f（x）處處解析。對(duì)于這一種情況，需要利用復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)：設(shè)f（x）是在環(huán)狀閉區(qū)域上連續(xù)變化的復(fù)變函數(shù)，如果當(dāng)z在這閉區(qū)域上時(shí)，f（x）的極限為0，那么就有當(dāng)z趨于正無窮時(shí)，上述積分值為0。

例3.計(jì)算積分I=■■dx

解：現(xiàn)取？著和r，使得r<？著>0，就將實(shí)變函數(shù)的積分化為了復(fù)變函數(shù)的積分，函數(shù)■的零點(diǎn)只有z=0，于是在復(fù)平面上增加一個(gè)以原點(diǎn)為圓心、？著為半徑的半圓，于是根據(jù)柯西定理，沿整個(gè)扇環(huán)積分的積分值為0，在這里Гз和Гr的積分分別是沿著順時(shí)針和逆時(shí)針方向取的。在原點(diǎn)的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，令？著趨近于0，r趨近于正無窮，根據(jù)上述定理，即可知積分值為■。

上面的三種典型積分和三道典型例題，基本可以反映出留數(shù)在計(jì)算實(shí)變函數(shù)積分中的作用，如果將這三種典型積分進(jìn)行推廣，就可以利用留數(shù)計(jì)算實(shí)變函數(shù)中大量難以解決的問題。事實(shí)上，實(shí)變函數(shù)中許多難以計(jì)算的積分都是通過復(fù)變函數(shù)的方法計(jì)算出來的。

一方面，留數(shù)理論極大地促進(jìn)了復(fù)變函數(shù)的發(fā)展，并有助于復(fù)變函數(shù)成為其他學(xué)科的研究工具和研究基礎(chǔ)，留數(shù)的提出是對(duì)復(fù)變函數(shù)的極大補(bǔ)充與完善。復(fù)變函數(shù)論是在數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，因?yàn)閺?fù)變函數(shù)中的許多概念與數(shù)學(xué)分析所差無幾，例如極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等，所以復(fù)變函數(shù)可以看作是數(shù)學(xué)分析研究領(lǐng)域的擴(kuò)展。另一方面，復(fù)變函數(shù)中的許多工具，例如留數(shù)，反過來又促進(jìn)了數(shù)學(xué)分析理論的發(fā)展。所以，實(shí)變函數(shù)和復(fù)變函數(shù)是相互促進(jìn)、共同發(fā)展的。

參考文獻(xiàn)：

余家榮.復(fù)變函數(shù).高等教育出版社，2010-12.

作者簡介：張君一，1993年8月出生，男，籍貫：江蘇省南京市，現(xiàn)職稱：無，學(xué)歷：本科，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。

（作者單位 山東大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院）