空間問題平面化思想教學(xué)淺析

魏秋梅

摘 要：立體幾何是平面幾何的推廣和發(fā)展，平面幾何是立體幾何的基礎(chǔ)和依據(jù)。將空間問題平面化，是立體幾何常用到的一種化歸與類比思想。教學(xué)中可以從空間圖形的畫法平面化、空間角的平面化、空間距離的平面化三個方面去展開。

關(guān)鍵詞：立體幾何；空間問題；平面幾何平面化；化歸；類比

立體幾何是平面幾何的推廣和發(fā)展，平面幾何是立體幾何的基礎(chǔ)和依據(jù)。解決立體幾何問題的基本思路是：尋找正確的手段和方法，將它化為平面幾何去解決。因此將空間問題平面化，是立體幾何常用到的一種化歸與類比思想。教學(xué)中必須重視這種思想的滲透。

一、空間圖形的畫法平面化

空間圖形的斜二測畫法是將空間圖形轉(zhuǎn)化為它的直觀圖這一平面圖形的基本方法。教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生識圖、畫圖的能力，養(yǎng)成認(rèn)真細(xì)心的良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。如，下邊兩個圖形，由于虛線不同，看上去位置就大不一樣了。

二、空間角的平面化

空間角指的是兩條異面直線所成的角，直線與平面所成角，平面與平面所成角。把空間角化歸為平面角的方法：

（1）異面直線所成角的求法：平移法，即把一條直線向另一條直線上移或把兩條直線向同一點移。

（2）斜線與平面所成角的求法：通過斜線上的某一點作出平面的垂線去找角，將此角放到一個三角形中去解。

（3）二面角的求法：求作二面角的平面角的方法有定義法、垂線法、垂面法、延伸法、射影法等。

例1.底面是等腰梯形的四棱錐S-ABCD，AD=BC，AB=2CD=2SD，∠DAB=60°，SD⊥底面ABCD，求：

（1）側(cè)面SAB與底面ABCD所成二面角的大小。

（2）側(cè)棱SB與底面ABCD所成的角。

（3）異面直線SB和AD所成的角。

（2）連接SB、DB，則∠SBD即為所求的直線與平面所成的角。

（3）作BF∥AD交CD延長線于F，連接SF，則∠SBF即為異面直線所成的角。

∵SF2=SD2+DF2=5a2，SB2=SD2+DB2=4a2，BF2=AD2=a2 ∴SF2=SB2+BF2，故∠SBF=90°

三、空間距離的平面化

空間距離分為：點到直線的距離、點到平面的距離、直線與直線的距離、直線與平面的距離、平面與平面的距離。根據(jù)它們的定義都可化為平面上兩點的距離。具體化法是：

（1）點到平面的距離的求法有直接法，即由該點向平面引垂線，直接計算垂線段的長；轉(zhuǎn)移法，即將該點到平面的距離轉(zhuǎn)化為另一點到該平面的距離；體積法，即已知棱錐的體積和底面的面積，求頂點到底面的距離，可用體積公式的逆公式。

（2）異面直線距離的求法：①直接法。當(dāng)公垂線直接能作出時，直接求，這時，作出并證明異面直線的公垂線段；②轉(zhuǎn)化法：將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離或轉(zhuǎn)化為面面距離。③體積法：利用線面距離轉(zhuǎn)化為錐體的高，用體積公式的逆公式求之。

例2.四面體ABCD的棱長為1，求：

（1）點A到平面BCD的距離。

（2）異面直線AB、CD之間的距離。

簡解：如圖4

（1）過A作AO⊥平面BCD于O，連接BO并延長與CD相交于E，連接AE。

（2）取AB的中點E，連接CF、DF

∵BC=AC，BF=AF，∴CF⊥AB，同理DF⊥AB?！郃B⊥平面CFD，連結(jié)EF，則AB⊥EF。同理可證CD⊥EF，∴EF為異面直線AB，CD之間距離。

即AB、CD之間的距離為。

參考文獻(xiàn)：

[1]史久一，朱梧槚.化歸與歸納、類比、聯(lián)想.大連理工大學(xué)出版社，2008-04.

[2]傅佑珊，古永喜.類比推理與立體幾何教學(xué).數(shù)學(xué)通報，1991-11.

（作者單位 陜西省西安市第三十三中學(xué)）