解析幾何·橢圓

一、選擇題（每小題4分，共40分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）

1. 若橢圓[x22+y2m=1]的離心率為[12]，則[m=]（ ）

A. [3] B. [32]

C. [83] D. [83]或[32]

2. 已知點(diǎn)[M（3，0）]，橢圓[x24+y2=1]與直線[y=k（x+3）]交于點(diǎn)[A，B]，則[△ABM]的周長(zhǎng)為（ ）

A. 4 B. 8

C. 12 D. 16

3. 已知[F]是橢圓[x225+y29=1]的一個(gè)焦點(diǎn)，[AB]為過(guò)其中心的一條弦，則[△ABF]的面積最大為（ ）

A. 6 B. 15

C. 20 D. 12

4. 如果[AB]是橢圓[x2a2+y2b2=1]的任意一條與[x]軸不垂直的弦，[O]為橢圓的中心，[e]為橢圓的離心率，[M]為[AB]的中點(diǎn)，則[kAB?kOM]的值為（ ）

A. [e-1] B. [1-e]

C. [e2-1] D. [1-e2]

5. 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為[F1]，[F2]，過(guò)[F2]作橢圓長(zhǎng)軸的垂線與橢圓相交，其中的一個(gè)交點(diǎn)為[P]，若[△F1PF2]為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ）

A. [2-1] B. [2-12]

C. [22] D. [22]

6. 設(shè)[θ]是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且[sinθ+cosθ=15]，則方程[x2sinθ-y2cosθ=1]表示的曲線是（ ）

A. 焦點(diǎn)在[x]軸上的雙曲線

B. 焦點(diǎn)在[x]軸上的橢圓

C. 焦點(diǎn)在[y]軸上的雙曲線

D. 焦點(diǎn)在[y]軸上的橢圓

7. 橢圓[x24+y22=1]上有一點(diǎn)[P]，[F1]，[F2]是橢圓的左、右焦點(diǎn)，[△F1PF2]為直角三角形，則這樣的點(diǎn)[P]有（ ）

A. 3個(gè) B. 4個(gè)

C. 6個(gè) D. 8個(gè)

8. 已知[F]是橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)[F]作斜率為2的直線[l]使它與圓[x2+y2=b2]相切，則橢圓離心率是（ ）

A. [22] B. [32]

C. [53] D. [63]

9. 已知[M]是橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上一點(diǎn)，兩焦點(diǎn)為[F1]，[F2]，點(diǎn)[P]是[△MF1F2]的內(nèi)心，連接[MP]并延長(zhǎng)交[F1F2]于[N]，則[|MP||PN|]的值為（ ）

A. [aa2-b2] B. [ba2-b2]

C. [a2-b2b] D. [a2-b2a]

10. 已知：點(diǎn)[P]為橢圓[x225+y29=1]上的任意一點(diǎn)，過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)[A]和上頂點(diǎn)[B]分別作與[x]軸和[y]軸的平行線交于[C]，過(guò)點(diǎn)[P]引[BC，AC]的平行線交[AC]于[N]，交[BC]于[M]，交[AB]于[D，E]，矩形[PMCN]的面積是[S1]，三角形[PDE]的面積是[S2]，則[S1∶S2]=（ ）

A. 1 B. 2

C. [12] D. 與點(diǎn)[P]的坐標(biāo)有關(guān)

二、填空題（每小題4分，共16分）

11. 橢圓[3x2+ky2=3]的一個(gè)焦點(diǎn)是（0，[2]），則[k=] .

12. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在[x]軸上的橢圓上一點(diǎn)[M]到兩焦點(diǎn)的距離分別為3和9，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)[M]作長(zhǎng)軸的垂線恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .

13. 若橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]與曲線[x2+y2=a2-b2]無(wú)公共點(diǎn)，則橢圓的離心率[e]的取值范圍是 .

14. 在[△ABC]中，[AB=BC]，[cosB=-718]. 若以[A，B]為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)[C]，則該橢圓的離心率[e=] .

三、解答題（共4小題，44分）

15. （10分）已知橢圓[E]的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)[O]，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為[F1（-1，0）]，[F2（1，0）]，一個(gè)頂點(diǎn)為[H（2，0）].

（1）求橢圓[E]的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）對(duì)于[x]軸上的點(diǎn)[P（t，0）]，橢圓[E]上存在點(diǎn)[M]，使得[MP⊥MH]，求[t]的取值范圍.

16. （10分）橢圓[C]的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在[x]軸上，該橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)[P（1，32）]且離心率為[12].

（1）求橢圓[C]的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線[l： y=kx+m]與橢圓[C]相交[A，B]兩點(diǎn)（[A，B]不是左右頂點(diǎn)），且以[AB]為直徑的圓過(guò)橢圓[C]的右頂點(diǎn)，求證：直線[l]過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

17. （12分）已知點(diǎn)[M（4，0）]，[N（1，0）]，若動(dòng)點(diǎn)[P]滿足[MN?MP=6PN].

（1）求動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡[C]的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)[N]的直線[l]交軌跡[C]于[A，B]兩點(diǎn)，若[-187≤NA?NB≤-125]，求直線[l]的斜率的取值范圍.

18. （12分）過(guò)橢圓[Γ]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]右焦點(diǎn)[F2]的直線交橢圓于[A，B]兩點(diǎn)，[F1]為其左焦點(diǎn)，已知[△AF1B]的周長(zhǎng)為8，橢圓的離心率為[32].

（1）求橢圓[Γ]的方程；

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓[Γ]恒有兩個(gè)交點(diǎn)[P，Q]，且[OP⊥OQ]？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.