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    分析高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)變換

    2013-04-22 03:06:08何慶文
    關(guān)鍵詞:三角函數(shù)轉(zhuǎn)變高中數(shù)學(xué)

    何慶文

    摘要:三角函數(shù)變換就是利用三角函數(shù)公式把三角式從一種形態(tài)變換為另外一種形式,三角函數(shù)的變換具備多向性、不定性,因此,在變換的過(guò)程中有很多方法.本文就根據(jù)實(shí)際例子來(lái)對(duì)高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)變換做出剖析.

    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué); 三角函數(shù); 轉(zhuǎn)變

    由于三角函數(shù)的變換具有多向性、不定性,因此,學(xué)生對(duì)其理解不是很透徹,也比較難掌握每一種方法,但是“萬(wàn)變不離其宗”,其變化的基本思想與規(guī)律是不會(huì)變換的,下面進(jìn)行詳細(xì)分析.

    一、三角函數(shù)變換中的幾種常見(jiàn)類型

    1.函數(shù)名稱變換.在三角函數(shù)變換中,最為常見(jiàn)的是函數(shù)的名稱變換,在名稱變換的情況中最為常見(jiàn)的是切割化弦.對(duì)于三角函數(shù)名稱的變換我們可以從化函數(shù)或者是化形式的方面進(jìn)行思考.

    在三角函數(shù)中,正弦與余弦是六個(gè)三角函數(shù)的基礎(chǔ),也是應(yīng)用最為廣泛的,其次是正切、余切,我們只需要將變換了的三角函數(shù)名稱轉(zhuǎn)換成為同名的三角函數(shù),就能夠成為我們常見(jiàn)的三角函數(shù).比較常見(jiàn)的方式是“切割化弦”、“齊次弦代切”這兩種轉(zhuǎn)化方式.

    2.三角函數(shù)“角”的變換.“角”的變換主要體現(xiàn)在了三角函數(shù)中的差角、余角、補(bǔ)角、半角等之間相互轉(zhuǎn)換.隨著三角函數(shù)“角”的變換,其相應(yīng)的運(yùn)算符號(hào)、名稱、次數(shù)都會(huì)出現(xiàn)一定的變化,在解題的過(guò)程中,我們只需要認(rèn)準(zhǔn)三角角度之間的和、差、半、補(bǔ)、余等關(guān)系,利用已知的“角”來(lái)表示未知的“角”,然后再根據(jù)相關(guān)的關(guān)系運(yùn)算,就能夠順利的解決三角函數(shù)的求解問(wèn)題.

    例1 設(shè)A、B均是銳角,且cos(A+B)=1213,cos(2A+B)=35,求cosB=?

    分析:從題目中我們知道“已知角”是(A+B)、(2A+B),,B=2(A+B)-(2A+B).

    比較這三者之間的關(guān)系,我們只需要將B用A+B、2A+B表示出來(lái),再利用兩角差的余弦公式就能夠輕松的解出cosB.

    解:略.

    3.三角函數(shù)“形”的變換.我們?cè)趯?duì)三角函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化、求簡(jiǎn)或者求值的過(guò)程中,會(huì)根據(jù)一些情況來(lái)講一些常數(shù),比如1,2,1+2等轉(zhuǎn)換成為與其相關(guān)的三角函數(shù),其中利用常數(shù)1來(lái)轉(zhuǎn)換是比較常見(jiàn)的.

    從上文我們知道了,遇到這種情況,先利用已知條件,因此,我們利用“弦化切”來(lái)進(jìn)行解答.我們利用整式中的分母都是相同4的情況,將其轉(zhuǎn)換為1,將分母“1”轉(zhuǎn)化為:sin2α+cos2α,從而簡(jiǎn)化解答.

    在解答的過(guò)程中,我們要遵循由繁到簡(jiǎn)、由簡(jiǎn)到易的規(guī)律.

    二、幾種比較常用的三角函數(shù)變換解題方法

    1.將“弦函數(shù)”與“切函數(shù)”進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)換.將“弦函數(shù)”與“切函數(shù)”進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)換是在平常的解答三角函數(shù)中比較常見(jiàn)的也是兩種基礎(chǔ)的轉(zhuǎn)換手法.

    如,在三角函數(shù)式中存在正切函數(shù),我們就可以利用三角函數(shù)之間最為基本的關(guān)系或者是利用將“弦函數(shù)”轉(zhuǎn)換為“切函數(shù)”來(lái)進(jìn)行求解或者是證明.這種方法比較簡(jiǎn)單,學(xué)生掌握起來(lái)也比較快,在三角函數(shù)式中應(yīng)用比較廣泛.

    2.采用“角”的等量代換.如,在三角函數(shù)中出現(xiàn)已知角與所求角時(shí),我們要判斷兩者之間的相互關(guān)系,在確定兩者之間存在某種關(guān)系的時(shí)候,我們就可以采用“角”之間的等量代換.

    比如,α=(α+β)-β=β-(β-α)=(α+β)2+(β-α)2.

    采用比較簡(jiǎn)單的“角”變換就能夠?qū)⒁恍┎蝗菀捉獾念}目變換為我們熟悉的題目來(lái)進(jìn)行求解.

    3.公式逆用或者變用對(duì)于公式或者定理,我們可以對(duì)其進(jìn)行反推(從結(jié)果開始證明到題目),或者是將公式變換來(lái)進(jìn)行用,會(huì)取到意想不到的效果.當(dāng)然這必須建立在對(duì)公式或者定理足夠熟悉的基礎(chǔ)上,比如我們可以讓學(xué)生熟練的使用2sin2x=1-cos2x、2cos2x=1+cos2x這些基礎(chǔ)的三角函數(shù)公式,并作出引導(dǎo)的證明或者變換的證明,讓學(xué)生反復(fù)練習(xí),達(dá)到熟能生巧的地步.

    除以上的基本解題方法,我們?cè)诮淌趯W(xué)生的過(guò)程中要培養(yǎng)學(xué)生如何自己去解題,不是只會(huì)記“題”,要記住“題型”,會(huì)變換“題型”,我們所知的三角公式比較多,在解題的過(guò)程中假如沒(méi)有選對(duì)公式或者選錯(cuò)了方向,那么解題過(guò)程就是一個(gè)泥潭,會(huì)越陷越深,在進(jìn)行三角函數(shù)的變換過(guò)程中要:公式選擇必須謹(jǐn),角的范圍盡量小,變量統(tǒng)一變,不局限一種方法,綜合考慮.

    三角變換的基本思想可以總結(jié)如下:找差異、建聯(lián)系、選公式、促轉(zhuǎn)化,在三角函數(shù)中無(wú)論題目是要求求值化簡(jiǎn),還是要求我們證明某一結(jié)論,我們都應(yīng)該將題目的中已知轉(zhuǎn)化為未知,這也是所有解題的方法之一.根據(jù)整體已知的條件,找取相應(yīng)的部分定理?xiàng)l件,或者是角之間的差異,或者是函數(shù)名稱的差異,在找到差異之后,整個(gè)題目就迎刃而解了.

    參考文獻(xiàn):

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    [2] 賴彩玲.論高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)變換[J].教育教學(xué)論壇,2012,(12):116-117.

    [3] 王建華.高中數(shù)學(xué)三角變換的類型和技巧研究[J].中學(xué)教學(xué)參考,2011,(1):66-68.

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