具有階段結(jié)構(gòu)自食捕食系統(tǒng)的持久性與穩(wěn)定性

張 雷 （無錫工藝職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇 宜興214206）

具有階段結(jié)構(gòu)種群動力學(xué)模型始終是人們研究的熱點問題之一［1－3］，而自食對種群的結(jié)構(gòu)和動力學(xué)行為有著重要的影響［4－5］。為此，筆者討論如下具有階段結(jié)構(gòu)自食捕食系統(tǒng)：

其中，x（t）表示食餌種群密度；y1（t），y2（t）分別表示t時刻幼年、成年捕食者的種群密度；a1（t）表示食餌種群的內(nèi)稟增長率；a2（t），a3（t）分別表示幼年和成年捕食者的死亡率；bi（t）（i＝1，2，3）分別表示種群密度制約因素；β1（t）表示成年捕食者的生育率；β2（t）表示捕食者幼年到成年的轉(zhuǎn)化率。

1 系統(tǒng)持久性分析

引理1 R3＋為系統(tǒng) （1）的正不變集。

定理1 若不等式：

證明 設(shè)z（t）＝ （x（t），y1（t），y2（t））為系統(tǒng) （1）的任意正解，由系統(tǒng) （1）的第1個方程得：

定義U（t）＝ max｛y1（t），y2（t）｝，沿著系統(tǒng) （1）的正解計算U（t）的右上導(dǎo)數(shù)有：

（1）如果y1（t）≥y2（t），則有：

（2）如果y1（t）＜y2（t），則有：

由系統(tǒng) （1）的第1個方程得：

定義W（t）＝ min｛y1（t），y2（t）｝，沿著系統(tǒng) （1）的正解計算W（t）的右下導(dǎo)數(shù)有：

（1）如果y1（t）≤y2（t），則當(dāng)t＞T5時：

（2）如果y1（t）＞y2（t），則當(dāng)t＞T5時：

故當(dāng)t＞T8時有由此可知系統(tǒng) （1）是一致持久的。

2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定義下列函數(shù)：

定理2 如果定理1的條件成立，且下列條件滿足：

則系統(tǒng) （1）是全局穩(wěn)定的。

沿著系統(tǒng) （1）的正解計算V（t）的右上導(dǎo)數(shù)，得：

兩邊同時在區(qū)間［T，t］上積分得：

［1］Bence R J，Nisbet R M．Space－limited recruitment in open systems：the importance of time delays ［J］．Ecology，1989，70：1434－1441．

［2］張樹文，譚德君，劉兵 ．捕食者與食餌均具有階段結(jié)構(gòu)捕食系統(tǒng)的研究 ［J］．生物數(shù)學(xué)學(xué)報，2001，16（2）：162－168．

［3］江志超，曹建濤，程廣濤，等 ．具有階段結(jié)構(gòu)的多時滯SIR模型的穩(wěn)定性分析 ［J］．?dāng)?shù)學(xué)年刊，2011，32A （1）：97－106．

［4］肖燕妮，陳蘭蓀 ．具有階段結(jié)構(gòu)的競爭系統(tǒng)中的自食的穩(wěn)定性作用 ［J］．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報，2002，22（2）：210－216．

［5］戴勇，邢鐵軍，雒志學(xué)，等 ．具有3個年齡階段的自食單種群時滯模型的周期解 ［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實踐與認識，2011，41（8）：85－91．

［6］Barbalat I．Systems d’equations differential d’oscillations nonlinearies ［J］．Rev Roumaine Math Pures Appl，1959，4 （2）：267－270．