同態(tài)與不變子群

徐 蘭，蘇貴福

（1.新疆昌吉學院 數學系，新疆 昌吉 831100；2.北京理工大學 理學院，北京 100081）

對群G的任意一個不變子群N[1]，都可極其自然地得到一個新的群——商群G/N.由此，我們都不會懷疑群與商群具有密切的聯系.我們就是要揭示這個內在聯系——群的同態(tài)基本定理[2].該定理確立了不變子群與商群在群的理論中的重要地位.兩個群之間的關系只有同態(tài)關系，于是我們有（i）G到有單同態(tài)意味著在同構的意義下φ(G)就是的一個子群；（ⅱ）G到有滿同態(tài)，則意味著就是G的商群（在同構下）；（ⅲ）G到有非單非滿同態(tài)，則在同構意義下意味著G的一個商群與的一個子群一樣.為此需要弄清：

（1）每一個同態(tài)核[4]都是不變子群（這與同態(tài)是否為單、滿無關）

（2）利用自然同態(tài)得到：每個同態(tài)象都是商群（如何理解？）

（3）子群（不變子群）的同態(tài)象和同態(tài)完全原象[5]之間的聯系.

1 群同態(tài)及同態(tài)核[6]

2 群的同態(tài)基本定理

定理1 設G為群，N是G的任意一個不變子群，那么必有群同態(tài)滿射φ:G→G/N，其中：φ(x)=xN.

即 φ:G→G/N是一個群同態(tài)滿射，即G~G/N，或者說，G/N是G的同態(tài)象，或者說，G與G/N同態(tài).

由定義1知，自然同態(tài)G~φG/N必有同態(tài)核，易知，自然同態(tài)φ 的同態(tài)核恰是N.

定理1表明，群G的每個商群都為G的同態(tài)象.而且能夠以N為核將這個同態(tài)關系表現出來.于是由同態(tài)象的意義（傳遞性）知：G的每個商群G/N都會在某些方面有些像G，進而，可由商群G/N的某些性質去推測群G的一些性質.一般來說，商群要比G簡單些，（因為G/N是G的元素以N為模歸類做成的陪集而形成的群），所以為我們研究G帶來方便.

除了上述外，定理1的重要性還在于它具有某些完備性——G的每一個同態(tài)象就是G的商群（在同構下）.

按代數的觀點，同構的群就是同樣的群，因此，定理2表明，群G只能與它的商群同態(tài)，或者說，G的任何一個同態(tài)象必與G的某個（且能夠肯定的指明是哪個）商群一樣.另外，上述的定理1和定理2習慣統(tǒng)稱為群的同態(tài)基本定理.

3 子群與子群的完全原象

定理4 設G~φ,則N=ker(φ).

(1)坌a∈G,φ-1[φ(a)]=aN.特別φ-1[φ(a)]a圳N={e}.

(2)設H≤G,φ-1[φ(H)]=HN,特別φ-1[φ(H)]=H圳N=H.

4 商群的子群以及群的第一和第二同構定理

定理5 設N茳G,那么對于商群G/N而言,我們有

（1）G/N的任一個子群都可寫成H/N的形式,其中N≤H.反之,若H≤G且N≤H,那么H/N必是G/N的子群.

（2）H1≤G,H2≤G.且N≤H1,N≤H2,當H1≠H2時,必有H1/N≠H2/N.

（3）設N≤H≤G,那么H茳G圳H/N茳G/N.

證明 （1）由于有自然同態(tài)G~μG/N,今取S為G/N的任一個子群.

圯μ-1(S)≤G且N≤μ-1(S)劬H.于是可證H=HN.那么μ(H)=μ[μ-1(S)]=S,又μ(H)=μ(HN)={μ(hn)|坌h∈H,坌n∈N}={μ(h)|坌h∈H}=H/N,所以S=H/N.

反之,若H≤G且N≤H,

所以H=HN,且μ(H)=μ(HN)≤G/N.

但μ(H){μ(h)|坌h∈H}=H/N.所以H/N≤G/N.

（2）設H1,H2如題設,那么

反之,若H1/N=H2/N.即μ(H1)=μ(H2)圯μ-1[μ(H1)]=μ-1[μ(H2)]

即H1=H2

所以H1=H2圳H1/N=H2/N

上述的逆反命題知H1≠H2圳H1/N≠H2/N.

（3）設H茳G且N≤H.圯μ(H)茳G/H，而μ(H)=H/N，

所以H/N茳G/N.

反之若H/N茳G/N.由定理4圯μ-1(H/N)△G.

但μ-1(H/N)=μ-1[μ(H)]，所以H茳G.

第一同構定理:設H茳G且K茳G,若K≤H,那么

若K與H中沒有包含關系,則有

且H/K茳G/K(所以H茳G)

另，因H茳G,K茳G圯HK茳G.而H≤HK圯H茳HK.

第二同構定理：設H≤K且K茳G.

那么HK/K.艿H/H∩K.

說明.因為K茳G圯K茳HK≤G,H∩K茳H 所以G~μG/K

故μ(H)=HK/K.

因為H~φHK/K，但Ker(φ)=H∩K

所以H/H∩K艿HK/K.

〔1〕劉紹學. 近世代數基礎[M]. 北京： 高等教育出版社，1999.28-32.

〔2〕吳三品.近世代數[M].北京：人民教育出版社,1985.75-90.

〔3〕丁石孫，聶靈紹．代數學引論[M].北京：北京大學出版社出版，2000.35-38.

〔4〕丘維聲.近世代數[M].北京：高等教育出版社，2003.50-60.

〔5〕王萼芳. 有限群論基礎[M]. 北京： 北京大學出版社，1999.60-65.

〔6〕孟道驥.代數學基礎[M].天津：南開大學出版社，2000.45-55.