脈沖積分－微分系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性

呂濯纓，鄭艷琳，張來亮

(1.山東科技大學公共課部，山東濟南250031;2.山東科技大學理學院，山東黃島 266510)

脈沖積分－微分系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性

呂濯纓1，鄭艷琳2，張來亮1

(1.山東科技大學公共課部，山東濟南250031;2.山東科技大學理學院，山東黃島 266510)

運用Lyapunov函數(shù)直接方法并借助Razumikhin技巧的思想，給出了判斷脈沖積分－微分系統(tǒng)零解穩(wěn)定性的直接判定準則.

脈沖積分－微分系統(tǒng);穩(wěn)定性;Lyapunov函數(shù);Razumikhin技巧

0 引言

作為一種瞬時突變現(xiàn)象，脈沖現(xiàn)象在現(xiàn)代科技各領域的實際問題中普遍存在，且往往對實際問題的變化規(guī)律產(chǎn)生本質(zhì)的影響，更可能使事物的運動變化過程發(fā)生實質(zhì)性的改變.因此，在建立數(shù)學模型對這些實際問題的變化發(fā)展過程進行研究時，必須充分考慮脈沖現(xiàn)象的作用，這類數(shù)學模型通?？蓺w結(jié)為脈沖微分系統(tǒng).而脈沖積分－微分系統(tǒng)作為非線性脈沖微分系統(tǒng)的一個重要分支，在自然科學中有著廣泛的應用背景，如物理學中的電路模擬器與生物學中的神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)等，它們的數(shù)學模型都可以歸結(jié)為脈沖積分－微分系統(tǒng)進行分析和探討，因而具有重要的應用價值，近年來已引起了很多專家的興趣與關注，并出現(xiàn)一些研究成果［1－3］.在對該系統(tǒng)的研究中，解的穩(wěn)定性理論還僅有比較結(jié)果和極為少量的直接結(jié)果;故而整體來看，對該系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究尚處于起步階段，還有許多問題有待解決，還有大量的工作要做.本文研究脈沖積分－微分系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性，利用Lyapunov函數(shù)直接方法并借助研究泛函微分方程的Razumikhin技巧的思想［4－5］，得到了脈沖積分－微分系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性的直接判定準則.

1 預備知識

考慮如下脈沖積分－微分系統(tǒng)

另外我們總假定f，Jk滿足一定條件以保證系統(tǒng)(1)的解整體存在唯一.記系統(tǒng)(1)滿足x(t0，t0，x0)= x0的解為x(t)=x(t，t0，x0)，x(t)分段連續(xù)且只有第一類間斷點t=tk(k∈N)，滿足x()=x(tk)=Jk(x())，并記Gk={(t，x)∈R+×S(ρ):tk－1＜t＜tk}，G=Gk.

定義2稱系統(tǒng)(1)的零解為

(i)穩(wěn)定的:若對?ε＞0，t0∈R+，?δ=δ(t0，ε)＞0使當|x0|＜δ時有|x(t，t0，x0)|≤ε，t≥t0;

(ii)一致穩(wěn)定的:若(i)中的δ與t0無關;

(iii)吸引的:若對?ε＞0，t0∈R+，?δ=δ(t0)＞0，T=T(t0，ε)＞0，使當|x0|＜δ時有|x(t，t0，x0)|≤ε，t≥t0+T;

(iv)一致吸引的:若(iii)中的δ，T均與t0無關;

(v)漸近穩(wěn)定的:若(i)與(iii)同時成立;

(vi)一致漸近穩(wěn)定的:若(ii)與(iv)同時成立.

為方便起見，我們引入下列記號:

2 主要結(jié)果

定理1設存在函數(shù)V∈V0，a，b∈K，滿足

于是由定理2知系統(tǒng)(8)的零解是一致漸近穩(wěn)定的.

［1］傅希林，閻寶強，劉衍勝.脈沖微分系統(tǒng)引論［M］.北京:科學出版社，2004.

［2］FU XILIN，ZHANG LIQIN.On boundedness of solutions of impulsive integre-differential systems with fixed moments of impulsive effects［J］.Acta Mathematica Scientia，1997，17(2):219－229.

［3］呂濯纓，董斌，李曉迪.脈沖積分－微分系統(tǒng)解的有界性［J］.成都大學學報，2008，27(2):109－111.

［4］SHEN JIANHUA，YAN JURANG.Razumikhin-type stability theorems for impulsive functional differential equations［J］.Nonlinear Analysis，1998，33:519－537.

［5］SHEN JIANHUA.Razumikhin techniques in impulsive functional differential equations［J］.Nonlinear Analysis，1999，36:119－130.

Stability for Zero Solution of Impulsive Integro-Differential Systems

LV Zhuo-ying1，ZHENG Yan-lin2，ZHANG Lai-liang1
(1.Public Course Department，Shandong Science and Technology University，Jinan 250031，China;
2.College of Science，Shandong Science and Technology University，Huangdao 266510，China)

Direct criteria of stability for zero solution of impulsive integro-differential systems are established by Lyapunov functions and Razumikhin techniques.

impulsive integro-differential system;stability;Lyapunov function;Razumikhin technique

O175.21

A

1007－0834(2012)02－0012－04

10.3969/j.issn.1007－0834.2012.02.004

2012－01－06

山東科技大學科學研究“春蕾計劃”資助項目(2010AZZ054);山東省教育廳科技計劃資助項目(J08L159)

呂濯纓(1980—)，女，山東濟南人，山東科技大學公共課部講師.