利用導(dǎo)數(shù)研究正態(tài)分布的概率密度函數(shù)性質(zhì)

王康

(呂梁學(xué)院汾陽師范分校，山西汾陽 032200)

利用導(dǎo)數(shù)研究正態(tài)分布的概率密度函數(shù)性質(zhì)

王康

(呂梁學(xué)院汾陽師范分校，山西汾陽 032200)

從正態(tài)分布的概率密度函數(shù)入手，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，推導(dǎo)正態(tài)分布的大致圖像和基本性質(zhì).關(guān)鍵詞:正態(tài)分布;導(dǎo)數(shù);概率密度函數(shù);函數(shù)圖像;函數(shù)性質(zhì)

正態(tài)分布在實(shí)際中存在廣泛，在概率統(tǒng)計(jì)的理論與應(yīng)用中更是起著非常重要的作用，在各種分布中居于首要地位.因此，學(xué)生學(xué)好正態(tài)分布也至關(guān)重要.在多數(shù)概率論教材中都是給出正態(tài)分布的定義后直接給出密度函數(shù)的圖像，并由圖像得出相關(guān)性質(zhì)［1］.學(xué)生所做的僅僅是機(jī)械地記憶，對圖像及性質(zhì)只知其然不知其所以然，更談不上主動(dòng)探索.

下面就由正態(tài)分布的密度函數(shù)出發(fā)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，而這些推導(dǎo)方法都是建立在學(xué)生已有的高等數(shù)學(xué)基本知識的基礎(chǔ)之上的［2］.這樣既可以培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)知識解決新問題的研究性學(xué)習(xí)能力，又可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維能力與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.

已知正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

可引導(dǎo)學(xué)生把它看做一個(gè)普通的函數(shù)，從而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像，下面是一般的研究步驟.

(1)求值域顯然f(x)＞0，即值域?yàn)?0，+∞)，整個(gè)圖像位于x軸上方.

(2)求單調(diào)性與極值先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)f'(x)，

至此，正態(tài)函數(shù)的大致圖像已經(jīng)完全可以由學(xué)生畫出，那么其性質(zhì)就可以讓學(xué)生自己總結(jié)了.圖形形狀及性質(zhì)都是一目了然的，而有關(guān)正態(tài)變量的分布函數(shù)以及各區(qū)間內(nèi)的概率問題，均可由密度函數(shù)的圖像給出推導(dǎo)和解釋.比如“3σ原則”，由圖像解釋是非常直觀清晰的.又如，參數(shù)μ，σ對圖像的影響:μ決定位置，由第(3)步對稱性可得到，σ決定圖像的陡峭程度，由第(2)步極值點(diǎn)的推導(dǎo)可得到，那么μ，σ鮮明的概率意義(μ為均值，σ2為方差)，也由圖像可得到很直觀的解釋.

這種由函數(shù)本身出發(fā)，利用高等數(shù)學(xué)知識引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)、體驗(yàn)的教學(xué)方法能使學(xué)生學(xué)習(xí)知識更加連貫，理解知識更加深刻，從而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，勤奮的學(xué)習(xí)作風(fēng)，靈活的應(yīng)用能力，使得數(shù)學(xué)的思想得到真正貫徹.

［1］吳堅(jiān).應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京:高等教育出版社，2001.

Research the Property of Normal Density Function by Derivatives

WANG Kang

(Fen Yang Teachers’School，Lvliang College，F(xiàn)enyang 032200，China)

The rough image and nature of normal distribution is inferred by the normal distribution probability density function，solving function by derivatives.

normal distribution;derivatives;probability density function;image of function;property of function

O211.1

A

1007－0834(2012)02－0031－02

10.3969/j.issn.1007－0834.2012.02.009

2012－02－01

王康(1982—)，男，山西芮城人，呂梁學(xué)院汾陽師范分校教師.