對(duì)CN－環(huán)與CT－內(nèi)射的一些討論

蹇 紅，孫春濤

（重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院，重慶 400065）

對(duì)CN－環(huán)與CT－內(nèi)射的一些討論

蹇 紅，孫春濤

（重慶郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院，重慶 400065）

文章給出了CN－環(huán)、CT－內(nèi)射及CT－內(nèi)射維數(shù)的定義與性質(zhì)，討論了CN－環(huán)與GN－環(huán)以及CT－內(nèi)射與自?xún)?nèi)射環(huán)的關(guān)系.

CN－環(huán)；CT－內(nèi)射；CT－內(nèi)射維數(shù)；無(wú)撓模；循環(huán)模

0 引 言

文［1］指出：環(huán)R是左noetherian環(huán)?f.g左R－模f.p.文［2］指出：環(huán)R是左coherent環(huán)?f.p左R－模的子模是f.p?f.p右R－模的對(duì)偶模是f.g左R－模.文［3］指出：環(huán)R是左Π－coherent環(huán)（也稱(chēng)GN－環(huán)）?f.g無(wú)撓左R－模f.p?f.g右R－模的對(duì)偶模是f.g左R－模.在左Π－coherent環(huán)上已經(jīng)得到了大量的性質(zhì)［4－5］.本文主要對(duì)CN－環(huán)、CT－內(nèi)射模和CT－內(nèi)射維數(shù)的概念和性質(zhì)展開(kāi)討論.

本文所涉及的環(huán)均帶有單位元，模均指酉模.用f.g表示有限生成模，用f.p表示有限表現(xiàn)模，用A＊表示A的對(duì)偶模HomR（A，R），δM表示同態(tài)M→M＊＊，當(dāng)δM是單同態(tài)時(shí)，稱(chēng)M是無(wú)撓模，當(dāng)δM同構(gòu)時(shí)，稱(chēng)M是自反模，r（L）＝｛r∈R｜ar＝0，?a∈L｝表示左理想L的零化子，l（I）＝｛r∈R｜ra＝0，?a∈I｝表示右理想I的零化子.

下面給出本文所需要的概念.

定義1［6］設(shè)K是左R－模的A子模，稱(chēng)K是A的閉子模，若A/K是無(wú)撓模.

定義2［7］稱(chēng)環(huán)R是D－環(huán)，若對(duì)任給的右理想I，有rl（I）＝I和任給的左理想L，有l(wèi)r（L）＝L.

定義3［8］稱(chēng)環(huán)R是右（左）P－內(nèi)射，如果對(duì)每個(gè)同態(tài)f：aR（Ra）→R，都可提升R到R的一個(gè)同態(tài)上.

1 CN－環(huán)的基本性質(zhì)

定義4 稱(chēng)環(huán)R是右CN－環(huán)，若R的任給循環(huán)左R－模的對(duì)偶模是有限生成右R－模.

定理1 設(shè)R是環(huán)，則下列條件是等價(jià)的：

（1）環(huán)R是右CN－環(huán)；

（2）循環(huán)無(wú)撓左R－模f.p；

證明 （1）?（2） 設(shè)M是循環(huán)無(wú)撓模左R－模，有正合列0→T→R→M→0，且有正合列0→M＊→R＊→U→0，其中U是循環(huán)模，則有下列交換圖：

因δM是單同態(tài)，由文［1］三引理知，g是滿同態(tài)，又由五引理知g是同構(gòu)，即T?U＊，故T是f.g，M是f.p.

（2）?（1） 設(shè)M是循環(huán)左R－模，有正合列0→K→R→M→0，則有正合列0→M＊→R＊→L→0，其中L是K＊的循環(huán)無(wú)撓子模，是f.p模，故M＊是f.g模.

性質(zhì)1 設(shè)R是右P－自?xún)?nèi)射環(huán)，則R是右CN－環(huán)?R是右GN－環(huán).

證明 設(shè)R是右CN－環(huán)，設(shè)M是f.g左R－模，設(shè)x1，x2，…，xn是模M的最小生成元集.當(dāng)n＝2時(shí)，有正合列0→x1R→M→x1R/（x1R∩x2R）→0，因設(shè)R是右P－自?xún)?nèi)射環(huán)，則有正合列0→x1R/（x1R∩x2R）＊→M＊→（x1R）＊→0，因循環(huán)模的對(duì)偶模（x1R/（x1R∩x2R））＊和（x1R）＊是f.g，則M＊也是f.g.當(dāng)n＝k時(shí)，設(shè)M＊也是f.g的，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，設(shè)M＝x1R＋M1，其中M1最小生成元的個(gè)數(shù)是k，則有正合列0→M1→M→x1R/（x1R∩M1）→0，類(lèi)似上述證明可得M＊也是f.g的，故R是右GN－環(huán).反之，顯然成立.

推論1 若環(huán)R是右CN－環(huán)，M是循環(huán)左R－模，則M無(wú)撓?M是f.g自由模的子模.

證明 設(shè)M是循環(huán)無(wú)撓左R－模，則M＊是f.g模，有正合列F→M＊→0，其中F是f.g自由模，則有正合列0→M＊＊→F＊，因M是循環(huán)無(wú)撓模，則有正合列0→M→F＊，故M是f.g自由模的子模.反之，顯然成立.

推論2 若環(huán)R的每個(gè)右理想的左零化子理想是f.g，則R是右CN－環(huán).

證明 因任給的循環(huán)左R－模M，有正合列0→l（I）→R→M→0，則M是f.p.

2 CT－內(nèi)射模，CT－內(nèi)射維數(shù)

性質(zhì)2［6］對(duì)左理想L，R/L是無(wú)撓模當(dāng)且僅當(dāng)lr（L）＝L.

性質(zhì)3［6］若環(huán)R的Jacobson根是冪零的，則下列條件等價(jià)：

（1）對(duì)任意左理想L和右理想I，R/L和R/I都是自反的；

（2）每個(gè)f.g左R－模和每個(gè)f.g右R－模都是自反的；

（3）RR和RR都是內(nèi)射的且R滿足零化子條件；

（4）R是QF環(huán).

定義5 稱(chēng)MR是右CT－內(nèi)射模，如果對(duì)任給的循環(huán)無(wú)撓N，有Ext1R（N，M）＝0.稱(chēng)環(huán)R是右CT－內(nèi)射環(huán)，如果對(duì)任意的循環(huán)無(wú)撓NR，有Ext1R（N，R）＝0.MR的CT－內(nèi)射維數(shù)是inf｛n｜Extn＋1R（N，M）＝0｝（其中NR是任給的循環(huán)無(wú)撓右R－模），記為CT－inj.dimMR.稱(chēng)sup｛CT－inj.dimMR，?MR｝為R的CT－內(nèi)射維數(shù)，記為rCT－I.dimR.類(lèi)似地，可定義左CT－內(nèi)射模，左CT－內(nèi)射環(huán)和左CT－內(nèi)射維數(shù).

定理2 下列條件是等價(jià)的：

（1）MR是右CT－內(nèi)射；

（2）對(duì)任給的R的左理想L，有Ext1R（R/r（L），M）＝0；

（3）如果K是R的閉右理想，則K到M的每個(gè)右R－模同態(tài)，均可擴(kuò)張成R到M的右R－模同態(tài).

證明 （1）?（2） 因?qū)θ谓o的R的左理想L，R/r（L）都是無(wú)撓模，且是循環(huán)模，由CT－內(nèi)射的定義，（2）成立.

（2）?（1） 對(duì)任給的循環(huán)無(wú)撓右R－模N，存在一個(gè)左理想L，使得N?R/r（L），得證.

（1）?（3） 由閉子模的定義得證.

（3）?（1） 顯然成立.

定理3 設(shè)R是環(huán)，則下列條件等價(jià)：

（1）R是右CT－內(nèi)射環(huán)；

（2）對(duì)任給的R的左理想L，有Ext1R（R/r（L），R）＝0；

（3）任給的循環(huán)無(wú)撓左R－模是自反模.

證明 （1）?（2） 由定理2可得.

（2）對(duì)任給的R的右理想I，R是右CT－內(nèi)射環(huán)且I到R的任何一個(gè)同態(tài)都能提升到rl（I）當(dāng)且僅當(dāng)R是左自?xún)?nèi)射環(huán).

證明 （1）任給的正合序列0→M→N→P→0，其中P是循環(huán)無(wú)撓右R－模，則有正合列0→HomR（P，M）→HomR（N，M）→HomR（M，M）→0，可知存在g∈HomR（N，M），使IM＝fg，故正合序列可裂.

（2）假設(shè)R是右CT環(huán)，由性質(zhì)2知，（R/rl（I），R）＝0，故任意rl（I）到R的同態(tài)都能提升到R.反之易證.

性質(zhì)5 下列條件等價(jià)：

（1）R是右CT－內(nèi)射環(huán)，且R滿足左零化子條件；

（2）任給的循環(huán)左R－模是自反模；

（3）R是右自?xún)?nèi)射環(huán)，且R滿足左零化子條件.

證明 （2）?（1） 設(shè)任給的循環(huán)左R－模M都是自反模，且M?R/L，其中L是R的左理想，由性質(zhì)2知R/L是自反的當(dāng)且僅當(dāng)lr（L）＝L且（R/r（L），R）＝0，則知R是右CT環(huán)，且R滿足左零化子條件.

（1）?（2），（1）?（3）顯然.

定理4 若環(huán)R的Jacobson根是冪零的，則下列條件等價(jià)：

（1）對(duì)任意左理想L和右理想I，R/L和R/I都是自反的；

（2）每個(gè)f.g左R－模和每個(gè)f.g右R－模都是自反的；

（3）RR和RR都是CT－內(nèi)射的且R滿足零化子條件；

（4）RR和RR都是內(nèi)射的且R滿足零化子條件；

（5）R是QF環(huán).

證明 由性質(zhì)2與性質(zhì)5即證.

性質(zhì)6 設(shè)R是右CN環(huán)，則下列條件等價(jià)：

（1）CT－inj.dimMR≤n；

（2）（A，M）＝0，其中A是任給的循環(huán)無(wú)撓右R－模；

（3）若0→M→E0→E1→En→0是正合列，且Ei（0≤i≤n－1）是CT－內(nèi)射，則En也是CT－內(nèi)射.

證明 由CT－內(nèi)射的定義可得.

定理5 設(shè)R是環(huán)，則下列條件等價(jià)：

（1）CT－inj.dimRR≤1；

（2）對(duì)任給的循環(huán)無(wú)撓右R－模N，Ext1R（N＊，R）＝0；

（3）Ext1R（lr（L），R）＝0，其中L是任給的左R理想.

證明 （1）?（2） 設(shè)N是任給的循環(huán)無(wú)撓右R－模，有正合列0→K→R→N→0，則有正合列0→N＊→R＊→B→0；其中B是循環(huán)無(wú)撓左R－模，則有正合列由CT－inj.dimRR≤1知

（2）?（1） 對(duì)任給的循環(huán)無(wú)撓左R－模N，由定理3的證明知，有正合列0→B＊→R→N→0，其中B是循環(huán)無(wú)撓R－模，則有正合列即CT－inj.dimRR≤1.

（2）?（3） 顯然.

［1］Lam T Y.Lectures on modules and rings［M］.New York：Springer－Verlag，1999：56－57.

［2］Colby R R.Rings which have flat injective modules［J］.J Algebra，1975，35：239－252.

［3］汪明義.GN－環(huán)上的對(duì)偶模［J］.廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1991，9（2）：11－14.

［4］Wang Mingyi.Some studies onΠ－coherent rings［J］.Proceedings of the American Mathmatical Society，1993，119（1）：71－75.

［5］Wang Mingyi.Π－coherent rings and FGT－injective dimension［J］.Sea Bull Math，1995，19（3）：105－112.

［6］Hyman B.Finitistic dimension and a homological generalization of semi－primary rings［J］.Trans Amer Math Soc，1960，95：466－488.

［7］Hajarnavis C R，Norton N C.On dual rings and their modules［J］.J Algebra，1985，93：253－266.

［8］章聚樂(lè)，陳建龍.P－內(nèi)射環(huán)和半素環(huán)［J］.數(shù)學(xué)雜志，1991，11（1）：29－34.

OnCN－rings andCT－injective Rings

JIAN Hong，SUN Chun－tao

（School of Mathsmatics and Physics，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065，China）

The paper provided the definition and properties ofCN－rings，CT－injective rings andCT－injective dimensions，and discussed the relations between theCN－rings andGN－rings as well as the relations betweenCT－injective rings and selfinjective rings.

CN－rings；CT－injective rings；CT－injective dimensions；torsionless modules；cyclic modules

O153.3 MSC2010：16D50；16E10

A

1674－232X（2012）06－0516－04

10.3969/j.issn.1674－232X.2012.06.008

2012－06－04

蹇 紅（1980—），女，講師，主要從事環(huán)論研究.E－mail：jianhong＠cqupt.edu.cn