屈小媚
(西南民族大學計算機科學與技術(shù)學院,四川成都610041)
多傳感器信息融合是將來自多信息源的數(shù)據(jù)和信息加以智能化的合成,產(chǎn)生比單一傳感器更精確、更完整、更可靠的描述和判斷,是一個涉及信息科學、計算機科學、自動化科學的復(fù)合型學科。它的結(jié)構(gòu)模型主要有4種形式:分布式、中心式、混合式和分級式。這4種結(jié)構(gòu)的信息融合的理論研究均已取得了很大進展。
文獻[1~3]針對多傳感器數(shù)據(jù)的融合問題進行了研究,這些研究基于一個重要假設(shè),即多傳感器信息融合的數(shù)學模型是精確知道的。然而,在實際應(yīng)用中,不論軍事還是民用方面,多傳感器信息融合的數(shù)學模型常常是不準確的。在多傳感器分布式系統(tǒng)中,當觀測噪聲范數(shù)有界的情況下,如何得到系統(tǒng)參數(shù)估計的穩(wěn)健估計融合是多傳感器信息融合領(lǐng)域中一個受到廣泛關(guān)注的研究方向[4~8]。解決這類問題的常用方法是最小二乘法[4],即求使得估計誤差的范數(shù)最小的參數(shù)估計,其中范數(shù)取歐幾里德范數(shù)。最小二乘在本質(zhì)上是確定性的方法,因為并未對各變量假設(shè)任何統(tǒng)計性質(zhì)。當一些統(tǒng)計信息(比如觀測噪聲的方差)已知,可以用加權(quán)最小二乘。但當出現(xiàn)異常值時,現(xiàn)有的許多估計方法表現(xiàn)出不穩(wěn)健的現(xiàn)象,模型的解不一定是在估計絕對誤差意義下最好的估計。特別是當觀測矩陣是病態(tài)的時候,可能得到很差的估計。雖然很多方法試圖尋找有偏且是更接近真實參數(shù)z的估計,但是都不一定能使得估計的絕對誤差小,參見文獻[5~7]。
本文的主要策略是:首先描述出未知參數(shù)z的可行集合,為線性系統(tǒng)的所有可行解,命名為可行參數(shù)集(feasible parameter set,F(xiàn)PS)。然后選擇FPS的一個使得估計絕對誤差穩(wěn)健的中心來作為融合的估計,即切比雪夫中心。
然而,一般情況下,求一個凸集的切比雪夫中心是一個很難的問題,核心的困難在于里層的極大問題非凸。對于這個問題,文獻[8]提出了一個松弛的切比雪夫中心方法。本文的主要目的在于建立另外一種策略來求解FPS的切比雪夫中心。雖然這個問題在一般情況下很難,但是有2個例外情況[9,10]:一是 FPS是多面體,且包含 FPS的球是l∞范數(shù)下的球;二是FPS是有限集。本文主要利用后面一種情況,因為可以證明:在二維情況下,即z∈R2時,F(xiàn)PS的切比雪夫中心等價于有限個特殊點的切比雪夫中心。在高維情況下,近似的切比雪夫中心則通過投影到二維平面的方法得到。
考慮如下的多傳感器系統(tǒng)中確定性參數(shù)z的參數(shù)估計問題
其中,Ai是已知的矩陣,wi是范數(shù)有界的噪聲。為了得到使得估計絕對誤差小且穩(wěn)健的估計融合,首先描述出未知參數(shù)z的可行集合,為線性系統(tǒng)的所有可行解,命名FPS
式中 ρi為噪聲wi的范數(shù)的上界。
可行參數(shù)集的切比雪夫中心可以通過如下的minimax優(yōu)化問題定義
切比雪夫中心的幾何意義是包含集合FPS的最小球(圓)的中心,即使得FPS上的最壞情況下的估計誤差最好的點。本質(zhì)上來說,這是一個優(yōu)化問題,目標函數(shù)為估計的絕對誤差,而非數(shù)據(jù)誤差。
為了得到參數(shù)在最壞估計誤差最好意義下的穩(wěn)健估計,需要求解FPS(1)的切比雪夫中心。圖1是2個橢圓的交集的切比雪夫中心的一個例子,其中虛線的圓是最小的包含實線橢圓的交集的圓。
松弛的切比雪夫中心方法是首先將內(nèi)層的非凸極大問題松弛為對偶問題,再解對應(yīng)的凸優(yōu)化問題。關(guān)于松弛切比雪夫中心(RCC)方法的細節(jié)可參考文獻[8]。這種方法得到的切比雪夫中心不是嚴格的切比雪夫中心。下面的定理1給出在二維情況下,F(xiàn)PS的切比雪夫中心等價于幾個特殊點的切比雪夫中心:
定理1 設(shè)E1和E2為二維平面上的2個相交橢圓,Xi(i=1,2,3,4)為交點。如果E1和E2的相交區(qū)域包含k個長軸上的頂點,記為Dj(j=1,…,k),那么,E1和 E2的相交區(qū)域的切比雪夫中心與集合 Xi(i=1,2,3,4)∪Dj(j=1,…,k)的切比雪夫中心是等價的。
圖1 兩個橢圓交集的切比雪夫中心Fig 1 Chebyshev center of the intersection of two ellipses
式中 A+i為矩陣Ai的廣義逆。并且,每一個投影FPSk,l(k≠l)都是非空的,因為它至少包含一個內(nèi)點,即真實參數(shù) z的投影 zk,l。所以,F(xiàn)PSk,l僅僅表示的是二維平面上橢圓的交,F(xiàn)PSk,l的切比雪夫中心可以通過定理1求得,記為^zk,l,對應(yīng)的半徑記為 ^rk,l。
取高維情況的ACC為式中zk=zk,lk,使得
這樣選取ACC的原因是,F(xiàn)PS在各個坐標平面的投影的切比雪夫中心反映了投影的中心位置,即在該平面最小的最壞情況的估計誤差,因此,ACC選取對應(yīng)的每一維上的最小的最壞情況的估計誤差。
算法1高維情況下求ACC的算法
1)令z=0n,k=1,l=2,將 FPS 表示為式(3)的形式;
2)按照式(4)表示出FPS的投影FPSk,l;
3)計算出FPSk,l里面橢圓的交點,并選出包含在橢圓的交里的長軸頂點,記這些點的集合為Xk,l;
4)求解下面的凸優(yōu)化問題
若 l≤n-1,令 l=l+1,回到步驟(2),否則,若 k<n-1,令 k=k+1,l=k+1,回到步驟(2);
5)按照式(5)計算zACC。
ACC融合算法的計算復(fù)雜度集中在步驟(4)上,需要求解一個二次約束的線性規(guī)劃。因此,將原始的非凸優(yōu)化問題式(2)近似成n(n-1)/2個凸優(yōu)化問題,其中的每一個都可以高效的求解。所以,在未知參數(shù)z的維數(shù)不是很高的情況下,這里建議用ACC融合估計方法。
下面通過模擬例子來比較ACC融合估計方法,RCC融合估計方法以及最小二乘方法。
例1 考慮一個未知參數(shù)為二維的兩傳感器的例子,真實參數(shù)z=[1,1]',各傳感器的觀測由下面的線性模型產(chǎn)生
其中,矩陣Ai∈R5×2的各個元素均由均勻分布隨機產(chǎn)生,觀測噪聲wi的各個分量服從標準正態(tài)分布,觀測噪聲的范數(shù)的上界選為 ρ‖σwi‖2,ρ=5。表1為隨機采樣100次后得到的平均融合估計誤差的平方‖z-z‖2(z是zRCC,zACC或者 zLS)。
表1的結(jié)果說明:ACC融合估計方法的平均估計誤差要低于RCC方法,并且LS估計方法的平均估計誤差最大。這是因為在二維情況下,ACC融合方法是精確的FPS的切比雪夫中心,RCC是松弛的切比雪夫中心。而ACC和RCC都是關(guān)于優(yōu)化估計性能的方法,LS則是基于最小數(shù)據(jù)誤差得到的估計,因此,LS估計方法的平均估計誤差是最大的。
表1 三種融合方法的估計誤差的比較Tab 1 Comparison of estimation error of the three fusion methods
例2 考慮未知參數(shù)是三維的情況,即 z=[111]'。2只傳感器的觀測也由線性模型產(chǎn)生,Ai∈R7×3,其他參數(shù)與上面的例子相同。表2為該模型隨機采樣100次后得到的平均融合估計誤差的平方‖z-z‖(z是 zRCC,zACC或者zLS)。
表2 三種融合方法的估計誤差的比較Tab 2 Comparison of estimation error of the three fusion methods
通過表2的結(jié)果可以得出:盡管ACC和RCC分別為FPS近似的切比雪夫中心估計融合和FPS松弛的切比雪夫中心估計融合,但從平均估計誤差來看,ACC方法要優(yōu)于RCC方法。
本文主要針對多傳感器參數(shù)估計的融合問題,基于穩(wěn)健融合的策略,將未知參數(shù)的所有可行點作為估計范圍,然后選取它的切比雪夫中心作為估計的融合。然而,求解一個集合的切比雪夫中心是一個非常困難的問題。本文首先證明了在二維情況下,切比雪夫中心可以精確求解。對于高維情況,采取投影到各坐標平面再融合的方法,得到一個近似的切比雪夫中心作為多傳感器估計的融合。數(shù)值模擬的結(jié)果說明:在多傳感器估計融合問題中,提出的ACC融合方法優(yōu)于已有的RCC融合方法。
[1]唐驥鋒,劉國棟.基于多傳感器融合的機器人蒙特—卡洛定位決策[J].傳感器與微系統(tǒng),2012,31(3):18-21.
[2]孟秀峰.一種多傳感器信息融合的優(yōu)化方法[J].傳感器與微系統(tǒng),2010,29(12):67-68.
[3]萬樹平,潘 鵬.基于信息熵的多傳感器數(shù)據(jù)的融合方法[J].傳感器與微系統(tǒng),2008,27(5):64-68.
[4]Kailath T.Lectures on linear least-squares estimation[M].Springer-Verlag,New York,1976.
[5]Eldar Y C,Ben-Tal A,Nemirovski A.Robust mean-squared error estimation in the presence of model uncertainties[J].IEEE Trans on Signal Process,2005,53(1):168-181.
[6]Ben-Haim Z,Eldar Y C.Maximun set estimators with bounded estimation error[J].IEEE Trans on Signal Processing,2005,53(8):3172-3182.
[7]Milanese M,Tempo R.Optimal algorithms theory for robust estimation and perdiction[J].IEEE Trans on Automat Control,1985,30(3):730-738.
[8]Beck A,Eldar Y C.Regularization in regression with bounded noise:A Chebyshev center approach[J].SIAM J Matrix Anal Appl,2007,29(2):606-625.
[9]Beck A,Eldar Y C.Strong duality in noncovex quadratic optimization with two quadratic constraints[J].SIAM J Optim,2006,17(3):844-860.
[10]Xu S,F(xiàn)reund M,Sun J.Solution methodologies for the smallest enclosing circle problem[J].Comput Optim Appl,2003,25(2):283-292.