冪級(jí)數(shù)在函數(shù)方面的應(yīng)用

袁 煒，賀 欣

(鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 450052)

1 引言

我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中已經(jīng)掌握和了解了一些有關(guān)冪級(jí)數(shù)的定義和性質(zhì)，知道了冪級(jí)數(shù)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中最基本的一類;冪級(jí)數(shù)的特點(diǎn)是在其收斂區(qū)間上絕對(duì)收斂，且冪級(jí)數(shù)在收斂半徑范圍內(nèi)可任意次的求導(dǎo)和求積分，又可任意交換求和次序．因此，在此范圍內(nèi)冪級(jí)數(shù)與多項(xiàng)式一樣簡(jiǎn)便．我們先來(lái)看一下冪級(jí)數(shù)的定義和一些相關(guān)的性質(zhì)．

冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)為:

性質(zhì) 1．4［2］:在收斂半徑范圍內(nèi)，即在( － R，R)上，冪級(jí)數(shù)可任意次逐項(xiàng)求導(dǎo)或求和且產(chǎn)生的新冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不變．

知道了冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，我們可以看出冪級(jí)數(shù)是一類最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，從某種意義上說(shuō)，它也可以看作是多項(xiàng)式函數(shù)的延伸，冪級(jí)數(shù)在理論和實(shí)際上有很多應(yīng)用，特別是在應(yīng)用它表示函數(shù)方面，有許多方便的運(yùn)算性質(zhì)，因此，它在研究函數(shù)的方面成為了一個(gè)很有用的工具，使我們對(duì)它的作用有了新的認(rèn)識(shí)．我們來(lái)看一下冪級(jí)數(shù)在函數(shù)中的一些應(yīng)用．

2 冪級(jí)數(shù)在函數(shù)方面的應(yīng)用

當(dāng)f(x)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來(lái)時(shí)，計(jì)算f(x)的定積分就遇到了困難，現(xiàn)在，可以利用冪級(jí)數(shù)取有限項(xiàng)的辦法近似計(jì)算這些定積分的值．

2．1 冪級(jí)數(shù)在計(jì)算積分中的應(yīng)用

我們?cè)谟?jì)算積分時(shí)，當(dāng)具體要求被積函數(shù)能夠展成收斂的冪級(jí)數(shù)，且積分限必須在冪級(jí)數(shù)的收斂域之內(nèi)，然后利用逐項(xiàng)積分來(lái)計(jì)算所求定積分的值．

∴收斂半徑為R=+∞，這里用到了性質(zhì)1．2，所以:

2．2 用冪級(jí)數(shù)來(lái)計(jì)算級(jí)數(shù)的和

我們?cè)谇蠹?jí)數(shù)的和時(shí)，要利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1．4:冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分，由此可計(jì)算級(jí)數(shù)的和．

則由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分的性質(zhì)可知:

由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分的性質(zhì)有:

2．3 用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)證明一些不等式

我們可以通過(guò)利用冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式和性質(zhì)來(lái)證明一些不等式

2．4 冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用

解:數(shù)ex的麥克勞林級(jí)數(shù)是， x∈R．

只需n＞5，由此可知當(dāng)取項(xiàng)數(shù)為n≥6就可滿足題目要求

則它在積分區(qū)間［0，1］上是連續(xù)的，利用sin x的展開(kāi)式［1］得:

這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，每項(xiàng)絕對(duì)值數(shù)列單調(diào)減少趨于0，取前三項(xiàng)的和作為近似值，則誤差為:

2．5 用冪級(jí)數(shù)形式來(lái)表示某些非初等函數(shù)

有些連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)和有些常微方程的解不是初等函數(shù)，即非初等函數(shù)，可用冪級(jí)數(shù)表示這些原函數(shù)的解

問(wèn)題1:求連續(xù)函數(shù)e－x2的原函數(shù)F(x)

解:e－x2

令 x= －t2，有

對(duì)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)求積分，可得冪級(jí)數(shù)在理論上和實(shí)際中都有很多應(yīng)用，通過(guò)冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式來(lái)表示函數(shù)．利用冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)．常常能夠解決數(shù)學(xué)分析中很多難題．由于它結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，因而成為計(jì)算常用函數(shù)．如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和很多超越函數(shù)的一個(gè)基礎(chǔ)工具．

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析［M］．北京:高等教育出版社，1990．6．

［2］姚允龍．?dāng)?shù)學(xué)分析［M］．上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2002．8．

［3］裴禮文．?dāng)?shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法［M］．北京:高等教育出版社，1983．