中美初中教科書中“全等三角形”的比較

● (浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江金華 321004)

中美初中教科書中“全等三角形”的比較

●施倩倩邵媛媛周丹清(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江金華 321004)

1 背景

幾何在生產(chǎn)生活中的廣泛應(yīng)用及在人類文明發(fā)展進(jìn)程中的重要作用，使得該領(lǐng)域在數(shù)學(xué)教育中備受關(guān)注.我國(guó)新課程改革對(duì)初中階段的幾何課程作了較大變革，但也引起了許多爭(zhēng)議.筆者以國(guó)外幾何課程為鑒，反思我國(guó)當(dāng)前的幾何課程改革.

美國(guó)教育歷來重視學(xué)生數(shù)學(xué)思維特別是創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，而這恰恰是中國(guó)教育的薄弱之處.基于此，筆者對(duì)中國(guó)和美國(guó)的數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了比較.《發(fā)現(xiàn)幾何——一種歸納的方法》[1](以下簡(jiǎn)稱《發(fā)現(xiàn)幾何》)在編寫上有關(guān)青少年幾何思維的發(fā)展的指導(dǎo)思想與范希爾理論[2]提出的思維發(fā)展水平極為相似.我國(guó)人教版《數(shù)學(xué)》[3](以下簡(jiǎn)稱《數(shù)學(xué)》)編寫歷史悠久、使用廣泛，因此在我國(guó)多套數(shù)學(xué)教科書中也更具代表性.本文選取《發(fā)現(xiàn)幾何》與《數(shù)學(xué)》進(jìn)行比較，并從教科書的內(nèi)容及其培養(yǎng)目標(biāo)這2個(gè)維度進(jìn)行分析.

為討論的方便與深入，本文僅對(duì)其中“全等三角形”一章進(jìn)行比較.這是因?yàn)?，全等三角形作為平面幾何的基礎(chǔ)，對(duì)于學(xué)習(xí)相似三角形、其他平面幾何圖形的性質(zhì)定理以及幾何證明等具有指導(dǎo)意義.學(xué)習(xí)掌握全等三角形的相關(guān)知識(shí)對(duì)于提高學(xué)生的觀察能力、科學(xué)探究能力、分類思想、辯證思維等具有重要的作用.

2 教科書內(nèi)容的比較

2.1 內(nèi)容的編排與銜接

中美教科書關(guān)于“全等”知識(shí)的編排如表1所示.

表1 關(guān)于“全等三角形”的編排

總體看來，《發(fā)現(xiàn)幾何》與《數(shù)學(xué)》的知識(shí)點(diǎn)大致相同，均按照“全等三角形”、“三角形全等的條件”、“角平分線的性質(zhì)”的路線，即按照“定義”、“探究”、“應(yīng)用”的脈絡(luò)編排.

從細(xì)節(jié)來看，《發(fā)現(xiàn)幾何》除了定義全等圖形，對(duì)全等線段、全等角、全等多邊形也有定義，但不再定義全等三角形.在三角形全等條件的探索中，先討論了1個(gè)或2個(gè)元素對(duì)應(yīng)相等的條件，由此得出需要第3個(gè)元素，此時(shí)羅列出所有可能的情況.在探討3個(gè)元素對(duì)應(yīng)相等條件時(shí)，按照3個(gè)元素都是邊或都是角、3個(gè)元素中有1個(gè)是角或1條邊(按是否為夾角或夾邊討論).在等腰三角形的再探索中，通過角平分線研究了等腰三角形的“三線合一”.在證明全等三角形對(duì)應(yīng)部分的全等時(shí)，分2步：第1步按一般的證明思路證明；第2步采用框圖的證明方法，將條件和結(jié)果清晰地展現(xiàn)出來.

《數(shù)學(xué)》先定義全等形，再定義全等三角形.在全等三角形條件的探索中要求學(xué)生用尺規(guī)作全等三角形，探索2個(gè)元素相等時(shí)的情況.在探討3個(gè)元素的情況時(shí)，先按3條邊相等探究，再按改變其中1個(gè)元素(討論是否為夾角)、改變其中2個(gè)元素(討論是否為夾角)、改變3個(gè)元素探究.全等三角形的證明方法緊跟各個(gè)探究條件之后，用大括號(hào)表示全等條件，思路清晰.《數(shù)學(xué)》還探索了直角三角形這個(gè)特殊三角形的全等條件，這就融入了“由一般到特殊”的思想.

2.2 內(nèi)容的呈現(xiàn)

2.2.1 知識(shí)的引入

《發(fā)現(xiàn)幾何》的章首開門見山，直接給出“全等”的定義，繼而明確本章的主要任務(wù)是發(fā)現(xiàn)三角形全等的條件，最后以裝配線生產(chǎn)汽車部件為例，闡明數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)代化生產(chǎn)中的應(yīng)用.章首給出了核心概念，能與新課緊密連接，發(fā)揮了章首的作用.在第1節(jié)中通過找全等圖形的練習(xí)加深理解,該習(xí)題的圖形饒有趣味、富有吸引力.在初步形成全等概念的基礎(chǔ)上，引出全等線段、全等角全等多邊形的定義并作解釋，并自然推出三角形的全等，但不再定義全等三角形.接著以“承包商想知道娛樂場(chǎng)用于支撐屋頂?shù)?個(gè)三角架是否全等”為情境(配有插圖)，通過探索三角形全等的條件幫助承包商解決問題，以此激發(fā)學(xué)生的求知欲，融入了“助人為樂”的品德教育.

《數(shù)學(xué)》的章首提出一系列需要通過本章學(xué)習(xí)來解決的問題，并提示本章內(nèi)容的幾大重點(diǎn)，相比之下，提出了更明確的學(xué)習(xí)任務(wù).另外，章首還配有2張現(xiàn)代工業(yè)工藝圖片，比《發(fā)現(xiàn)幾何》文本化描述更形象直觀，也使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.在第1節(jié)中也呈現(xiàn)一些圖片，先請(qǐng)學(xué)生找出其中形狀和大小相同的圖形，這個(gè)活動(dòng)隱含了全等的概念，使學(xué)生獲得“全等”的視覺體驗(yàn)；再根據(jù)樣板裁剪出來的圖形與樣板是否重合引入全等形的定義，并由此推得全等三角形的定義；接著通過“思考”欄目中平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等變換得到全等三角形，幫助學(xué)生多角度把握全等的含義.

2.2.2 概念表述

根據(jù)概念生成方式的不同，《發(fā)現(xiàn)幾何》與《數(shù)學(xué)》在全等形的表述上也存在差異.《發(fā)現(xiàn)幾何》直接定義形狀和大小都相同的圖形為全等圖形.由此得到，長(zhǎng)度相等的線段為全等線段，角度相等的角為全等角.接著說明2個(gè)邊數(shù)相同的多邊形存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，由字母的順序可以知道哪些是對(duì)應(yīng)邊、哪些是對(duì)應(yīng)角，然后推出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角“全等”的多邊形的全等多邊形.

《數(shù)學(xué)》在引入全等形時(shí)通過2個(gè)活動(dòng)得出形狀和大小相同的圖形能完全重合，于是得到能完全重合的的圖形為全等形，進(jìn)而推得能完全重合的2個(gè)三角形叫做全等三角形.并且得出，把2個(gè)全等的三角形重合在一起，能重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)，能重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，能重合的角叫做對(duì)應(yīng)角，從重合的角度更好地詮釋了全等多邊形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2.3 內(nèi)容的豐富程度

《發(fā)現(xiàn)幾何》特有的模塊包括“提高直覺思維”、“特殊作業(yè)”、“合作解題”、“計(jì)算機(jī)活動(dòng)”、“名言名句”等.“提高直覺思維”設(shè)置在課后練習(xí)之后，雖是與本章內(nèi)容的相關(guān)性不大的數(shù)學(xué)“小插曲”(即數(shù)學(xué)趣題)，但對(duì)發(fā)展學(xué)生的靈活性思維非常有利.“特殊作業(yè)”與“合作學(xué)習(xí)”欄目，內(nèi)容豐富，設(shè)計(jì)精巧，題目兼顧知識(shí)點(diǎn)與趣味性，圍繞學(xué)生感興趣的話題展開，并由學(xué)生課后合作完成，在相對(duì)輕松的氛圍中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，從而提高學(xué)習(xí)效率.“全等”這一章的“計(jì)算機(jī)活動(dòng)”是用Logo作正多邊形與星形.學(xué)生可根據(jù)課本介紹進(jìn)行上機(jī)操作，作出許多全等圖形及正多邊形，切實(shí)感受計(jì)算機(jī)作圖的便捷性，提高信息素養(yǎng).《發(fā)現(xiàn)幾何》幾乎每一小節(jié)都有與學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)的名言名句，如在探索三角形全等的條件時(shí)引用安德魯?shù)摹爸挥凶钣薮赖暮淖硬艜?huì)躲進(jìn)貓的耳朵里，但是，只有最聰明的貓才會(huì)想起往那里看看”，向?qū)W生傳遞“善于發(fā)現(xiàn)”的信息.

《數(shù)學(xué)》中設(shè)有“閱讀與證明”、“數(shù)學(xué)活動(dòng)”欄目.本章的“閱讀與證明”安排在三角形全等判定定理后，向?qū)W生陳述證明的重要性.如果先得到“證明作用”的解釋，再學(xué)生先學(xué)習(xí)證明方法，則更合乎一般的認(rèn)知過程.“全等三角形”的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”共有2個(gè)，活動(dòng)1是在簡(jiǎn)單的平面幾何中尋找全等形與全等三角形，活動(dòng)2是運(yùn)用全等三角形知識(shí)測(cè)量旗高.2個(gè)活動(dòng)從理論的幾何知識(shí)過渡到了實(shí)踐體驗(yàn)，使學(xué)生切身體會(huì)到全等三角形在生活中的實(shí)際應(yīng)用.

綜上所述，中美教科書的內(nèi)容均比較豐富，《發(fā)現(xiàn)幾何》的涉及面更為寬廣，關(guān)注學(xué)生直覺思維、合作能力、信息素養(yǎng)等多方面的提升；而《數(shù)學(xué)》則主要側(cè)重合作、應(yīng)用能力的培養(yǎng).

3 教科書培養(yǎng)目標(biāo)的比較

3.1 探究能力的培養(yǎng)

《發(fā)現(xiàn)幾何》先探討1個(gè)或2個(gè)元素對(duì)應(yīng)相等時(shí)能否判斷2個(gè)三角形全等，從而作出猜想：判斷2個(gè)三角形是否全等需要3個(gè)元素；再請(qǐng)其對(duì)各種可能的情況作出假設(shè)，提升思維的廣度與嚴(yán)密性；然后要求學(xué)生根據(jù)已知條件獨(dú)立作圖來驗(yàn)證，并相互比較、探討；最后總結(jié)自己的猜想.整個(gè)過程將自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流落到實(shí)處，并且注重科學(xué)探索方法的掌握.

《數(shù)學(xué)》探索步驟上省去了1個(gè)元素對(duì)應(yīng)相等的探索(見表1)，顯得不夠全面.探索2個(gè)元素對(duì)應(yīng)相等的探索時(shí)，不予條件提示，由學(xué)生自主探究.而這種情況并不復(fù)雜，給了學(xué)生較大的探索空間.當(dāng)難度上升，探討3個(gè)元素對(duì)應(yīng)相等時(shí)，則采用尺規(guī)作出全等三角形的方法得出全等條件，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論，通過改變條件，發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)，同時(shí)也學(xué)會(huì)了用尺規(guī)作全等三角形的多種方法.

3.2 數(shù)學(xué)思維的發(fā)展

通過解決數(shù)學(xué)問題，學(xué)生的思維能力往往會(huì)得到提高，下面從書本的例題與習(xí)題出發(fā)，比較兩國(guó)教科書對(duì)思維的過程性、嚴(yán)密性與靈活性的重視程度.

(1)例題中展現(xiàn)的思維

《發(fā)現(xiàn)幾何》的例題是在三角形全等的條件都探索后出現(xiàn)的，這樣的處理可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)通過自己的判斷來選用合適的證明方法.這就需要學(xué)生通過自己構(gòu)建的知識(shí)體系去思考解決問題的方法，并在解決問題的過程中，進(jìn)一步完善知識(shí)的架構(gòu)，但這樣的模式需要熟練掌握各個(gè)定理的基礎(chǔ)上才可.如果定理的運(yùn)用沒有及時(shí)訓(xùn)練，基礎(chǔ)沒有落實(shí)，在最后思維靈活性的鍛煉可能作用不大.其例題按照“題目”加“解答過程”的模式，證明方法按照“框圖證明”，即“用框圖的形式表示邏輯論證”(如圖1所示)，思路清晰、邏輯嚴(yán)密，簡(jiǎn)潔方便.

例1已知AR=ER,EC=AC,求證：∠E=∠A.

框圖證明：

圖1

《數(shù)學(xué)》中的例題則在各個(gè)“探究目標(biāo)”和“探究結(jié)果”(定理)后出現(xiàn)，是對(duì)新定理的舉例運(yùn)用，及時(shí)鞏固了所學(xué)知識(shí).例題遵循“題目”加“分析”加“解答過程”的模式，在展現(xiàn)解題思路的同時(shí)，也反映了題目的設(shè)計(jì)意圖，幫助學(xué)生形成良好的思維邏輯.

中美教科書的例題數(shù)量相當(dāng)，但在分布上有所差異，具體如表2所示.

表2 《發(fā)現(xiàn)幾何》和《數(shù)學(xué)》例題的數(shù)量與分布

表2顯示，《發(fā)現(xiàn)幾何》的例題在定理探索與綜合運(yùn)用上分布均衡，而《數(shù)學(xué)》較重視定理的鞏固與運(yùn)用.除了示范作用，《發(fā)現(xiàn)幾何》的例題注重在綜合運(yùn)用中鍛煉學(xué)生思維的靈活性.

(2)習(xí)題中展現(xiàn)的思維

中美教科書在課后習(xí)題的安排上均分層次，具體見表3和表4.

表3 《發(fā)現(xiàn)幾何》習(xí)題的數(shù)量與分布

《發(fā)現(xiàn)幾何》的習(xí)題分A、B、C、D這4個(gè)層次，前3個(gè)層次的習(xí)題會(huì)給出幾何圖形，D層習(xí)題則是數(shù)學(xué)語言結(jié)合文字表述.其中，A層習(xí)題包含一系列的小題，以判斷、說理為主，以填空形式居多，涵蓋的知識(shí)點(diǎn)較廣.學(xué)生通過練習(xí)一些相似的、易混淆的題目，能更好地理解掌握知識(shí).B、C層習(xí)題給出“框圖證明”的框架，輔助學(xué)生形成解題思路.D層習(xí)題不提供圖形和框圖證明的框架，由學(xué)生自己解題，從數(shù)量上看，每一小節(jié)D層習(xí)題至多1題.可見，美國(guó)初等教育作業(yè)題量也比較多，部分題目分層也不明顯.其中，在框圖學(xué)習(xí)之前的學(xué)習(xí)中沒有例題，所對(duì)應(yīng)的習(xí)題僅要求根據(jù)字母順序及圖寫出對(duì)應(yīng)三角形即可，難度較低.

表4 《數(shù)學(xué)》習(xí)題的數(shù)量與分布

《數(shù)學(xué)》中的課堂練習(xí)與復(fù)習(xí)鞏固的形式是判斷說理結(jié)合證明.其中的證明題，但學(xué)生完全可以參照例題解法，難度因此下降.復(fù)習(xí)鞏固亦可參照例題解答，但從“綜合運(yùn)用”開始，習(xí)題難度上升，難度加大，需要熟練運(yùn)用新知識(shí)并用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言解答.“拓廣探索”需要更高層次的運(yùn)用新知識(shí)解題的能力，在每小節(jié)中均占1～2題.總之，題目難度分層明確，數(shù)量合理，能滿足基礎(chǔ)不同的學(xué)生的需求.

3.3 學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成

《發(fā)現(xiàn)幾何》要求學(xué)生將每個(gè)探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)果整理到自己的調(diào)查報(bào)告中，作為小結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)的良好習(xí)慣.《數(shù)學(xué)》的歸納總結(jié)分為“課堂歸納”和“章末小節(jié)”.其中，2處課堂歸納一是對(duì)解題方法的總結(jié)，二是要求學(xué)生總結(jié)所有的探究結(jié)果.章末小節(jié)由“本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖”和“回顧與思考”構(gòu)成.“本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖”是已歸納的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，“回顧與思考”是一系列基礎(chǔ)性問題.現(xiàn)成的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖與基礎(chǔ)知識(shí)問題便于學(xué)生回憶鞏固所學(xué)知識(shí)，構(gòu)建更好的“知識(shí)網(wǎng)絡(luò)”,但未留給學(xué)生自主完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)會(huì)，注重“回顧”淡化“思考”.

4 總結(jié)

通過比較，可以發(fā)現(xiàn)，中美2國(guó)教材總體內(nèi)容上大同小異，在培養(yǎng)目標(biāo)上略有不同，在編寫上也各有亮點(diǎn)與不足之處.美國(guó)側(cè)重學(xué)生的多方面的素質(zhì)，其中的信息素養(yǎng)、人文素養(yǎng)、學(xué)習(xí)習(xí)慣與品質(zhì)等是在“全等三角形”中未能體現(xiàn)的，其在探究上展現(xiàn)了思維的廣度與嚴(yán)謹(jǐn)性，也值得我們參考.但其不足之處在于基礎(chǔ)不如我國(guó)扎實(shí)，各定理對(duì)應(yīng)的例題不夠，而在最后要求學(xué)生根據(jù)題目自己思考選用所學(xué)定理來解答，這在訓(xùn)練思維上有一定的難度跨度.其不足之處正是我國(guó)教材的特色與與優(yōu)勢(shì).值得一提的是，美國(guó)在引入全等三角形條件的探索時(shí)設(shè)置了問題情境，告訴給學(xué)生探索全等三角形的必要性，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣.總之，通過研究國(guó)外教材可以完善教材、提升教學(xué)質(zhì)量.

[1] 塞拉.發(fā)現(xiàn)幾何——一種歸納的方法[M].李翼忠，劉仁蘇，蔡上鶴,等譯.北京:人民教育出版社,2000.

[2] 唐恒鈞，張維忠.中美初中幾何教材“相似”內(nèi)容的比較[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2005(11):55-58.

[3] 林群.數(shù)學(xué)(八年級(jí)上)[M].北京:人民教育出版社,2004.