自主招生數(shù)學(xué)試題中用“函數(shù)法”求不等式問題

● (常熟市中學(xué) 江蘇常熟 215500)

自主招生數(shù)學(xué)試題中用“函數(shù)法”求不等式問題

●查正開(常熟市中學(xué) 江蘇常熟 215500)

不等式問題在自主招生試題中占有重要的地位.隨著新課程改革的實(shí)施，不等式的證明已成為理科學(xué)生的選學(xué)內(nèi)容(選修4-5)，因此不少優(yōu)秀學(xué)生得不到系統(tǒng)的訓(xùn)練，難以處理此類題目.為此本文給出解決不等式問題的有效途徑——“函數(shù)法”，希望能對(duì)考生有所幫助.

(2011年復(fù)旦大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0;當(dāng)x=1時(shí),f′(x)=0.故

(2011年清華大學(xué)等七校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)

解由已知得

整理得

從而

點(diǎn)評(píng)本題共有3個(gè)變量，將2個(gè)條件代入消元后可轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問題.

(2009年清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)

證明令A(yù)=x2n+y2n.由x,y>0且x+y=1知，y=1-x,x∈(0,1),即

A(x)=x2n+(1-x)2n,

從而

A′(x)=2nx2n-1+2n(1-x)2n-1(-1)=2n[x2n-1-(1-x)2n-1].

點(diǎn)評(píng)本題雖為二元問題但代掉一個(gè)即為一元問題，較易構(gòu)造函數(shù)處理.運(yùn)用本題的解法不難將這一問題進(jìn)行推廣：

推廣1設(shè)x1,x2,…，xk∈R，且x1+x2+…+xk=1，則對(duì)于任意正整數(shù)n，有

(2008年南京大學(xué)自主招生試題)

證明由題意知a,b,c對(duì)稱，不妨設(shè)a≥b≥c，由a+b+c=1且a,b,c∈R+知

點(diǎn)評(píng)本題是三元條件不等式代掉一元即為二元問題可選一元為主變?cè)硪辉暈槌Ａ?運(yùn)用“函數(shù)法”可將問題推廣為：

(2010年浙江大學(xué)自主招生試題)

f′(x1)<0.

點(diǎn)評(píng)本題是n元條件不等式，但只有n-1個(gè)獨(dú)立變量，將一元作為主變?cè)?，n-2元視為常數(shù)，則最后一元與主變?cè)嘘P(guān).本問題還可用“函數(shù)法”作如下推廣：

推廣3設(shè)xi∈R+且x1+x2+…+xn=1,則

推廣4若x1,x2,…,xn為小于1的正數(shù)且x1+x2+…+xn=1，n,m∈N*,n≥2，m≥3，則

(2006年復(fù)旦大學(xué)推優(yōu)、保送生考試數(shù)學(xué)試題)

綜上可知，采用“函數(shù)法”證明不等式可規(guī)避傳統(tǒng)不等式證明中靈活多變的方法和高難的技巧，彌補(bǔ)不等式知識(shí)的不足，強(qiáng)化函數(shù)(導(dǎo)數(shù))的應(yīng)用意識(shí)，使解題有明確的指向和固有的定式，思維流暢自然，使很多復(fù)雜的不等式證明題都能迎刃而解，對(duì)考生解答自主招生試題(競(jìng)賽題)具有廣泛的適用性.