一類不等式奧林匹克試題的共同背景

● (春谷中學(xué) 安徽南陵 241300)

一類不等式奧林匹克試題的共同背景

●鄒守文(春谷中學(xué) 安徽南陵 241300)

通過對(duì)一些數(shù)學(xué)奧林匹克不等式的分析，發(fā)現(xiàn)一些不等式的共同背景，即在p,q,r為正實(shí)數(shù)，且p2+q2+r2+2pqr=1的條件下證明某個(gè)不等式，經(jīng)研究得到該條件下的若干性質(zhì)，據(jù)此可以證明一類不等式.

結(jié)論1設(shè)p,q,r為正實(shí)數(shù)，且p2+q2+r2+2pqr=1，則

即

∑a(a+b)(a+c)≥2∑ab(a+b)，

得

∑a(a-b)(a-c)≥0.

最后一式為Schur不等式.

(第48屆國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)測(cè)試題)

證明令u=4p2,v=4q2,w=4r2，則已知式變形為p2+q2+r2+2pqr=1，所證式等價(jià)于

此即結(jié)論1.

例2設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足xy+yz+zx+xyz=4，求證：x+y+z≥xy+yz+zx.

(1996年越南數(shù)學(xué)奧林匹克試題)

證明令xy=4p2，yz=4q2,zx=4r2,則已知式變形為

p2+q2+r2+2pqr=1，

所證式等價(jià)于

此即結(jié)論1.

例3設(shè)a,b,c≥1，且滿足abc+2a2+2b2+2c2+ca-cb-4a+4b-c=28,求a+b+c的最大值.

(2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試B卷試題)

a+b+c=a′+1+b′-1+c=a′+b′+c=4(p+q+r)≤6,

故a+b+c的最大值是6.

(2007年美國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)試題，2005年伊朗數(shù)學(xué)奧林匹克試題)

證明已知條件可轉(zhuǎn)化為x2y2+y2z2+z2x2+2x2y2z2=1，令xy=p，yz=q,zx=r,則已知式變形為

p2+q2+r2+2pqr=1，

結(jié)論3設(shè)p,q,r為正實(shí)數(shù)，且p2+q2+r2+2pqr=1，則p+q+r≥2(pq+qr+rp).

因?yàn)?/p>

所以結(jié)論3成立.

(2011年中歐數(shù)學(xué)奧林匹克試題)

證明已知式變形為abc=a+b+c+2，即

p2+q2+r2+2pqr=1，

且

于是所證式等價(jià)于

即

p+q+r≥2(pq+qr+rp)，

此即結(jié)論3.

由平均值不等式得

結(jié)論3成立.

例6設(shè)非負(fù)數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2+xyz=4,證明：xy+yz+zx-xyz≤2.

(第30屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)

證明由條件p2+q2+r2+2pqr=1，可作變換p=cosA，q=cosB,r=cosC，這里A，B，C為銳角△ABC的3個(gè)內(nèi)角，則所證式等價(jià)于在銳角△ABC中

因?yàn)?/p>

所以

而cosA+cosB+cosC≥1+4cosA·cosB·cosC等價(jià)于

由于

同理可得

上述3個(gè)式式相乘得

故結(jié)論5成立.

(2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南省預(yù)賽試題)

證明已知條件可以作變換x=16p2,y=16q2,z=16r2，則已知和求證分別變形為：設(shè)p,q,r為正實(shí)數(shù)且p2+q2+r2+2pqr=1，求證：

此即結(jié)論5.

[1] 鄒守文.一道48屆國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)測(cè)試題的研究[J].中國(guó)初等數(shù)學(xué)研究，2011(3)：108-112.

[2] 陳建兵,鄒守文.一個(gè)條件等式派生的不等式在證明競(jìng)賽不等式試題中的運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2011(5)：46-49.