由一堂平面向量課所引發(fā)的思考

● (諸暨中學(xué) 浙江諸暨 311800)

由一堂平面向量課所引發(fā)的思考

●俞建鋒(諸暨中學(xué) 浙江諸暨 311800)

教學(xué)活動(dòng)具有復(fù)雜性和多變性，因此精心的預(yù)設(shè)是上好一節(jié)課的基礎(chǔ)．認(rèn)真鉆研教材，全面了解學(xué)生，有效開發(fā)資源是預(yù)設(shè)的重點(diǎn)．但在實(shí)施課堂教學(xué)的過程中，教師如何處理“預(yù)設(shè)”與“生成”的關(guān)系，直接關(guān)系到學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.本文結(jié)合筆者的一個(gè)教學(xué)案例,對(duì)如何處理“預(yù)設(shè)”與“生成”的關(guān)系談幾點(diǎn)看法．

1 一道例題的2種教學(xué)生成

以下是筆者的一次課堂教學(xué)經(jīng)歷：同一道例題，教師具體講授于甲、乙2個(gè)不同班級(jí)(平行班).雖然是基于同一預(yù)設(shè)的一道習(xí)題的教學(xué)，其教學(xué)過程卻“意外”地顯著不同.

甲班的教學(xué)片段：

師：證明正三角形的方法有哪些？

生(齊聲)：3條邊相等或3個(gè)角相等.

師：用向量如何刻畫呢？

生A：利用|a|=|b|=|c|即可.

生B：或許可以利用∠A=∠B=∠C,因?yàn)閍·b=|a|·|b|cosθ(θ為a,b的夾角)中也有角.

師：好！下面我們來試試.

(學(xué)生說,筆者板書.)

圖1

證法1如圖1，可得

a+b+c=0.

又因?yàn)?/p>

a·b=b·c,

所以

a·b-b·c=b·(a-c)=0,

即 (-a-c)·(a-c)=0,

亦即

(a+c)·(a-c)=0,

從而

a2-c2=0,

即

|a|2=|c|2,

亦即

|a|=|c|.

同理可得

|b|=|c|,|a|=|b|,

從而

|a|=|b|=|c|,

因此△ABC是正三角形.

筆者小結(jié):解決本題的關(guān)鍵是利用a+b+c=0得到b=-a-c,又由a·b=b·c得到b·(a-c)=0,綜合得到結(jié)論.

至此,僅用7分鐘時(shí)間便完成了該例題的講授,筆者認(rèn)為目的已經(jīng)達(dá)到,教學(xué)繼續(xù)進(jìn)行,按預(yù)先的教案講解例2～例5,按部就班直至下課.

乙班的教學(xué)片段:

和甲班類似,當(dāng)筆者提問完“用向量如何刻畫呢？”，學(xué)生這樣回答：

生A：構(gòu)造直角三角形，利用斜邊上中線的性質(zhì).

生B：利用|a|=|b|=|c|.

師：請(qǐng)生A、生B在黑板上板演,其他學(xué)生在下面思考.

生A板演：

證法2因?yàn)閍+b+c=0,

所以

a·a=(b+c)·(b+c),

從而 |a|2=|b|2+|c|2+2b·c,

(1)

同理可得

|b|2=|a|2+|c|2+2a·c,

(2)

式(1)-式(2)得

|a|2-|b|2|=|b|2-|a|2+2(b·c-a·c).

又因?yàn)?/p>

a·b=b·c=a·c,

所以

|a|2-|b|2=|b|2-|a|2,

即

|a|2=|b|2,

亦即

|a|=|b|.

同理可得

|b|=|c|,|a|=|c|，

從而

|a|=|b|=|c|,

因此△ABC是正三角形.

生B板演：

證法3因?yàn)閍·b=b·c=a·c,

所以

a·b-b·c=b·(a-c)=0,

從而

b⊥(a-c).

圖2

又因?yàn)閨AC|=|AD|,所以AB是DC邊上的中線,因此

|AB|=|AC|=|AD|,

即

|a|=|c|.

同理可得

a⊥(b-c),

進(jìn)而

|b|=|c|,

從而

|a|=|b|=|c|,

因此△ABC是正三角形.

筆者講評(píng)：學(xué)生A抓住了|a|2=|b|2+|c|2+2b·c,該式好似解題的一個(gè)“中轉(zhuǎn)站”,起到了紐帶的作用(學(xué)生欣喜).學(xué)生B構(gòu)造直角三角形,并利用斜邊上的中線這一想法，恰倒好處.

至此,本例的教學(xué)似乎應(yīng)該結(jié)束,而且課堂用時(shí)超過21分鐘(較甲班多了14分鐘).筆者不經(jīng)意地發(fā)問”有不同解法嗎?”這一問又激起了學(xué)生思維的浪花.

生C:我利用幾何法做的,利用菱形對(duì)角線垂直的性質(zhì).

筆者放棄原先準(zhǔn)備的教案，讓學(xué)生繼續(xù)交流.

師:請(qǐng)學(xué)生C到黑板上展示自己的過程,其他學(xué)生自己思考.

(此時(shí)教室內(nèi)一篇寂靜,大家已不滿足于一種解法.)

學(xué)生C的板演:

圖3

所以四邊形ABCD為菱形,從而

|AB|=|AC|,

即

|a|=|c|.

同理可得|a|=|b|,|b|=|c|,

從而

|a|=|b|=|c|,

因此△ABC是正三角形.

師：學(xué)生C的解法可以說是另辟蹊徑,妙不可言.還有不同的方法嗎?

筆者話音剛落,學(xué)生E便回答自己是利用a+b+c=0得到b=-a-c,又由a·b=b·c,得到b·(a-c)=0,綜合得到結(jié)論.(這可是教師完成“教案劇”千呼萬喚的方法！)

學(xué)生E已顯得迫不及待：

證法5由于a+b+c=0，所以

a·b=(b+c)·(a+c)=

a·b+a·c+c·b+c·c2,

從而

c2=-(a·c+b·c),

同理可得

a2=-(a·b+a·c)，b2=-(b·a+b·c).

因?yàn)?/p>

a·b=b·c=a·c,

所以

|a|2=|b|2=|c|2,

即

|a|=|b|=|c|.

師：巧妙地利用了a+b+c=0，不易想到，也不失為一種好思路.

下課鈴聲響了,還有學(xué)生在不斷地思考……

新課堂是活動(dòng)的課堂，討論、合作、交流的課堂，它呼喚著學(xué)生的積極參與，因此，教師要善于把握時(shí)機(jī)，創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生潛能，要善于將“球”踢給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生去質(zhì)疑、發(fā)現(xiàn)和探索.教師要相信青年學(xué)子的潛能是不可估量的，要改變教師的角色.教師要悄然“換崗”，變傳授者為引導(dǎo)者、組織者、合作者；學(xué)生要自然“上崗”，變被動(dòng)聽為主動(dòng)探求.只有充分地體現(xiàn)出學(xué)生的主體性、主動(dòng)性，教師的主導(dǎo)作用才能得到充分發(fā)揮．

2 對(duì)教學(xué)預(yù)設(shè)與課堂生成的思考

同一個(gè)例題的教學(xué)過程相差如此之大,著實(shí)發(fā)人深思,這是一場(chǎng)“教案劇”.教師是“強(qiáng)迫”學(xué)生按照課前的預(yù)設(shè)學(xué)習(xí)，還是增強(qiáng)“隨意性”，盡量按照學(xué)生的認(rèn)知情況生成？該如何處理“預(yù)設(shè)”與“生成”的關(guān)系呢?

(1)教學(xué)預(yù)設(shè)要給學(xué)生留有足夠的自由思考的空間.

探究學(xué)習(xí)具有自主性、過程性、實(shí)踐性、開放性等基本特征[1]，因而探究教學(xué)更加重視學(xué)生的主體地位，教學(xué)的重心不是教師的教，而應(yīng)當(dāng)是學(xué)生的學(xué).在課堂情境下，學(xué)生通過討論、質(zhì)疑、交流、反思、探究等認(rèn)知和實(shí)踐活動(dòng)，會(huì)產(chǎn)生很多非預(yù)設(shè)的問題，探究的方向、方式、過程等也會(huì)與教師的預(yù)設(shè)大相徑庭．這就需要教師靈活處理預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系，充分關(guān)注學(xué)生課堂生成的特點(diǎn)，給學(xué)生的探究保留足夠的自由空間，順勢(shì)而為，動(dòng)態(tài)調(diào)整，使教學(xué)預(yù)設(shè)隨著課堂進(jìn)程不斷改變和重建，保證個(gè)體知識(shí)的自主建構(gòu)和逐步完善．本文所述的案例中，在甲班，教師“及時(shí)地”中斷了學(xué)生的不同想法，強(qiáng)硬地執(zhí)行了課前的預(yù)設(shè)，牽著學(xué)生向前走，貌似很節(jié)省時(shí)間，也完成了所謂的“任務(wù)”，但是和乙班的情況相比，思維的積極性、思考問題的靈活性、解決問題的能力諸方面都是無法比擬的．可見，在教學(xué)預(yù)設(shè)時(shí)，要給學(xué)生的自主思考留有足夠的空間，否則，學(xué)生的主體地位無法真正體現(xiàn).

(2)課堂生成與課前預(yù)設(shè)的不一致正是激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維的起點(diǎn).

“生成”對(duì)應(yīng)于“預(yù)設(shè)”.盡管在課前的設(shè)計(jì)，教師對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的一些情況做了設(shè)想，然而面對(duì)的學(xué)生是千變?nèi)f化的，他們的真實(shí)水平往往無法準(zhǔn)確估計(jì)，更多時(shí)候與預(yù)設(shè)有差異甚至截然不同.當(dāng)教學(xué)不再按預(yù)設(shè)展開，這就需要教師冷靜思考，巧妙捕捉其中的亮點(diǎn)資源，并靈活地調(diào)整教學(xué)方法，機(jī)智生成新的教學(xué)方案.筆者在甲班的教學(xué)實(shí)施過程中，對(duì)學(xué)生回答的不同想法沒有重視，而是盡可能將學(xué)生的思路拉回到教師預(yù)設(shè)的軌道上來，生硬地執(zhí)行了課前預(yù)設(shè)的思路．但乙班的情況表明，當(dāng)學(xué)生的思考與教學(xué)設(shè)計(jì)不一致時(shí)，就是激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維的好時(shí)機(jī)．

蘇霍姆林斯基曾描述這樣的課堂：“有些教師能夠做到使他的每一位學(xué)生在課堂上都取得進(jìn)步.……在這里,充滿著……師生間相互體諒的氣氛,有一種智力受到鼓舞的精神,每一位學(xué)生都在盡量靠自己的努力去達(dá)到目的.你從兒童的眼光里就能看那種緊張地、專心致志地思考的神色:一會(huì)兒發(fā)出快樂的閃光(正確答案找到了!)一會(huì)兒又在深沉地思索(從哪里入手來解決這道應(yīng)用題呢?)教師在這樣的氣氛里工作是一種很大的享受.”[2]這也是教師心目中所希望出現(xiàn)的數(shù)學(xué)課堂情形!通過2節(jié)課的對(duì)比，不難看出，乙班學(xué)生的“好想法”層出不窮，而這種情形正是教師恰當(dāng)處理預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系、及時(shí)抓住激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維的好時(shí)機(jī)，使得教學(xué)過程向著理想課堂的方向發(fā)展.

(3)預(yù)設(shè)是為了生成，而生成是動(dòng)態(tài)的.

教學(xué)目標(biāo)的綜合性決定了師生活動(dòng)的多樣性和教學(xué)環(huán)境的復(fù)雜性.教師必須把開發(fā)學(xué)生潛能作為教學(xué)最重要的任務(wù),必須意識(shí)到學(xué)習(xí)是不可重復(fù)的,是激情與智慧的綜合生成過程.因此,教師應(yīng)根據(jù)課堂教學(xué)的“預(yù)設(shè)”,給學(xué)生騰出空間,讓學(xué)生在共同探究中享受“生成”.前文所述的案例中，筆者在甲班教學(xué)時(shí)，生硬地將教學(xué)生成變成了課前預(yù)設(shè)的固定結(jié)論，而在乙班的生成過程是動(dòng)態(tài)的、不斷調(diào)整的，2個(gè)班學(xué)生的收益有著明顯的差異.

教師在備課進(jìn)行教學(xué)預(yù)設(shè)時(shí),就應(yīng)當(dāng)多角度考慮問題的各種可能性,這樣教師在面對(duì)學(xué)生的不同想法時(shí)，能更迅速地形成教學(xué)設(shè)想，從而保證在實(shí)施過程中根據(jù)教學(xué)的進(jìn)程,不斷調(diào)整自己的教學(xué)行為.當(dāng)然，學(xué)生的想法教師課前未必想到，因此，教師充分采納學(xué)生的想法，實(shí)際的課堂生成就未必是教師提前預(yù)設(shè)的情境.換言之，教學(xué)生就變成了一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，這樣新課改數(shù)學(xué)教育所期待的“走向未知”的“后現(xiàn)代教育觀”與“對(duì)話課堂觀”的動(dòng)人景象就一定會(huì)出現(xiàn)!

[1] 貝爾.中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].許振聲，譯.北京：教育科學(xué)出版社，1988：125.

[2] 蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M].杜殿坤,譯.北京:教育科學(xué)出版社,1984：76.