一個幾何不等式的應(yīng)用及推廣

● (開化縣第二中學(xué) 浙江開化 324300)

一個幾何不等式的應(yīng)用及推廣

●曹嘉興(開化縣第二中學(xué) 浙江開化 324300)

近日，筆者探究了一個簡單而重要的幾何不等式，它是著名的外森比克不等式的一種加強，利用該不等式及其證明可以得出一些非常有趣的不等式.當(dāng)筆者進一步研究該不等式的推廣時發(fā)現(xiàn)，我們所熟知的一些重要不等式都可由其推廣得到.

定理1設(shè)△ABC的3條邊長和面積分別為a,b,c和Δ，則

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時等號成立.

證明在△ABC中,由余弦定理得

c2=a2+b2-2abcosC,

(a+b)2-4ab=(a-b)2≥0,

即

顯然，當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時等號成立.

推論1[1]設(shè)△ABC的3條邊長和面積分別為a,b,c和Δ，則

證明由二元均值不等式及本文定理1可得

推論1就是著名的外森比克不等式,本文定理1是外森比克不等式的一種加強.

推論2設(shè)△ABC的3條邊長和面積分別為a,b,c和Δ，則

證明從本文定理1的證明可以看出有以下更強的不等式:

同理可得

把式(1),(2),(3)相加立即得到推論2.

推論3設(shè)△ABC的3條邊長、3個內(nèi)角和面積分別為a,b,c；A,B,C和Δ，則

證明從本文定理1的證明可知

同理可得

(7)

由費恩斯列爾─哈德維格爾不等式[1]：

a2+b2+c2≥

可得

因此

推論3是一個非常有趣的不等式，它將三角形的所有基本元素(3條邊長、3個內(nèi)角和面積)融于一體.

推論4設(shè)△ABC的3個內(nèi)角分別為A,B,C，則

把定理1推廣到2個三角形中，便得到

定理2設(shè)△ABC和△A′B′C′的3條邊長和面積分別為a,b,c，Δ；a′,b′,c′，Δ′，則

2aba′b′+c2c′2≥16ΔΔ′，

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC和△A′B′C′都是正三角形時等號成立.

證明由正弦定理得

利用三元均值不等式得

即

2aba′b′+c2c′2≥16ΔΔ.

由以上證明過程不難看出當(dāng)且僅當(dāng)△ABC和△A′B′C′都是正三角形時等號成立.

推論1[2]設(shè)△ABC和△A′B′C′的3條邊長和面積分別為a,b,c，Δ；a′,b′,c′，Δ′，則

a2a′2+b2b′2+c2c′2≥16ΔΔ′,

等號當(dāng)且僅當(dāng)△ABC和△A′B′C′都是正三角形時成立.

證明由二元均值不等式及本文定理2可得

a2a′2+b2b′2+c2c′2≥2aba′b′+c2c′2≥16ΔΔ′.

推論2[1]設(shè)△ABC和△A′B′C′的3條邊長和面積分別為a,b,c，Δ；a′,b′,c′，Δ′，則

等號當(dāng)且僅當(dāng)△ABC和△A′B′C′都是正三角形時成立.

證明由本文定理2得

同理可得

把式(8),(9),(10)相加得

(aa′+bb′+cc′)2≥48ΔΔ′,

即

利用定理2的證法還可以對定理1中的不等式作加權(quán)推廣，便得到以下結(jié)論.

定理3設(shè)△ABC的3條邊長和面積分別為a,b,c和Δ;λ，μ為任意正數(shù)，則

等號當(dāng)且僅當(dāng)λ=μ并且△ABC為正三角形時等號成立.

即

由以上證明過程不難看出當(dāng)且僅當(dāng)λ=μ并且△ABC為正三角形時等號成立.

推論設(shè)△ABC的3條邊長和面積分別為a,b,c和Δ，則

等號當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時成立.

即

這個推論就是著名的波利亞─舍貴不等式[3].

[1] 匡繼昌.常用不等式[M].3版.濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004.

[2] 單墫．幾何不等式[M]．上海：上海教育出版社，1980：55．

[3] 單墫．?dāng)?shù)學(xué)名題詞典[M]．南京：江蘇教育出版社，2002：543．

[4] 楊學(xué)枝．?dāng)?shù)學(xué)奧林匹克不等式研究[M]．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009．

[5] 安振平.從著名的外森比克不等式引發(fā)的思考[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2010(10)：23-25.