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    不畏浮云遮望眼 深思熟慮子自知
    ——2012年浙江省數(shù)學(xué)高考解題追蹤調(diào)查研究

    2012-11-20 09:25:05溫嶺中學(xué)浙江溫嶺317500
    中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2012年12期
    關(guān)鍵詞:主元望眼溫嶺

    ● (溫嶺中學(xué) 浙江溫嶺 317500)

    不畏浮云遮望眼深思熟慮子自知——2012年浙江省數(shù)學(xué)高考解題追蹤調(diào)查研究

    ●孫海琴(溫嶺中學(xué) 浙江溫嶺 317500)

    近幾年的浙江省數(shù)學(xué)高考試題既重視基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的考查,又力避學(xué)生熟悉的“解題套路”,深化了學(xué)科素養(yǎng)與思維的考查.現(xiàn)以2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第17題為例,加以剖析和說(shuō)明.

    題目設(shè)a∈R,若x>0時(shí)均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0成立,則a=________.

    筆者隨機(jī)抽樣調(diào)查了本校高三部分學(xué)生(40人)的解題情況.這是學(xué)生熟悉的“恒成立”命題,但成功解題的人卻不多.其中22人選用“構(gòu)造函數(shù)”方法解題失敗,11人選用“變量分離”方法解題失敗,11人轉(zhuǎn)化為不等式解集關(guān)系僅有2人成功解題,轉(zhuǎn)化為圖像位置關(guān)系解題的有8人成功,利用特殊值解題的有5人成功.個(gè)別學(xué)生甚至嘗試2~3種方法都解題失敗,收集學(xué)生解答過(guò)程發(fā)現(xiàn):面對(duì)困難,若能勇敢嘗試,大膽突破,其實(shí)“條條大路通羅馬”.

    思路1構(gòu)造函數(shù)

    學(xué)生解答:因?yàn)閇(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,所以

    (a-1)x3-(a2-a+1)x2+x+1≥0.

    設(shè)f(x)=(a-1)x3-(a2-a+1)x2+x+1,則

    f′(x)=3(a-1)x2-2(a2-a+1)x+1.

    出現(xiàn)困難:不等式

    f′(x)=3(a-1)x2-2(a2-a+1)x+1≥0

    的解集無(wú)法求.

    突破困難:正確理解解不等式f′(x)≥0的意義,道是“不解”勝“詳解”.

    解法1當(dāng)a=1時(shí),顯然不合題意.記

    Δ=4(a2-a+1)2-12(a-1),

    圖1

    圖2

    圖3

    圖4

    圖5

    再次突破:代數(shù)技巧“設(shè)而不求”能巧妙地避實(shí)就虛,實(shí)現(xiàn)“化繁為簡(jiǎn)”的目的.

    解法2以數(shù)解形

    若a-1≤0,則當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→-∞,因此a-1>0.因?yàn)閤2-ax-1=0有2個(gè)相異實(shí)根,所以f(x)=0至少有2個(gè)實(shí)根.

    (1)當(dāng)Δ≤0時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞增,f(x)只有1個(gè)根,故舍去.

    (2)當(dāng)Δ>0時(shí),設(shè)f′(x)=0的2個(gè)根為x1,x2,且x10.

    表1 f (x)與f ′(x)的取值情況

    思路2解不等式組

    學(xué)生解答:因?yàn)閇(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0等價(jià)于

    當(dāng)a-1>0時(shí),

    首次突破:巧用符號(hào)在分類(lèi)討論中可達(dá)到“事半功倍”之效.

    解法3記方程x2-ax-1=0的2個(gè)根為x1,x2,且x10,

    當(dāng)a-1≤0時(shí),顯然不合題意.

    當(dāng)a-1>0時(shí),

    由題意可得

    從而

    (二)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察家庭生活。家庭同樣是孩子的學(xué)校,同時(shí)也是孩子最放松、最熟悉的地帶。家庭教育與學(xué)校教育關(guān)系密切。教師應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)家長(zhǎng)積極主動(dòng)參與學(xué)生的校外學(xué)習(xí),同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生在家中觀察家庭成員、記錄家庭事件,從而積累豐富的寫(xiě)作素材。比如,教師引導(dǎo)學(xué)生記錄家事,引導(dǎo)學(xué)生記錄下家里發(fā)生的難忘的事情、開(kāi)心的事情、難過(guò)的事情等等。這樣一來(lái),家庭瑣事、家庭成員的活動(dòng)等等也將成為孩子寫(xiě)作素材的一大來(lái)源,記錄家庭事件可以充分激發(fā)學(xué)生的積極性,激勵(lì)孩子寫(xiě)出真實(shí)而不套路的文字。

    再次突破:高次不等式轉(zhuǎn)化為不等式組有“化簡(jiǎn)為繁”之嫌,零點(diǎn)分區(qū)間討論是解決高次不等式的有效手段.

    解法4當(dāng)a-1>0時(shí),原不等式等價(jià)于

    圖6

    圖7

    圖8

    思路3參變量分離轉(zhuǎn)化成求最值問(wèn)題

    學(xué)生解答:因?yàn)閇(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0等價(jià)于

    所以

    從而

    首次突破:只有正確理解“或”才能避免此類(lèi)“失誤”.

    解法5結(jié)合y=x2-ax-1的圖像(如圖9所示)可以發(fā)現(xiàn):

    圖9

    圖10

    解法6由y=(a-1)x-1的圖像(如圖10所示)可以發(fā)現(xiàn)(其中a-1≤0不合題意):

    再次突破:優(yōu)化解法5和解法6.

    思路4考察2個(gè)函數(shù)圖像的位置關(guān)系

    解法7學(xué)生解答

    在同一坐標(biāo)系作出y=x2-ax-1及y=(a-1)x-1的圖像,顯然2個(gè)函數(shù)都過(guò)定點(diǎn)(0,-1).記方程x2-ax-1=0的2個(gè)根為x1,x2,且x10.

    圖11

    圖12

    圖13

    圖14

    解法8以數(shù)解形

    三次突破:變量分離的實(shí)質(zhì)是變更主元.

    思路5變更主元

    解法9以a為主元,由原不等式可得

    [ax-(x+1)][ax-(x2-1)]≤0,

    因此

    又a是一個(gè)確定的值,由兩邊夾原理可得

    從而

    x=2,

    解法10將ax看成主元,由原不等式可得

    [ax-(x+1)][ax-(x2-1)]≤0,

    圖15

    思路6特殊值法

    解法11學(xué)生解答

    當(dāng)x=1時(shí),0≤a≤2;

    本題作為填空題的最后一題,具有一定的難度和區(qū)分度,思維的切入點(diǎn)較多,思維空間較大,為不同水平的學(xué)生提供了不同的發(fā)揮空間.本題由學(xué)生熟悉的習(xí)題改編而成,考生雖有似曾相識(shí)的感覺(jué),但往往被“浮云遮望眼”,此時(shí)需要信心,需要通過(guò)觀察、聯(lián)想、分析、轉(zhuǎn)化來(lái)達(dá)到“深思熟慮”,突破困難,進(jìn)而達(dá)到“子自知”的境界.此題對(duì)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維論、方法論教學(xué),避免陷入盲目、機(jī)械的解題訓(xùn)練起到了很好的導(dǎo)向作用.

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