數(shù)學教學中要明白3個為什么

● (臺州市第一中學 浙江臺州 318000) ● (臺州市教研室 浙江臺州 318000)

數(shù)學教學中要明白3個為什么

●李建明(臺州市第一中學 浙江臺州 318000) ●蔣榮清(臺州市教研室 浙江臺州 318000)

近幾年中學數(shù)學課堂教學的有效性問題備受關注.中學數(shù)學課堂到底該實現(xiàn)什么目標，學生在中學數(shù)學課堂中哪些方面該得到有效培養(yǎng)，這些在課程標準中都有了明確的要求：一是數(shù)學知識與技能的學習；二是在知識的學習過程中把握方法、提升能力、發(fā)展意識；三是建立對數(shù)學的全面的良好的情感態(tài)度價值觀.觀察目前國內(nèi)中學數(shù)學課堂，在“雙基”鞏固落實上一直都做得很好，但在思維能力培養(yǎng)上卻不盡如人意，有效性的缺失主要表現(xiàn)于此.那么如何更好地彌補這種缺失，進一步提高數(shù)學課堂教學的有效性？本文認為關鍵在于教師在課堂教學中要重視培養(yǎng)學生自主地思考并發(fā)問：我想知道為什么？

1 為什么要學習這部分數(shù)學知識

劉紹學先生在《普通高中課程標準實驗教科書》的主編寄語中就特別談了“為什么要學數(shù)學”的問題，他告訴學生們學習數(shù)學的必要性與重要性.事實上，無論是一個模塊知識的教學還是一節(jié)數(shù)學課的教學，都有它存在與出現(xiàn)的必要性與合理性,作為主導者的教師有必要把這個問題在教學開篇之時就向?qū)W生交代清楚.學生了解了學習這部分知識的必要性與合理性就能提高學習與鉆研的自主性，否則，其積極性與主動性就會大打折扣.

案例1直線的傾斜角與斜率

為什么要定義傾斜角？這是在引入傾斜角這個概念前必須讓學生了解的一個問題，也就是讓學生了解定義這一概念的目的與意義.為了刻畫直線在坐標平面中的位置，為了區(qū)別經(jīng)過同一點的不同直線的位置關系，你會用什么辦法？能定義這樣的一種量嗎？這樣的問題引導能讓學生明確定義的必要性以及如何定義這個概念.要用角來區(qū)別直線位置就需要一個基準、一個參照物，在坐標系內(nèi)你會找哪個作為參照物？那就是x軸及它的正方向.角是由同一點出發(fā)的2條射線組成的圖形，結(jié)合圖形，你會用哪個角來刻畫直線的方向？為什么不選與x軸的夾角？這樣直線的傾斜角怎么定義就明確了.由于我們的目的是刻畫直線的方向,自然直線的傾斜角的范圍就應該是0°≤α<180°.為什么不取180°?那是因為它與0°所刻畫的是同一種位置狀態(tài).為什么不是0°<α≤180°？那是因為能用較小的就不用較大的.這樣的引導很自然地讓學生了解了為什么要學習這一概念,以及如何定義這一概念是合理的.

至此，對直線傾斜程度的幾何、代數(shù)這2個方面的刻畫都已經(jīng)完成，但是對它們之間的關系還需要加強理解和認識.教師可以設計如下問題讓學生探究：當直線的傾斜角在銳角范圍內(nèi)變化時，直線斜率的變化范圍如何？當直線的傾斜角在鈍角范圍內(nèi)變化時，直線斜率又如何變化？當直線的傾斜角是0°或90°時，直線的斜率是多少？如果2條直線(不重合)都有斜率，那么這2條直線平行時，傾斜角與斜率有什么關系，反之又如何？

如果教師能在教學過程中不斷地引導學生去思考這些問題，那么學習這些數(shù)學知識的前因后果就顯得既合理又簡單，對學生來說也容易接受并樂意接受，不但能感受到學習這些數(shù)學知識的必要性，也能感受到“數(shù)學是自然的、清楚的”，同時也很好地培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力.作為教師，應該把培養(yǎng)學生思考并提問作為教學的一個環(huán)節(jié)來預設，應該在教學預設中得到體現(xiàn).

2 為什么會產(chǎn)生這類數(shù)學思想方法

教師明白掌握數(shù)學思想方法對學生的重要性，也知道數(shù)學思想方法的學習不是一蹴而就的，需要在平時的課堂教學中不斷進行滲透.同時,很多教師感慨：數(shù)學思想方法的教學有效性缺失嚴重，學生對知識的掌握效率遠高于對數(shù)學思想方法的掌握效率.這種教學有效性的缺失是不是與教學有關呢？數(shù)學思想方法教學的有效性如何才能更好地達成呢？事實上，大量課堂對思想方法的教學都只強調(diào)了功能性與重要性，很少說明“為什么會產(chǎn)生這種思想方法”.由于這一根源性問題，學生往往跟著教師體驗這種思想方法的神奇，很少領悟為什么會產(chǎn)生這種思想方法，造成了學生在遇到問題時想不到運用該思想方法.

案例2在“平面向量”的復習課上，教師列舉了一道2005年浙江省數(shù)學高考試題：

例1已知向量a≠e，|e|=1，對任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則

( )

A.a⊥eB.a⊥(a-e)

C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)

學生1的思路如下：

由|a-te|≥|a-e|，得

|a-te|2≥|a-e|2,

展開并整理，得

t2-2a·et+2a·e-1≥0.

由t∈R,得

Δ=(-2a·e)2+4-8a·e≤0,

解得a·e=1.故選C.

教師：針對向量模的關系問題，學生1運用平方運算，把模的運算轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄窟\算，并利用方程的判別式得到了正確答案，思路不錯，這是我們處理向量模問題常用的方法.大家還有沒有其他的處理方法？

圖1

(學生沉默.)

教師：其實這個問題還有更好的處理方法，那就是數(shù)形結(jié)合.

(教師在黑板上畫了圖1.)

教師：從圖1中可以看出，當t的大小變化時，|a-te|也就是向量a-t·e的長度隨之改變.而|a-e|也就是a-e的長度是個定值，已知|a-te|≥|a-e|對任意t恒成立，因此|a-e|是所有|a-te|中最小的，那么在什么狀態(tài)下是最小的呢？顯然是垂直狀態(tài).

(學生一片驚嘆！)

這是中學數(shù)學課堂中很典型的一個片段.該教學過程除了讓學生對教師的聰明表示贊賞、對數(shù)形結(jié)合這一方法的功效表示驚嘆之外，對數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學思想掌握的有效性是不高的，學生們不知道教師是怎么想到，更不知道什么時候用這一思想.

所謂數(shù)學思想是對這一數(shù)學知識本質(zhì)的認識，是從某些具體數(shù)學內(nèi)容的認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點，是建立數(shù)學和用數(shù)學解決問題的指導思想.高中數(shù)學中的函數(shù)、向量內(nèi)容是數(shù)形結(jié)合思想運用的典范.這是為什么呢？這是由這些內(nèi)容自身的本質(zhì)特點所決定的：函數(shù)與向量都有3種表現(xiàn)形式(函數(shù)的表現(xiàn)形式：解析式、圖像、表格；向量的表現(xiàn)形式：字母、圖形、坐標)，既有代數(shù)形式又有幾何形態(tài).函數(shù)與向量問題的基本形態(tài)是符號化的代數(shù)形式，將這類代數(shù)形態(tài)的數(shù)量關系用圖形語言表現(xiàn)出來，就能更直觀形象地感知題目所呈現(xiàn)的問題關系.這就是為什么在函數(shù)、向量問題中以形助數(shù)思想能發(fā)揮關鍵作用的原因.

3 為什么用這種方法可以解決這個問題

數(shù)學教學離不開解題教學，但解題不是教學的根本目的，讓學生通過解題教學把握方法、提升思維和分析能力，并在這個過程中培養(yǎng)求知欲、意志力以及理性精神才是解題教學的根本.在解題教學中，很多教師會不遺余力地把自己預設好的解法教給學生，講得頭頭是道，學生聽得津津有味，解題教學儼然成了解題方法的傳授,但是最后在新的問題面前，學生還是無從下手.因為學生從來沒有思考過“為什么用這種方法可以解決這類問題”，不能從思維的根源上掌握這一方法，再次遇到時只能憑記憶與經(jīng)驗來解決，數(shù)學思維能力培養(yǎng)的長期有效性得不到保證.

(1)求∠A的度數(shù)；

即

因此

方法2因為a2=b2+c2-bc≥bc，所以

而

故

教師在講解此題時提供了2種思路，一題多解，殊途同歸.從學生的反應來看應該都聽懂了，但這樣的課堂教學給人的感覺就只是“授生以魚”，其實這里有很多個“為什么”值得學生去思考：方法1為什么能想到利用正弦定理化邊為角，為什么化邊為角后就能解決問題，為什么要把∠C用∠B替換？方法2為什么使用余弦定理，為什么把所求式進行平方，使用余弦定理后又為什么要運用基本不等式進行放縮？在解決過程中，所有這些問題都必須讓學生領悟清楚，只有潛移默化地讓學生思考并感知這些“為什么”，才有可能在下一個問題面前快速尋找到思維的突破口.

數(shù)學是充滿智慧、使人聰明的學科.數(shù)學教學在發(fā)展學生思維尤其是理性思維方面具有獨特的優(yōu)勢和不可推卸的責任.中學階段是學生理性思維發(fā)展和形成的關鍵期，學生在數(shù)學學習的過程中學會把握方法、提升思維能力、發(fā)展數(shù)學意識，從而建立起對數(shù)學全面、良好的情感態(tài)度價值觀是課程標準對數(shù)學課堂教學提出的目標.如果學生在每天的數(shù)學課堂教學中都能把上述3個“為什么”作為思考與發(fā)問的對象，那么他們就能自覺地、有意識地、充分地體驗數(shù)學作為理性思維載體的一面，學生的數(shù)學思維就能得到較好的培養(yǎng)與提高，數(shù)學教學就能為學生的可持續(xù)發(fā)展奠下良好的基礎.

[1] 嚴士健，張奠宙，王尚志.數(shù)學課程標準(實驗)解讀[M].南京：江蘇教育出版社,2004.

[2] 錢佩玲.中學數(shù)學思想方法[M].北京：北京師范大學出版社，2001.

[3] 李昌官.讓數(shù)學教學閃耀理性的光芒[J].數(shù)學通報，2006,45(7)：4-7.

[4] 陶維林.利用教學內(nèi)容的邏輯體系培養(yǎng)學生的邏輯思維能力[J].數(shù)學通報，2007,46(2)：26-28.