H-矩陣的一組充分條件

楊亞芳，梁茂林

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

1 引言及預(yù)備知識(shí)

非奇異H-矩陣有著廣泛的應(yīng)用，許多實(shí)際問題都可歸結(jié)為求解大型線性方程組，而在求解方程組時(shí)往往假設(shè)其系數(shù)矩陣是非奇異H-陣，這是因?yàn)楫?dāng)?shù)仃囀欠瞧娈怘-陣時(shí)，Jacobi，JOR，SOR，SSOR都是收斂的，因此判別一個(gè)矩陣是否為H-陣有著十分重要的意義.文獻(xiàn)［1-4］等給出了簡單實(shí)用的判別條件，本文給出了一組新的有效判別條件.

設(shè)Mn(C)表示n階復(fù)方陣的全體，A∈Mn(C)，記

令

定義1.1[5]若A∈Mn(C)滿足且至少有一個(gè)嚴(yán)格不等號(hào)成立，對(duì)于每一等式成立的i或N3中的i使得非零元素鏈aij1aj1j2…ajk-1jk滿足則稱A為具有非零元素鏈的對(duì)角占優(yōu)矩陣.熟知具有非零元素鏈的對(duì)角占優(yōu)矩陣是非奇異H-矩陣.

2 主要結(jié)論

定理2.1若A∈Mn(C)滿足

則A是非奇異H-矩陣.

證明 由（1）式和（2）式知

因此一定存在充分小的ε＞0滿足

構(gòu)造正對(duì)角矩陣D=diag(d1，d2，…，dn)，其中

記B=AD，下面證明B是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

對(duì)任意的i∈N2， 當(dāng)時(shí)，由（6）式得

從而

由ε的非負(fù)性知

所以對(duì)任意的i∈N3，

所以B為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，即A為非奇異H-矩陣.

定理2.2設(shè)A∈Mn(C)為不可約矩陣且滿足

且上述式子中至少有一個(gè)嚴(yán)格不等號(hào)成立，則A是非奇異H-矩陣.

證明 構(gòu)造正對(duì)角矩陣D=diag(d1，d2，…，dn)，其中

記B=AD，下面證明B是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

對(duì)任意的i∈N1， 由（7）式知

對(duì)任意的i∈N2， 由（8）式知

且存在i∈N1∪N2， 滿足

所以B為不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣，即A為非奇異H-矩陣.

定理2.3設(shè)A∈Mn(C)，如果滿足

且上述式子中至少有一個(gè)嚴(yán)格不等號(hào)成立，對(duì)于每一等式成立的i或N3中的i，存在非零元素鏈滿足當(dāng)k∈N1時(shí)，

或當(dāng)k∈N2時(shí)，

則A是非奇異H-矩陣.

3 數(shù)值例子

設(shè)

則N1={2}，N2={3}，N3={1，4}，Q3(A)=11.5833 ，

即由定理2.2知A為非奇異H-矩陣.因?yàn)?/p>

所以不能用文獻(xiàn)［2］判斷.又因?yàn)?/p>

所以不能用文獻(xiàn)［3］判斷.

[1]VARGE R S.On recurring theorems on diagonal dominance[J].Linear Algebra,Appl.,1976,(13):1-9.

[2]BERMAN A,PLEMMONS R J.Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences[M].Philadelphia:SIAM Press,1994.

[3]逄明賢.矩陣對(duì)角占優(yōu)性的推廣及應(yīng)用[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1989,12:35-33.

[4]黃廷祝.非奇異H-矩陣的簡捷判據(jù)[J].計(jì)算數(shù)學(xué),1993,15:318-328.

[5]胡家贑.線性方程組的迭代解法[M].北京:科學(xué)出版社,1991.