超聲波在懸浮液中的衰減

蘇杭麗

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)信息工程學(xué)院，江蘇南京 210003)

當(dāng)一束平行超聲波通過厚度為x的懸浮液時(shí)，由指數(shù)衰減定律得

式中:I0，I——入射、出射超聲波的強(qiáng)度;α——超聲波振幅衰減系數(shù)。

有關(guān)衰減系數(shù)的研究很多［1-7］，1948年Lamb等［7］提出了一個(gè)比較實(shí)用的公式:

其中

式中:k——波數(shù);cv——顆粒的體積分?jǐn)?shù);r——懸浮液中顆粒的半徑;c1——懸浮液中顆粒的密度;c0——媒質(zhì)密度;λ——超聲波波長;f——超聲波頻率;μ——黏滯系數(shù)。

由式(2)可以看出，α是顆粒粒徑(d=2r)的復(fù)雜函數(shù)。式(2)中括號(hào)中的第1項(xiàng)是由散射造成的衰減，類似光學(xué)中的瑞利散射，為d的單調(diào)遞增函數(shù);中括號(hào)中的第2項(xiàng)為黏滯衰減項(xiàng)，是d的單調(diào)遞減函數(shù)。但是，1963年Flammer［8］給出cv為0.1%時(shí)不同頻率超聲波束所對應(yīng)的α與d的關(guān)系曲線(圖1)。從圖1可以看出，不同頻率超聲波束的α與d關(guān)系曲線近乎平行。因此，式(2)不能很好地對圖1中的曲線進(jìn)行模擬。

將式(1)和式(2)進(jìn)行整理得

其中

圖1 Flammer曲線Fig.1 Flammer curves

由式(3)可得:超聲波強(qiáng)度I隨cv呈指數(shù)衰減;定義Y=ln為聲密度，則Y與為線性正相關(guān)。而文獻(xiàn)［9］給出的Y與關(guān)系曲線不完全符合式(3)所描述的Y與cv成正比的關(guān)系(圖2)。

為解決理論公式(2)(3)不能很好地模擬試驗(yàn)曲線的問題，筆者對Lamb公式中的散射衰減項(xiàng)及Y與cv的線性關(guān)系進(jìn)行修正，使2個(gè)理論公式能夠較好地對圖1、圖2中的試驗(yàn)曲線進(jìn)行模擬。

1 散射衰減項(xiàng)的修正

式(2)中括號(hào)中的第1項(xiàng)可以用來說明圖1曲線上的(b)段。式(2)中括號(hào)中的第2項(xiàng)可以用來說明圖1中的(a)段曲線。因此，式(2)只說明α存在一個(gè)極小值，但是圖1顯示α除了存在一個(gè)極小值外，還存在一個(gè)極大值以及 (c)段曲線。文獻(xiàn)［10］指出式(2)不適用(c)段曲線，因此，可以認(rèn)為Lamb公式中黏滯衰減項(xiàng)不需要修正。因?yàn)槿鹄⑸渲贿m用于微細(xì)粒子而無法模擬粗粒子的散射，因此式(2)中的瑞利散射項(xiàng)需要修正。修正的前提是:粗粒子對超聲波的散射類似于對光波的散射，即對于超聲波的散射，顆粒只是相移元件;超聲波經(jīng)過顆粒會(huì)產(chǎn)生相位角為c的相移，產(chǎn)生相移的超聲波與那些沒有相移的超聲波束發(fā)生干涉形成散射，其散射系數(shù)K可用Hulst模型［11］求出:

圖2 與c關(guān)系曲線vFig.2 Sound intensity attenuation with concentration

其中

式中:c——相移因子;m——折射率。

如果超聲波不是單頻率，而有一個(gè)頻帶分布，其中心頻率為f0，則K的脈動(dòng)被平滑［12］后為

式中l(wèi)，w，p是由試驗(yàn)確定的系數(shù)。

根據(jù)超聲波散射衰減系數(shù)的定義得

式中:N——單位體積的顆粒數(shù);G——單個(gè)顆粒的截面積。

將式(6)代入式(2)的瑞利散射項(xiàng)得

其中

式(7)等號(hào)右邊的第1項(xiàng)為黏滯衰減項(xiàng)，即為圖1中曲線的(a)段;等號(hào)右邊第2項(xiàng)為修正的Hulst散射項(xiàng)。根據(jù)文獻(xiàn)［13］，Hulst散射曲線隨d增大而增大，K首先以瑞利模型方式增加并達(dá)到極大值，然后逐漸隨d增加而減小，形成1個(gè)單峰。當(dāng)d很大時(shí)，式(7)等號(hào)右邊的第2項(xiàng)約為c。因此，式(7)能全面解釋圖v1中曲線的(a)段、(b)段和(c)段。

2 Y與c v線性關(guān)系的修正

式(3)說明Y和cv成正比關(guān)系。圖3是由圖2改繪而成的Y～cv曲線。由圖3可知，Y與cv的關(guān)系線不是一條簡單的直線，而是一條中間扭曲的S形曲線。

2.1 線性消聲模型

平行超聲波束照射懸浮液，經(jīng)水層顆粒吸收散射以后，超聲波束被衰減，如圖4(a)所示［14］。設(shè)懸浮液的厚度為L，分為n層，每層厚度為h，S為水槽面積。則單位截面積上每層顆粒數(shù)為Nh;h距離內(nèi)，單位截面的消聲系數(shù)為

圖3 Y與c v關(guān)系曲線Fig.3 Relationship between sound density(Y)and concentration(c v)

線性消聲模型中每個(gè)水層的消聲作用相互獨(dú)立，因此，每層的消聲系數(shù)q相等。

式(9)即為指數(shù)衰減定律式(1)，其只適用于q比較低的情況。即只有當(dāng)顆粒體積分?jǐn)?shù)很低時(shí)，每一水層顆粒的消聲作用才相互獨(dú)立。

圖4 消聲模型Fig.4 Acoustical model

2.2 非線性消聲模型

隨著顆粒體積分?jǐn)?shù)增加，前各層的顆粒對后層顆粒的消聲作用有遮蔽作用，使后面各層顆粒接受聲波束作用的機(jī)會(huì)少于前面各層［13］，所以各層的有效消聲顆粒數(shù)不同。如果只考慮2次重疊作用，ni為第i層的有效粒子數(shù)，qi為第i層的消聲系數(shù)(圖4(b))，則Y的表達(dá)式為

其中

式(10)簡化得

式中 β1，β2，β3，β4為待定系數(shù)。

由式(11)知，Y與cv成多項(xiàng)冪指數(shù)關(guān)系。根據(jù)圖2中的試驗(yàn)曲線，確定β1=0.92，β2=3.8，β3=1.65，β4=1.7。將 β1，β2，β3，β4的值代入式(11)中，計(jì)算不同 cv值對應(yīng)的 Y值，并以此作為理論值，根據(jù)圖2中的試驗(yàn)曲線列出cv對應(yīng)的Y值作為試驗(yàn)值(表1、圖3)。

表1 不同c v值對應(yīng)的Y理論值與試驗(yàn)值Table 1 Theoretical values and experiment values of Y corresponding to different values of c v

從圖3可以看出，Y的理論值曲線與試驗(yàn)曲線的變化趨勢基本一致，即一次導(dǎo)數(shù)、二次導(dǎo)數(shù)和極限值都基本一致，表明修正后Y的理論公式能較好地模擬試驗(yàn)曲線。

3 結(jié) 語

對Lamb公式中的散射衰減項(xiàng)進(jìn)行修正，修正后的lamb公式能更好地模擬試驗(yàn)曲線。粒子對聲波的散射類似于對光波的散射。提出了有效粒子數(shù)的概念，通過對Y與cv關(guān)系式進(jìn)行修正，得出Y是cv的多項(xiàng)指數(shù)函數(shù)，且此函數(shù)能較好地?cái)M合試驗(yàn)曲線的結(jié)論。

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