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    半群的Cwrpp Rees根的擴(kuò)張結(jié)構(gòu)

    2012-10-10 12:10:36高振林許成蘇
    關(guān)鍵詞:半格同態(tài)性質(zhì)

    高振林, 許成蘇

    (上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

    1 預(yù)備知識(shí)

    定義1[1]半群S上的Green′s關(guān)系L和R定義為

    Fountain[2]將Green’s關(guān)系推廣,定義 Green’s*關(guān)系L*和R*為:

    (a,b)∈L*當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?x,y∈S1有ax=ay?bx=by

    (a,b)∈R*當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?x,y∈S1有xa=y(tǒng)a?xb=y(tǒng)b

    文獻(xiàn)[3]對(duì)Green′s*-關(guān)系做了進(jìn)一步推廣,定義Green’s**關(guān)系L**和R**為

    (a,b)∈L**當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?x,y∈S1有(ax,ay)∈R?(bx,by)∈R

    (a,b)∈R**當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?x,y∈S1有(ax,ay)∈L?(bx,by)∈L

    定義2[4]半群S如果滿足下列條件:

    a.S的每個(gè)L**-類至少含有一個(gè)冪等元;

    b.對(duì)?a∈S,?e∈E()有a=ae,其中E()為的冪等元集合,則稱S為wrpp半群;若wrpp半群S還滿足E(S)?C(S),即S的冪等元在S的中心()CS中,則稱S為Cwrpp半群.

    定義3[5]半群S上的同余ρ稱為Cwrpp同余,如果S/ρ是Cwrpp半群.此時(shí)如果ρ還是S上的Rees同余,稱ρ是Cwrpp Rees同余.

    定義4[5]對(duì)半群S上的Cwrpp同余ρ,如果存在S的子集I和Cwrpp子半群使得

    S=I∪C(不必是不交并)且C?S/ρ

    則稱I是S的(Cwrpp)ρ-集,這時(shí)將ρ記作ρI.

    由文獻(xiàn)[5]知,若(Cwrpp)ρ-集存在,則由ρ唯一確定.另外,若ρ是 Cwrpp Rees同余,則(Cwrpp)ρ-集I必存在,且I是半群S的理想,稱I為S的Cwrppρ-理想.

    定義5[5]對(duì)半群S,如果S無任何Cwrpp同余,那么定義S的Cwrpp根同余是泛關(guān)系S×S,且稱S是Cwrpp根半群;如果S至少有一個(gè)Cwrpp同余,那么定義S上的Cwrpp根同余是所有Cwrpp同余ρα(α∈w)的交,記作ρcr.即

    如果ρcr也有ρcr-集,則將其記為N(S).即ρcr=ρN(S).稱N(S)為S的 Cwrpp根集.對(duì)于 Cwrpp根同余ρcr和Cwrpp根集N(S),有時(shí)統(tǒng)稱它們?yōu)镾的Cwrpp根.

    由定義5知,對(duì)任-半群S,ρcr總是存在的.一般地,ρcr不必仍是S的Cwrpp同余.當(dāng)然,若ρcr仍是S上的Cwrpp同余,那么ρcr是S上的最小Cwrpp同余.

    定義6[5]稱半群S的Cwrpp根同余ρcr是強(qiáng)Cwrpp根,若ρcr仍是S上的Cwrpp同余,且N(S)存在.若S的強(qiáng)Cwrpp根同余ρcr還是Rees同余,即N(S)是S的理想,則稱S為有強(qiáng)Cwrpp Rees根的wrpp半群.

    設(shè)半群S的Cwrpp根同余ρcr是強(qiáng)Cwrpp根,由文獻(xiàn)[5]知

    定義7[4]稱半群S為(右)左(L)R-可消的,若?a,b,c∈S有((ba,ca)∈L?(b,c)∈L)(ab,ac)∈R?(b,c)∈R.

    定義8 假設(shè)N,T*是不相交半群,T=T*∪{0}有零元0.稱半群S是由T關(guān)于N的一個(gè)(理想)擴(kuò)張,如果S=NT*(不交并)且N是S的一個(gè)理想使得S/N?T.T關(guān)于N的一個(gè)(理想)擴(kuò)張S稱為Cwrpp Rees根的擴(kuò)張,若T是Cwrpp半群且N(S)=N是wrpp半群.

    文獻(xiàn)[5]解決了有強(qiáng)Cwrpp根且N(S)=E(S)是帶的wrpp半群S(即SBCRW-半群)的結(jié)構(gòu)刻畫.本文繼文獻(xiàn)[5]的工作,用半群的理想擴(kuò)張基本理論證明Cwrpp Rees根的擴(kuò)張半群的結(jié)構(gòu)特征,給出半群Cwrpp Rees根的幾種擴(kuò)張結(jié)構(gòu).

    2 基本性質(zhì)

    由文獻(xiàn)[1,3]得以下性質(zhì):

    性質(zhì)1 a.(R**-關(guān)系)L**-關(guān)系為任意半群S上的(左同余)右同余,且在S上有(R*?R**,R**|E(S)=R.)L*?L**,L**|E(S)=L;

    b.設(shè)U是半群S的子半群,則 LU?LS∩(U×U),RU?RS∩(U×U).

    由定義3,4,8易得以下引理1,2與性質(zhì)2.

    引理1 若ρ是半群S上的Cwrpp Rees同余,則必有S的Cwrppρ-理想I使得ρ=(I×I)∪1S且S/ρ同構(gòu)于Cwrpp半群S\I∪{0}.

    引理2 半群S的Cwrpp根同余ρcr是強(qiáng)Cwrpp Rees根同余的充分必要條件為:

    a.ρcr是Cwrpp同余;

    b.N(S)存在且N(S)是S的理想.

    性質(zhì)2 設(shè)S是有強(qiáng)Cwrpp Rees根的wrpp半群,則

    a.N(S)是Cwrpp根半群;

    b.如果I既是S的Cwrpp理想,又是Cwrpp根半群,那么I=N(S);

    c.S是Cwrpp Rees根的擴(kuò)張半群.

    證明 只要證明c.設(shè)S滿足題設(shè)要求,N=N(S)是S的Cwrpp Rees根,由引理1,知

    C=∪α∈YMα∪ {0},S/N?S\N∪ {0}=C是Cwrpp半群.依定義8,S是Cwrpp Rees根的擴(kuò)張半群.證畢.

    性質(zhì)3[3]有零元的Cwrpp半群C=C*∪{0}有半格分解表示

    性質(zhì)4[3]設(shè)S是有強(qiáng)Cwrpp Rees根的 wrpp半群.若E(S)是帶,則存在半格Y使得E(N(S))包含子帶

    證明 由題設(shè)條件和引理2得,S/N(S)?S\N(S)∪{0}是Cwrpp半群,由性質(zhì)3,設(shè)S\N(S)∪\是左R-可消么半群的半格,這里Y是半格,1α是(α∈Y)的恒等元.因?yàn)镋(S)=E(N(S))∪{1α}α∈Y是帶,N(S)是S的理想,故對(duì)e∈E(N(S)),1α∈C*,e1α,1αe∈E(N(S)),于是e1α·e1α=e1α=eα,e1αf∈E(N(S)).則對(duì)?eα,fβ∈E0(由式(4)定義),eα·fβ=e1α·f1β=h1β=hβ∈E0(h=e1αf).即E°是E(N(S))的子帶.證畢.

    性質(zhì)5 Cwrpp Rees根的擴(kuò)張半群S是有強(qiáng)Cwrpp Rees根的wrpp半群.

    證明 只要證S是wrpp半群,則由定義8即知S是有強(qiáng)Cwrpp Rees根的wrpp半群.設(shè)a∈這里C是Cwrpp半群且N(S)=N是wrpp半群.往證定義2中a與b.

    若α∈N,因N是wrpp半群,故有冪等元e∈E(N),эeL**Na且對(duì)?f∈E(N))有a=af.由定義1,對(duì)

    ?x,y∈N,(ax,ay)∈RN?(ex,ey)∈RN

    設(shè)x,y∈S,(ax,ay)∈RS=R,則有x,,y,∈S,∈ax=ayy,,ay=axx,.于是

    axN=ayy,N?ayN,ayN=axx,N?axN從而axN=ayN,即(ax,ay)∈RN.由上式推得(ex,ey)∈RN,再由性質(zhì)1得(ex,ey)∈RS.同理可證(ex,ey)∈RS?(ax,ay)∈RS.綜合得(a,e)∈L**S.設(shè)?f∈E((S)),因

    E(S)\{0}=E(N)∪E(C*),C*=C\{0}若f∈E((N)),由上知a=af;若f=1α∈E(C*)(?α∈Y),由(f,e)∈L**S和性質(zhì)1得eS1=fS1.因?yàn)閑∈N,f∈C*且N是S的理想,故eS1?N,fS1∩C*≠Φ.從而eS1≠fS1.

    這表明不存在α∈Y,f=1α∈E(C*)∈f∈E((S)).故對(duì)α∈N定義2中a與b成立.

    對(duì)α∈C用以上相同方法可得定義2中a與b成立.證畢.

    由性質(zhì)2與性質(zhì)5得:

    定理1 設(shè)S為半群,以下兩條等價(jià).

    a.S是Cwrpp Rees根擴(kuò)張半群;

    b.S是有強(qiáng)Cwrpp Rees根的wrpp半群.

    引理3[6]設(shè)半群C與I滿足以下兩條,則C關(guān)于I的擴(kuò)張總是存在的.

    a.C無真零因子;

    b.I至少有一個(gè)冪等元.

    3 半群的Cwrpp Rees根的擴(kuò)張結(jié)構(gòu)

    用半群的理想擴(kuò)張基本理論,給出半群的幾種Cwrpp Rees根的擴(kuò)張結(jié)構(gòu)定理.

    首先C=C*∪{0}是由式(3)給定的有零元的Cwrpp半群,N是與C*不相交的Cwrpp根wrpp半群.E(N)包含由Y決定的半格

    定理2 從C*=∪α∈YMα到N的映射θ定為

    則以下結(jié)論成立:

    a.θ是一個(gè)局部同態(tài)映射[6];

    b.令S=NC*為不交并,在S上定義由(a)-(d)決定的運(yùn)算“?!?/p>

    (a)?x,y∈C*,x?y=xy在C*中;

    (b)?x∈C*,n∈N,x?n=xθ·n在N中;

    (c)?x∈C*,n∈N,n?x=n·xθ在N中;

    (d)?n,m∈M,n?m=nm在N中.

    則S構(gòu)成一個(gè)Cwrpp Rees根的擴(kuò)張半群.

    證明a.首先指出θ是C*到N的局部同態(tài).只需證明對(duì)任意的xα∈Mα,yβ∈Mβ有 (xαyβ)θ=xαθyβθ成立.由θ的定義知,存在eα,eβ∈E1使得xαθ=eα,yβθ=eβ.因C*是Cwrpp半群,E1是由Y決定的半格,故有

    b.由文獻(xiàn)[6]知,S是θ決定的C關(guān)于N的擴(kuò)張.因?yàn)镹是Cwrpp根wrpp半群,C是Cwrpp半群,S=NC*,故N是S的最小Cwrpp理想,所以N=N(S).即S構(gòu)成Cwrpp Rees根的擴(kuò)張半群.證畢.

    由文獻(xiàn)[4-5],性質(zhì)3和定理2得以下推論:

    推論1 設(shè)C是由式(3)給出的Cwrpp(Crpp)半群,N是Cwrpp根wrpp半群且有半格分解N=∪α∈Y.若N∩C*=Φ,則

    a.E(N)是帶且包含子半格E1(式(5)定義);

    b.從C*到N可由式(6)定義局部同態(tài)映射θ,通過(M1)-(M4)決定C關(guān)于N的Cwrpp(Crpp)Rees根擴(kuò)張半群S,使得N是S的強(qiáng)Cwrpp(或Crpp)Rees根.

    以上推論的一個(gè)特別情形是下面的結(jié)論:

    推論2 設(shè)C為式(3)給出的Cwrpp(Crpp)半群,N是有零元的左(右)正則帶.若N∩C*=Φ,則

    a.N是包含子半格E1(如式(5)定義)的Cwrpp根wrpp半群;

    b.從C*到N可由式(6)定義局部同態(tài)映射θ,通過(a)-(d)決定C關(guān)于N的Cwrpp(Crpp)Rees根擴(kuò)張半群S,使得N是S的強(qiáng)Cwrpp(或Crpp)Rees根.

    由性質(zhì)4,Cwrpp根wrpp半群N的冪等元集E(N)不必包含子半格E1.但只要E(N)非空,由引理3知,N的Cwrpp Rees根擴(kuò)張總是存在的.因此類似定理2的證明,易證下列更一般的Cwrpp根擴(kuò)張定理.這里省略其證明.

    定理3 設(shè)N是有零元的Cwrpp根wrpp半群,Cwrpp半群C由式(3)給出,S=N∪·C*是不交并.若有e∈E(N),則映射θ:?x∈C*,xθ=e是局部同態(tài)映射,且S關(guān)于運(yùn)算“?!保ㄓ桑╝)-(d)給出)構(gòu)成C關(guān)于N的Cwrpp Rees根擴(kuò)張半群.

    對(duì)E(N)中兩個(gè)不同的冪等元,由定理3可以得到兩個(gè)C關(guān)于N的Cwrpp Rees根擴(kuò)張.兩者之間的關(guān)系由文獻(xiàn)[6]給出:

    定理4 半群N,C如定理3所設(shè).若有e,f∈E(N),e≠f,則

    a.可確定兩個(gè)C*到N的局部同態(tài)映射θ,θ′為

    由θ,θ′可分別決定N的兩個(gè)Cwrpp Rees根擴(kuò)張半群S,S′;

    b.S和S′是等價(jià)擴(kuò)張(見文獻(xiàn)[6])當(dāng)且僅當(dāng)存在N的自同構(gòu)φ和C的自同構(gòu)φ,使得θφ=φ1θ′,其中φ1=φ|C*.

    4 例 子

    最后用下例結(jié)朿本文,該例指出Cwrpp Rees根的擴(kuò)張半群(即有強(qiáng)Cwrpp Rees根的wrpp半群)有其獨(dú)特意義.

    例1設(shè)C是有零元的Cwrpp半群,C的半格分解表示由式(4)給出.取N=Y(jié)=E1(見式(5)),則N為半格,對(duì)任意的x∈C*,存在α∈Y使得x=xα∈Mα.可定義映射

    下證θ為C*到N上的局部同態(tài)映射.

    對(duì)x,y∈C*,則存在α,β∈N使得x∈Mα,y∈Mβ,因此不妨記x=xα,y=y(tǒng)β.則存在zαβ∈Mαβ,使得

    (xα·yβ)θ= (zαβ)θ=αβ= (xαθ)·(yβθ)故θ為C*到N的局部同態(tài)映射.又對(duì)α∈N,?xα∈Mα,?xαθ=α,即θ為C*到N上的局部同態(tài)映射.令S=C*∪N為不交并,S上的運(yùn)算“?!庇桑╝)-(d)給出,即

    ?x,y∈C*,x?y=xy在C*中

    ?x∈C*,β∈N,x?β=xθ·n=αβ在N中

    ?x∈C*,β∈N,β?x=β·xθ=βα在N中

    ?α,β∈N,α?β=αβ在N中

    由定理2知,S是一個(gè)Cwrpp Rees根的擴(kuò)張半群.它是有強(qiáng)Cwrpp Rees根N的wrpp半群.

    由于E(S)=E(N)∪{1α}α∈Y=N∪{1α}α∈Y,按以上“?!边\(yùn)算定義有

    即E(S)為半格.由于E(S)≠N(S)=N,故S不是文獻(xiàn)[5]中的SBCRW-半群.由文獻(xiàn)[5]知,左Cwrpp(右Cwrpp),完備rpp半群(見文獻(xiàn)[4,7])均是SBCRW-半群,故S不是這幾類半群中的任何一類.

    [1]Howie J M.An introduction to semigroup theory[M].London:Academic Press,1976.

    [2]Fountain J B.Abundant semigroups[J].American Mathematical Society,1982,44(3):103-129.

    [3]Tang X D.On a theorem of C-wrpp semigroups[J].Communications in Algebra,1997,25 (5):1499-1504.

    [4]Lan Du,Shum K P.On left C-wrpp semigroups[J].Semigroup Form,2003,67(3):373-387.

    [5]高振林,宋土芳.半群的C-wrpp根和半C-wrpp半群[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào),2012,34(5):499-504.

    [6]Clifford A H,Preston G B.The algebraic theory of semigroups[M].Providence:American Mathematical Society,1961.

    [7]Guo X J,Shum K P,Guo Y Q.Perfect rpp semigroups[J].Communications in Algebra,2001,29(6):2447-2459.

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