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    帶雙參數(shù)的四次Wang-Ball型曲線曲面

    2012-09-28 04:57:08黃翠玲黃有度
    關(guān)鍵詞:控制頂點(diǎn)樣條多邊形

    黃翠玲, 黃有度

    (合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009)

    0 引 言

    計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中有很多經(jīng)典的曲線造型工具,如Bézier曲線、B樣條曲線等,這些曲線模型具有許多優(yōu)良的性質(zhì),在實(shí)際工程曲線曲面造型中也得到了廣泛的應(yīng)用,但仍存在一些不足之處,如給定控制點(diǎn)時(shí),Bézier曲線的位置是確定的,若調(diào)整曲線的形狀必須調(diào)整控制多邊形。為了方便地調(diào)整曲線形狀或改變曲線的位置,人們提出了使用參數(shù)構(gòu)造曲線的方法,有理Bézier曲線和有理B樣條曲線中的權(quán)因子也有調(diào)整曲線的作用,但權(quán)因子的選取對(duì)曲線形狀影響尚未完全解決,所以使用張量參數(shù)構(gòu)造曲線的方法是值得研究的重要問(wèn)題。文獻(xiàn)[1-3]在Bézier基函數(shù)中引入1個(gè)或多個(gè)形狀參數(shù)構(gòu)造了帶參數(shù)的Bézier曲線曲面,對(duì)Bézier曲線進(jìn)行了擴(kuò)展;文獻(xiàn)[4-5]基于引入形狀參數(shù)的方法對(duì)B樣條曲線作了擴(kuò)展,使得曲線具有更好的調(diào)節(jié)性。自1974年,英國(guó)數(shù)學(xué)家Ball在著名的CONSURF機(jī)身曲面造型中首次提出一種有理三次參數(shù)曲線[6-8]以來(lái),人們發(fā)現(xiàn)Ball曲線[9]類似于Bézier曲線,也具有良好的保形性質(zhì),且在某些方面有比Bézier曲線更好的性質(zhì),因此廣義Ball曲線曲面的研究越來(lái)越受到重視,其中以 Wang-Ball和Said-Ball曲線曲面為主。文獻(xiàn)[10-11]分別對(duì)三次Ball曲線以及四次Ball曲線進(jìn)行了參數(shù)擴(kuò)展,由得到的新的基函數(shù)組所定義的曲線具有與三次Ball曲線類似的性質(zhì)。文獻(xiàn)[12]提出2類高次帶位置參數(shù)的廣義Ball曲線,第1類介于Wang和Said之間,第2類介于Bézier和Said之間。在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[13]構(gòu)造了一簇新的廣義Ball基,并給出了相應(yīng)曲線和三角面片的一些性質(zhì)。

    本文針對(duì)四次 Wang-Ball曲線進(jìn)行擴(kuò)展,通過(guò)引入2個(gè)形狀參數(shù)α、β得到5個(gè)四次多項(xiàng)式,稱之為 Wang-Ball型基函數(shù)。Wang-Ball型基函數(shù)實(shí)現(xiàn)了從四次 Wang-Ball基到Said-Ball基函數(shù)的過(guò)渡以及四次Said-Ball基到Bernstein基的過(guò)渡,由Wang-Ball型基函數(shù)構(gòu)造了帶有2個(gè)形狀參數(shù)的曲線,稱為 Wang-Ball型曲線,Wang-Ball型曲線具有與四次Wang-Ball曲線類似的性質(zhì),并且包含了文獻(xiàn)[11]中的2類曲線。

    1 Wang-Ball型曲線

    1.1 基函數(shù)的構(gòu)造及性質(zhì)

    定義1 對(duì)t∈[0,1],α、β∈R,關(guān)于t的多項(xiàng)式(1)式為帶參數(shù)α、β的四次 Wang-Ball型基函數(shù),即

    α=0,β=1時(shí)基函數(shù)的圖形如圖1所示。

    上述基函數(shù)具有下列性質(zhì)。

    性質(zhì)1 非負(fù)性、權(quán)性。對(duì)任意的t∈[0,1],α∈[-2,2],β∈[-2,1],有 wi,4(t)≥0,i=0,1,2,3,4,且

    性質(zhì)2 對(duì)稱性。對(duì)任意的t∈[0,1],wi,4(t)=w4-i,4(1-t),i=0,1,2,3,4。

    性質(zhì)3 端點(diǎn)性質(zhì)。

    性質(zhì)4 單峰性。每個(gè)基函數(shù)在[0,1]上具有唯一的最大值。

    性質(zhì)5 退化性。當(dāng)α=0,β=0時(shí),Wang-Ball型基為四次Wang-Ball曲線的基函數(shù);當(dāng)α=1,β=1時(shí),Wang-Ball型基為四次Said-Ball曲線的基函數(shù);當(dāng)α=2,β=1時(shí) Wang-Ball型基為四次Bernstein基函數(shù)。

    圖1 Wang-Ball型基函數(shù)

    性質(zhì)5說(shuō)明定義1給出的基函數(shù)是Ball基函數(shù)的擴(kuò)展。

    性質(zhì)6 對(duì)參數(shù)α、β的單調(diào)性。當(dāng)t∈[0,1],w0,4(t)是分別關(guān)于α、β的單調(diào)遞減函數(shù),w1,4(t)、w3,4(t)是關(guān)于α的單調(diào)遞增函數(shù),w2,4(t)是關(guān)于β的單調(diào)遞增函數(shù),w4,4(t)是關(guān)于α、β的單調(diào)遞減函數(shù)。

    1.2 Wang-Ball型曲線的構(gòu)造與性質(zhì)

    定義2 給定控制頂點(diǎn)Pi∈Rd,d=2,3,i=0,1,2,3,4,對(duì)任意α∈[-2,2],β∈[-2,1],稱(2)式為帶雙參數(shù)的四次 Wang-Ball型曲線,即

    顯然,當(dāng)α=β=0時(shí),四次 Wang-Ball型曲線退化為四次 Wang-Ball曲線;當(dāng)α=β=1時(shí);四次Wang-Ball型曲線退化為四次Said-Ball曲線;當(dāng)α=2,β=1時(shí)該曲線退化為四次Bézier曲線。

    圖2給出了四次 Wang-Ball曲線以及四次Said-Ball曲線之間的曲線,也給出了四次Said-Ball曲線以及四次Bézier曲線之間的曲線。

    圖2 Wang-Ball曲線與Bézier曲線的過(guò)渡

    從上述基函數(shù)的性質(zhì),不難得出曲線具有下列性質(zhì)。

    性質(zhì)7 凸包性。由基函數(shù)的非負(fù)性和權(quán)性即可得到。

    性質(zhì)8 對(duì)稱性。以P0P1P2P3P4和P4P3P2P1P0為控制多邊形的2條四次 Wang-Ball型曲線是相同的,只是方向相反。

    因此根據(jù)基函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì),可得:

    性質(zhì)9 端點(diǎn)性質(zhì)。

    上述端點(diǎn)性質(zhì)說(shuō)明四次Wang-Ball型曲線插值于首末端點(diǎn)及與控制多邊形的首末邊相切。

    性質(zhì)10 幾何不變性和仿射不變性。曲線僅依賴于控制頂點(diǎn),而與坐標(biāo)系的位置和方向無(wú)關(guān),即曲線的形狀在坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)后不變;同時(shí),對(duì)控制多邊形進(jìn)行縮放或剪切等仿射變化后所對(duì)應(yīng)的新曲線就是相同仿射變化后的曲線。

    性質(zhì)11 逼近性。即當(dāng)參數(shù)α+β增大時(shí),相應(yīng)的曲線更加逼近奇控制多邊形,突破了四次Wang-Ball曲線以及Said-Ball曲線對(duì)控制多邊形的逼近。根據(jù)基函數(shù)對(duì)參數(shù)的單調(diào)性可以驗(yàn)證。

    性質(zhì)12 變差縮減性(V.D.)和保凸性。

    性質(zhì)12的證明可采用文獻(xiàn)[14]中所提供的方法,具體可參考文獻(xiàn)[10]。

    1.3 形狀參數(shù)的幾何意義

    (1)固定參數(shù)α,當(dāng)β變動(dòng)時(shí)曲線的變化如圖3a所示,其中曲線1~4分別為α=1時(shí),β=-2,-1,0,1的情形,可看出當(dāng)α不變,β越大,曲線越靠近頂點(diǎn)P2,即α+β值越大曲線越逼近控制多邊形。

    (2)固定參數(shù)β,當(dāng)α變動(dòng)時(shí)曲線的變化如圖3b所示,其中曲線1~5分別為β=0時(shí),α=-2,-1,0,1,2的情形,可看出當(dāng)β不變,α越大曲線越靠近頂點(diǎn)P1、P3,亦即α+β值越大曲線越逼近控制多邊形。

    圖3 形狀參數(shù)的變化情形

    2 曲線的拼接

    下面討論四次 Wang-Ball型曲線的光滑拼接。設(shè)

    其中,t∈[0,1];W(t)、~W(t)中的參數(shù)分別為α、β和,且-2≤α,~α≤2;-Pi(i=0,1,2,3,4)為W(t)的控制頂點(diǎn);Qi(i=0,1,2,3,4)為~W(t)的控制頂點(diǎn)。

    結(jié)合四次 Wang-Ball型曲線的端點(diǎn)性質(zhì),可得曲線W(t)和~W(t)的光滑拼接條件如下。

    特別地,當(dāng) P4=Q0,且取時(shí),=W′(1),即2條曲線在切點(diǎn)處不但切向相同,而且切向量相同,則W(t)曲線與曲線在連接點(diǎn)P4處C1連續(xù)。

    將(4)式帶入(6)式可得:

    令h1為點(diǎn)P0到P3P4的距離,h2為點(diǎn)P2到P3P4的距離,k1為Q2到Q0Q1的距離,k2為Q4到Q0Q1的距離,當(dāng)參數(shù)α=1,β=1時(shí)2段端曲線在連接點(diǎn)處G2連續(xù)時(shí)的情形如圖4所示。

    則(7)式變?yōu)椋?/p>

    圖4 2段Wang-Ball型曲線的G2拼接

    3 曲線的應(yīng)用實(shí)例

    3.1 花瓣圖形

    Wang-Ball型曲線形成的開(kāi)曲線花瓣圖形如圖5a所示,參數(shù)(α,β)從內(nèi)到外分別為(-2,-2),(-1.5,-1),(-1,0),(0,0.5),(1,1),從圖5a中可以看出,當(dāng)α、β取值不同時(shí)所形成的圖形仍具有對(duì)稱性。

    四次Wang-Ball型曲線與四次Ball曲線以及四次Bézier曲線一樣,當(dāng)首末頂點(diǎn)重合時(shí),得到一封閉曲線,閉曲線的花瓣圖形如圖5b所示,參數(shù)(α,β)從內(nèi)向外分別為(0,0),(1,1),(2,1)。

    圖5 2種曲線花瓣圖形

    3.2 花瓶圖形

    圖6a所示為花瓶旋轉(zhuǎn)曲面的母線,它是由3段相鄰的四次Wang-Ball型曲線以G1連續(xù)拼接而成的,圖6b是相應(yīng)生成的花瓶曲面模型,可以選擇不同的參數(shù),調(diào)節(jié)母線的形狀,進(jìn)而調(diào)節(jié)花瓶的形狀。

    圖6 花瓶圖形

    4 張量積曲面

    運(yùn)用張量積的方法可將曲線推廣到曲面上。

    定義3 給定5×5個(gè)控制頂點(diǎn)Pi,j∈Rd(d=2,3;i,j=0,1,2,3,4),其相應(yīng)的張量積曲面(9)式稱為[0,1]×[0,1]上的雙四次 Wang-Ball型曲面,即

    其中,u,v∈[0,1];α∈[-2,2];β∈[-2,1]。可以證明雙四次 Wang-Ball型曲面具有與四次Wang-Ball型曲線相似的幾何性質(zhì)。

    5 結(jié)束語(yǔ)

    由 Wang-Ball型基函數(shù)構(gòu)造的 Wang-Ball型曲線(2)式具有四次Wang-Ball曲線的特征,如端點(diǎn)插值、控制多邊形首末邊相切、凸包性、變差縮減性、保凸性等。該曲線不僅分別以四次Wang-Ball曲線、四次Said-Ball曲線和四次Bézier曲線為特例,而且由于帶有形狀參數(shù),所以可以在不改變控制多邊形的情況下對(duì)曲線的形狀和位置進(jìn)行調(diào)整,從而可以得到介于四次 Wang-Ball曲線和Said-Ball曲線之間以及介于四次Said-Ball曲線和Bézier曲線之間的無(wú)數(shù)中間曲線。本文還討論了2段帶形狀參數(shù)的 Wang-Ball型曲線的G0、G1和G2連續(xù)的拼接條件。實(shí)例表明,Wang-Ball型曲線曲面通過(guò)選取不同的參數(shù)值可以生成多種不同的常用復(fù)雜曲線曲面,因而它在工程曲線曲面的造型中有著非常廣泛的應(yīng)用前景。

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