CAT(0)空間中平均非擴(kuò)張映射不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理及其半閉原理*

崔云安，周 晶

(哈爾濱理工大學(xué))

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1 設(shè)C是度量空間(M，d)的一個(gè)非空子集.映射T:C→C被稱為非擴(kuò)張的是指:對(duì)所有x，y∈C，

定義1.2 設(shè)C是度量空間(M，d)的一個(gè)非空子集.稱映射T:C→C是平均非擴(kuò)張的，是指:對(duì)任意a，b≥0，a+b≤ 1，

成立，其中x，y∈C.

很明顯，非擴(kuò)張映射是平均非擴(kuò)張映射的一種，但是平均非擴(kuò)張映射不一定是非擴(kuò)張的，因?yàn)槠骄菙U(kuò)張并不能保證映射的連續(xù)性.

例 假設(shè)映射T:［0，1］→［0，1］有如下定義

那么T是滿足的平均非擴(kuò)張映射.但是T在處不連續(xù)，因此T并不是非擴(kuò)張映射.

在眾多的關(guān)于非擴(kuò)張映射的研究中，其中一個(gè)十分重要的且值得慶祝的結(jié)果就是1968年由Browder提出的半閉原理［1］.

定義1.3 如果X是一致凸Banach空間，C是X的一個(gè)非空子集，T:C→X是非擴(kuò)張映射，那么對(duì)每個(gè)y∈X，稱Ⅰ-T是半閉的，是指:若{xn}?C滿足及(Ⅰ-T)xn→y，則(Ⅰ-T)x=y，此處Ⅰ是X到其自身的恒同算子.

2008 年，Suzuki［2］引入了 Banach 空間中的Suzuki廣義非擴(kuò)張映射.

定義1.4 設(shè)C為(M，d)的一個(gè)非空子集.稱映射T:C→C是Suzuki廣義非擴(kuò)張的，是指:對(duì)于所有x，y∈C，如果，那么則有

2 主要定理

定義2.1 設(shè)Δ是M中的測(cè)地三角形，為Δ的比較三角形.稱測(cè)地空間M為CAT(0)空間，是指:M中任意的測(cè)地三角形都滿足CAT(0)不等式，即對(duì)?x，y∈Δ，以及比較點(diǎn)∈，都有

CAT(0)空間是凸的度量空間，是指:對(duì)?x，y∈M及t∈［0，1］，存在唯一的一點(diǎn)z∈［x，y］，滿足d(x，z)=td(x，y)，d(y，z)=(1-t)d(x，y).為方便起見，記上式中的z為(1-t)x⊕ty.如果M為CAT(0)空間，則對(duì)任意的x，y，z∈M，及t∈［0，1］，都有

同時(shí)，CAT(0)不等式蘊(yùn)含著

這就是由 Bruhat和 Tits［3］提出的著名的(CN)不等式.事實(shí)上，測(cè)地空間M為CAT(0)空間的充要條件是M滿足(CN)不等式.2005年至2010年，關(guān)于CAT(0)空間中的單值和集值映射的不動(dòng)點(diǎn)問題的新結(jié)果不斷涌現(xiàn)［4-8］.

定理2.2 設(shè)(M，d)是一個(gè)完備的CAT(0)空間，C是M的一個(gè)非空有界閉凸子集.則滿足b＜1的平均非擴(kuò)張映射T:C→C有不動(dòng)點(diǎn).

證明 對(duì)任意y∈C，考慮

易知，diam(C)∈By，因此By非空.令βy:=infBy，則對(duì)任意θ＞0，存在bθ∈By滿足

bθ＜βy+θ，從而存在x∈K以及k∈? 滿足

顯然，βy≥0.下面分兩種情況進(jìn)行討論:

情況1βy=0.

令ε＞0.在式(2)中取θ=ε/2，則存在x∈C及k∈?，滿足對(duì)?m，n≥k，d(Tn，Tmy)≤

因此，序列{Tny}是基本列，利用C的完備性知，序列{Tny}收斂于某個(gè)元z∈C.顯然，z是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

情況2βy＞0.

對(duì)任意n≥1，定義在式(2)中取，那么存在

x∈C及k≥1，滿足因此Dn非空.進(jìn)一步，{Dn}是M中非增的非空有界閉凸集.因?yàn)镃AT(0)空間具有非空交性質(zhì)，所以.對(duì)任意的x∈D，易知

接下來，將證明對(duì)任意x∈D，{Tnx}是一個(gè)基本列.否則，存在ε0＞0及N0∈?，使得

對(duì)上述ε0，取θ＞0使得

利用式(3)，存在K∈?，使得

對(duì)任意給定的i，j≥N0，i≠j，結(jié)合式(6)以及T是平均非擴(kuò)張的，對(duì)m＞i+K，

其中，C(i，r)表示從i中取出r個(gè)元素的組合數(shù).同理可知，對(duì)任意m＞j+K，有d(Tjx，Tmy)≤βy+θ.因此，結(jié)合(CN)不等式以及(4)式和(5)式，有

令z:，從而上述不等式對(duì)所有足夠大的m均成立.由βy的定義βy=infBy，產(chǎn)生矛盾.

因此，對(duì)任意元x∈D，{Tnx}是一個(gè)基本列.利用M的完備性知，存在v∈C使得.最后，再次利用平均非擴(kuò)張映射的定義，得到

對(duì)上式兩邊同時(shí)取極限，有d(v，Tv)≤

bd(v，Tv).因?yàn)閎＜1，從而有v=Tv，即v是T的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

接下來證明CAT(0)空間中平均非擴(kuò)張映射的半閉原理，在證明前首先需要定義以下符號(hào):

其中，C是包含有界序列{xn}的閉凸集且

定理2.3 設(shè)(M，d)是一個(gè)完備的CAT(0)空間，C是M的一個(gè)非空有界閉凸子集.映射T:C→C是滿足b＜1的平均非擴(kuò)張映射.{xn}是C中的一列漸近不動(dòng)點(diǎn)序列，即0并且那么T(w)=w.

證明 因?yàn)閧xn}是一列漸近不動(dòng)點(diǎn)序列，所以對(duì)?m＞1，

從而，對(duì)?x∈C，有Φ(Tmx)≤Φ(x)成立.采用數(shù)學(xué)歸納法.事實(shí)上，當(dāng)m=1時(shí)，根據(jù)平均非擴(kuò)張映射的定義以及(6)式，可得Φ(Tx)=

因此，Φ(Tx).可知，a+b≤1蘊(yùn)含著Φ(Tx)≤Φ(x).假設(shè)，對(duì)任意的正整數(shù)k＜m，Φ(Tnx)≤Φ(x)均成立.那么

其中，C(m，r)表示從m中取出r個(gè)元素的組合數(shù).因此，a+b≤1蘊(yùn)含著Φ(Tmx)≤Φ(x).特別地，有

如果{Tmw}不含有按模收斂的子列，故能找到ε0＞0，使得

對(duì)上述ε0＞0，取θ＞0有

由Φ的定義及(8)式知，存在N，M∈?，使得對(duì)?m≥M，?n≥N都有

因此，結(jié)合(CN)不等式，(9)及(10)式，對(duì)任意的m1，m2≥M，可得

令z，那么z∈C并且z≠w.但是，產(chǎn)生矛盾.從而{Tmw}包含按模收斂子列，記為設(shè)那么

對(duì)上式兩邊同時(shí)取極限，有d(w，Tw)≤bd(w，Tw).因?yàn)閎＜1，可得w=Tw.所以w是T的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即

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