類氫離子電離能相對論性計(jì)算的改進(jìn)

馬 堃，褚 園，黃時中

(1.黃山學(xué)院信息工程學(xué)院,安徽黃山245041；2.安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽蕪湖241000)

類氫離子電離能相對論性計(jì)算的改進(jìn)

馬 堃1，褚 園1，黃時中2

(1.黃山學(xué)院信息工程學(xué)院,安徽黃山245041；2.安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽蕪湖241000)

在考慮了核運(yùn)動的情況下，給出了以相對論動力學(xué)方程為基礎(chǔ)的類氫離子電離能的計(jì)算公式，對實(shí)驗(yàn)上已觀測到的37個類氫離子的電離能進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值的誤差遠(yuǎn)小于玻爾理論或量子力學(xué)理論的誤差，并優(yōu)于文獻(xiàn)中的計(jì)算結(jié)果。

類氫離子；電離能；相對論性理論

0 引言

類氫離子的電離能是原子物理、天體物理、等離子體物理和材料物理等領(lǐng)域中常用的重要參數(shù)，而目前在實(shí)驗(yàn)上只觀測到了37個類氫離子的電離能，因而提高其理論計(jì)算精度是很有必要的。玻爾理論[1-3]雖然是一個半經(jīng)典半量子的理論，但由此得到的類氫離子的電離能的計(jì)算公式與用量子力學(xué)理論[4]所得到的公式完全相同，這類公式的一個明顯缺陷是隨著原子序數(shù)Z的增大，電離能的理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)觀測值的誤差不斷增大。相對論Dirac-Fock自洽場方法[5]，雖然計(jì)算精度較高，但此方法很繁雜，且計(jì)算數(shù)據(jù)有限。最弱受約束電子勢模型(WBEPM)方法[6-7]，這種方法雖然計(jì)算精度高，但依賴于一定的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。2010年，黃時中等給出了以相對論動力學(xué)方程取代牛頓力學(xué)方程而形成的相對論性玻爾類氫離子理論，在此基礎(chǔ)上給出了類氫離子電離能的相對論性計(jì)算公式，對實(shí)驗(yàn)上已觀測到的37個類氫離子的電離能進(jìn)行了具體計(jì)算[8]，但文中忽略了氫原子核的運(yùn)動，本文將在此基礎(chǔ)上，考慮相對論效應(yīng)和核運(yùn)動的情況，改進(jìn)了類氫離子電離能的相對論性計(jì)算公式，對實(shí)驗(yàn)上已觀測到的類氫離子電離能進(jìn)行了計(jì)算，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值的誤差遠(yuǎn)小于玻爾理論或量子力學(xué)理論的誤差，并優(yōu)于文獻(xiàn)[8]的計(jì)算結(jié)果。

1 相對論性玻爾類氫原子理論

按照玻爾理論，類氫原子中電子沿圓軌道繞原子核的運(yùn)動，如圖1所示。

圖1 類氫原子的玻爾模型

其運(yùn)動滿足牛頓力學(xué)方程：

考慮到相對論性效應(yīng)，則玻爾理論中所用的牛頓力學(xué)方程(1)改為相對論動力學(xué)方程

根據(jù)角動量量子化條件，電子以速率v在半徑為r的圓周上繞核運(yùn)動時，只有電子的角動量等于?的整數(shù)倍的那些軌道才是穩(wěn)定的，即

從上式可以看出，電子的速率必須是與時間無關(guān)的常量，否則電子的角動量將與時間有關(guān)，則角動量量子化條件(3)不能滿足，所以相對論動力學(xué)方程(2)可以進(jìn)一步化簡為

又因?yàn)閯蛩俾蕡A周運(yùn)動的加速度為

因此，我們有

另一方面，電子所受的庫侖力為

由以上兩式，我們得到電子繞核作圓周運(yùn)動的過程中速率v與半徑r的關(guān)系

即

利用角動量量子化條件(3)消去半徑r，我們得到

即類氫原子中電子繞核作圓周運(yùn)動的速率為

或者

現(xiàn)在，我們用相對論理論來分析類氫原子系統(tǒng)的總能量。根據(jù)相對論理論，氫原子系統(tǒng)的總能量為

利用式(6)和(8)，進(jìn)一步有

從上式中減去靜止能量，得到相對論下類氫原子系統(tǒng)的能級表達(dá)式

對于第一軌道(n=1)，

類氫原子系統(tǒng)的電離能為

其中第一項(xiàng)等于用玻爾理論或者量子理論所得到的類氫原子系統(tǒng)的電離能[4]

3 應(yīng)用及總結(jié)

下面分別用式(14)和(12)對Z=1-37的類氫原子系統(tǒng)的電離能進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果列于表1，表中同時列出了類氫原子電離能的實(shí)驗(yàn)觀測值。[9]

表1 類氫原子系統(tǒng)的電離能[單位：Kev]

由表1可以看出，通過本文模型進(jìn)行計(jì)算的37個類氫離子的電離能，精度得到了全面的提高。特別地，如：Cl XVVII和Ar XVIII精度提高了近97%。這說明，本文建立的計(jì)算模型是有效的，且比相對論Dirac-Fock自洽場方法簡單得多，而與最弱受約束電子勢模型(WBEPM)方法相比，本方法不依賴于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

為更加直觀的觀察本文計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典模型和文獻(xiàn)[8]計(jì)算結(jié)果的比較，我們采用了MATLAB軟件繪制了3種計(jì)算模型下類氫原子系統(tǒng)的電離能的計(jì)算誤差隨核電荷數(shù)的變化情況，如圖2所示，圖中的曲線表示實(shí)驗(yàn)值，為突出誤差，在作圖時，將誤差擴(kuò)大了50倍，橫坐標(biāo)是核電荷數(shù)，縱坐標(biāo)是能量，單位為kev。從圖2中可以看出，1，2的誤差隨著核電荷數(shù)的增加呈單向的遞增趨勢，而3的誤差隨著核電荷數(shù)的增加呈螺旋式變化，特別地，在Z=17和10時，幾乎與實(shí)驗(yàn)值相同。

圖2 三種計(jì)算模型下類氫原子系統(tǒng)的電離能的計(jì)算誤差隨核電荷數(shù)的變化

[1]Bohr Niels.The binding of electrons by positive nuclei[J].Phil.Mag,1913,26:1-25.

[2]Bohr Niels,Systems containing only a single nucleus[J].Phil.Mag,1913,26:476-502.

[3]Bohr Niels.Hydrogen and helium spectra[J].Nature,1913,95:231-232.

[4]曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)卷Ⅰ(第一版)[M].北京:科學(xué)出版社,1990:270-283.

[5]安興泰，周忠源，潘守甫.“水窗”波段類鋰離子各電離態(tài)的電離能[J].原子與分子物理學(xué)報(bào)，1994，11(3):327-329.

[6]鄭能武.關(guān)于多電子原子及離子體系的一種新的理論模型[J].科學(xué)通報(bào)，1985，30(3):1801-1804.

[7]張學(xué)龍，張國營，相鄰類氫離子電離能關(guān)系的研究[J].原子與分子物理學(xué)報(bào)，2004，21(3):529-531.

[8]黃時中，李淑貞，褚進(jìn)民.類氫離子電離能的相對論性計(jì)算[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，33(2):121-124.

[9]NIST Atomic Spectra Database.Energy Levels Data[DB].National Institute of Standards and Technology.2001.09.09[2006.05].http://physics.nist.gov/cgi-bin/AtData/display.ksh.

責(zé)任編輯：胡德明

Abstract:Taking nuclear movement into consideration,this paper puts forward a relativistic calculation formula for ionization energy of hydrogen-like ions based on relativistic dynamical equations.The ionization energy of 37 types of hydrogen-like ions observed in experiments is calculated with the formula.The experimental results show that the error is much smaller than that based on the Bohr Theory or Quantummechanical Theory,and better than the calculations found in the literature.

Key Words:hydrogen-like ions;ionization energy;Relativistic Theory

Improvement on the Calculation of Relativistism of Ionization Energy in Hydrogen-like Ions

Ma kun1,Chu Yuan1,Huang Shizhong2
(1.School of Information Engineering,Huangshan University,Huangshan245041,China;2.School of Physics and Electrical Information,Anhui Normal University,Wuhu241000,China)

O561.3

A

1672-447X（2012）03-0029-004

2011-11-26

安徽省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2011Z363);安徽省高校2010年質(zhì)量工程項(xiàng)目(20100990);安徽省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2007B 029);黃山學(xué)院自然科學(xué)研究項(xiàng)目(2010xkj013)

馬堃(1983-),安徽六安人,黃山學(xué)院信息工程學(xué)院講師，碩士,研究方向?yàn)槔碚撐锢韺W(xué)。