包絡(luò)和奇解

李健

（內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010010）

包絡(luò)和奇解

李健

（內(nèi)蒙古化工職業(yè)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010010）

給出了包絡(luò)和奇解的定義及定理，可以用各種不同方法求解一階隱式微分方程的奇解，包絡(luò).關(guān)鍵詞：微分方程；通解；奇解；包絡(luò)

1 奇解

從x+2 p-3=0解得x=-2 p-3，以此代入（1.1）又得原方程的一個(gè)特解：

此解稱為奇解.

定理1設(shè)函數(shù)F(x,y,p)對(duì)(x,y,p)∈G是連續(xù)的，而且對(duì)y和p有連續(xù)的偏微商F'p和F'y，若函數(shù)y=覬(x)，(x∈J)是微分方程（1.4）的一個(gè)奇解，并且(x,覬(x)覬'(x))∈G,(x∈J)，則奇解y=覬(x)滿足一個(gè)稱之為p-判別式的聯(lián)立方程F(x,y,p)=0,F'p，（設(shè)從（1.5）中消去p得到方程△(x, y)=0（1.6），則稱此所決定曲線為方程（1.4）的p-判別曲線，因此，微分方程（1.4）的奇解是一條p-判別曲線）.

證明 因?yàn)閥=覬(x)是微分方程（1.4）的解，所以它自然滿足上述p-判別式（1.5）的第一式.

現(xiàn)在證明它也滿足第二式.

假設(shè)不然，則存在x0∈J，使得F'p(x0,y0,p0)≠0，其中y0=覬(x0),p0=覬'(x0)注意Fp(x0,y0,p0)=0和(x0,y0,p0)∈G，因此我們可以用隱函數(shù)定理推出，由方程（1.4）在(x0,y0)附近唯一的確定了=f(x,y（)1.7）其中函數(shù)f(x,y)滿足f(x0,y0)=p0，這就證明了微

分方程（1.4）所有滿足y(x0)=y0,y'(x0)=p0的解必定是微分方程（1.7）的解.

另一方面，由于函數(shù)f(x,y)在(x0,y0)點(diǎn)某領(lǐng)域內(nèi)是連續(xù)的，而且對(duì)y有連續(xù)的偏微商，所以由皮卡定理可知，微分方程（1.7）滿足初值條件y(x0)=y0的解是存在而且(x0,y0)點(diǎn)的唯一解.這就證明了在(x0,y0)點(diǎn)附近不可能存在微分方程（1.4）的其它解在該點(diǎn)與y=覬(x)相切.

這個(gè)結(jié)論與y=覬(x)是奇解的假設(shè)不能相容，因此上述反證法假設(shè)是不成立的，從而y=覬(x)也滿足p-判別式的第二式.

容易驗(yàn)證，微分方程x(y')2-2 y y'+9 x=0的奇解y=3 x和y=-3 x滿足相應(yīng)的p-判別式x p2-2 y p+9 x=0,2 x p-2 y=0;

這里必須注意，由p-判別式確定的函數(shù)y=Ψ(x)不一定是微分方程的解，即使是也不一定是奇解.例如，微分方程的p-判別式p2+y-x=0,2 p=0；消去p后即得y=x但y=x不是微分方程的解.

這就是說(shuō)定理1雖然把尋找微分方程（1.4）的奇解范圍縮小到它的判別式（1.5）或（1.6），但由p-判別式規(guī)定的函數(shù)y=Ψ(x)仍須根據(jù)奇解的定義經(jīng)過(guò)驗(yàn)證才能確認(rèn)它是否為奇解，而在不知道通解的情況下就難以進(jìn)行這種驗(yàn)證.下面的定理在某種條件下克服了這一困難.

定理2設(shè)函數(shù)F(x,y,p)對(duì)(x,y,p)∈G是二階連續(xù)可微的，又設(shè)微分方程（1.4）的p-判別式F(x,y,p)=0,F'(x,y,p)=0（1.9）（消去p后）得到的函數(shù)y=Ψ(x)(x∈J)是微分方程（1.4）的解，且設(shè)條件F'y(x,Ψ(x))Ψ'(x))≠0,F"pp(x,Ψ(x)Ψ'(x))≠0（1.10）,以及F'y(x,Ψ(x))Ψ'(x))=0（1.11）對(duì)x∈J成立，則y=Ψ(x)是微分方程（1.4）的奇解.

下面我們舉例說(shuō)明定理2的一個(gè)應(yīng)用.

它的p-判別式(y-1)2p2-y exy=0,2 p(y-1)2=0；消去p后即得y=0，易知y=0是微分方程（1.12）的解，且滿足（1.10）和（1.11）.

即F'y(x,0,0)=-1,F"pp(x,0,0)=2,F'p(x,0,0)=0.

因此由定理2知y=0是微分方程（1.12）的奇解，而且易知這是唯一的奇解.

2 包絡(luò)

設(shè)單參數(shù)曲線c的曲線族k(c):v(x,y,c)=0（1.13）

其中函數(shù)v(x,y,c)，(x,y,c)∈D是連續(xù)可微的.

定義2 設(shè)平面上有一條連續(xù)可微的曲線Γ，如果對(duì)于任一點(diǎn)q∈Γ，在曲線族（1.13）中都有一條曲線k(c*)通過(guò)q點(diǎn)并在該點(diǎn)與Γ相切，而且k(c*)在q點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)不同于Γ，則稱曲線Γ為曲線族（1.13）的一支包絡(luò).

例如：設(shè)單參數(shù)曲線族(x-c)2+y2=R2（這里R是常數(shù)，c是參數(shù)）表示圓心為(c,0)而半徑等于R的一族圓.此曲線族顯然有包絡(luò)y=R和y=-R，但是一般的曲線族并不一定有包絡(luò)，例如同心圓族，平行曲線族都是沒(méi)有包絡(luò)的.

證明 根據(jù)奇解和包絡(luò)的定義，我們只須證明Γ是微分方程（1.14）的解.在Γ上任取一點(diǎn)(x0,y0)其中y0=φ(x0)，則由包絡(luò)的定義可知曲線族（1.15）中有一條曲線y=u(x,c0)φ'(x0) =u'x(x0,c0)因?yàn)閥=u(x,c0)是微分方程（1.14）的一個(gè)解，所以F (x0,u(x0,c0),u'x(x0,c0))=0，因此F(x0,φ(x0),φ'0(x0))=0，由于x0∈J是任意給定的，所以y=φ(x)是微分方程（1.14）的解.

定理4 設(shè)Γ是曲線族（1.13）的一支包絡(luò)，則它滿足如下的C-判別式v(x,y,c)=0 V'c(x,y,c)=0（1.16）或（消去c，所得到關(guān)系式）Ω(x,y)=0（1.17）.

證明 由包絡(luò)的定義可見(jiàn)，我們對(duì)包絡(luò)Γ給出如下的參數(shù)表達(dá)式

x=f(c)，y=g(c)(c∈I)其中c為曲線族（1.13）的參數(shù).

因此我們推出V(f(c),g(c),c)=0(c∈I)（1.18）

因?yàn)榘j(luò)是連續(xù)可微的，所以我們不妨設(shè)f(c),g(c)對(duì)c也是連續(xù)可微的，由此推出V'xf'(c)+V'yg'(c)+V'c=0(c∈I)（1.19）

其中V'x,V'y,V'c同在點(diǎn)(f(c),g(c),c)取值.

設(shè)對(duì)于任意給定的c∈I，當(dāng)(f'(c),g'(c))=(0,0)或(V'x,V'y)= (0,0)成立時(shí)，則由（1.19）推出V'c(f(c),g(c),c)=0（1.20）

當(dāng)(f'(c),g'(c))=(0,0)不成立時(shí)，則有(f'(c),g'(c))≠(0,0)，(V'x, V'y)≠(0,0).

這表示包絡(luò)Γ在點(diǎn)q(c)=(f(c),g(c))的切向量(f'(c),g'(c))以及通過(guò)q(c)點(diǎn)的曲線V(x,y,c)=0在q(c)點(diǎn)的切向量(-V'y,V'x)都是非退化的，由于這兩個(gè)切向量在q(c)點(diǎn)是共線的，所以有f'(c)V'x+g'(c)V'y=0，由它與（1.19）也推出（1.20）成立.因此對(duì)于任何c∈I，關(guān)系式（1.18）和（1.20）同時(shí)成立.

這就證明了包絡(luò)Γ滿足C-判別式（1.16）.

反之，滿足了判別式的曲線未必是相應(yīng)曲線族的包絡(luò)，下述定理給出了包絡(luò)的一個(gè)充分條件.

定理5設(shè)由曲線（1.13）的C-判別式V(x,y,c)=0，V'(x, y,c)=0確定一支連續(xù)的曲線Λ:x=φ(c)，y=ψ(c)(c∈J)

而且它滿足非蛻化性條件：

(φ'(c),ψ'(c))≠(0,0)，(V'x,V'y)≠(0,0)（1.20）

其中V'x=V'x(φ(c),ψ(c),c)與V'y=V'y(φ(c),ψ(c),c)則是Λ曲線族（1.13）的一支包絡(luò).

3 求奇解的一般方法

即：（1）它首先是方程的解；

（2）其上點(diǎn)點(diǎn)破壞解的唯一性.

3.1 自然法

3.2 拾遺法

在求解過(guò)程中，方程兩邊約去的不含導(dǎo)數(shù)的因式，令其為零，可能得到奇解.

3.3 c-消去法

設(shè)Φ(x,y,c)=0是（1.23）或（1.25）的通積分，則從聯(lián)立方程組消去c而得φ(x,y)=0中有的因式可能是奇解.

3.4 p-消去法

對(duì)方程（1.25）有自然歸納法的方法.

即從F(x,y,p)=0,F'(x,y,p)=0 （1.27）

消去p而得到的ψ(x,y,)=0中，有的因子可能是方程（1.25）的奇解.

3.5 c-p消去法

對(duì)方程（1.25）從（1.26）、（1.27）中得到的φ(x,y)=0,ψ(x,y) =0中尋得公共的單因式，令其為零，一般就是（1.25）的奇解.

方法（3.1）（3.2）（3.3）（3.4）都需要驗(yàn)證所得的曲線是否真是奇解，這個(gè)驗(yàn)證步驟比較復(fù)雜，若c-判別式φ(x,y)=0，p-判別式ψ(x,y)=0，容易得到，方法（3.5）常是可取的.

驗(yàn)證：（1）y=±1顯然是方程的解.

（2）分離變量法求得方程的通解是

在y=1上任取一點(diǎn)(x0,1)，通解表達(dá)式中有解

通過(guò)(x0,1)點(diǎn)，且其上導(dǎo)數(shù)因此通解與y=1相切，故y=1是奇解，同理y=-1也是奇解.

例3求x p2-3 y p+9 x2=0的奇解.

從x p2-3 y p+9 x2=0，2 x p-3 y=0中消去p得

（2）求出方程的通解是3 c y=c2x3+9，在上任取一點(diǎn)，代入通解式求得，再代入通解式得解，它過(guò)點(diǎn)，且在此點(diǎn)有斜率，它與在該點(diǎn)斜率相同是奇解，同理也是奇解.

解 易求得方程的通解是(x-c)2+y2=b2，

驗(yàn)證 它顯然是解，又是通解(x-c)2+y2=b2圓族的包絡(luò)線，因此y=±b是奇解.

4 結(jié)論

一階微分方程的通解的包絡(luò)（如果它存在的話）一定是奇解，反之，微分方程的奇解（若存在的話）也是微分方程的通解的包絡(luò)，因此為了求微分方程的奇解，可以求出它的通解，然后求通解的包絡(luò).

〔1〕王高雄，周之銘，朱恩銘，王壽松.常微分方程[M].北京:高等教育出版社，2001.

〔2〕丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社，1991.

〔3〕東北師范大學(xué)微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社，2001.

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〔5〕莊萬(wàn).常微分方程習(xí)題解[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

〔6〕南京大學(xué)數(shù)學(xué)系計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè).常微分方程[M].北京:科學(xué)出版社，2005.

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1673-260 X（2012）09-0005-03