導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中需明確的幾個(gè)問題

☉湖南省永州市第一中學(xué) 李 毅

導(dǎo)數(shù)是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn)，是高考的熱點(diǎn)，高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查定位于作為解決初等數(shù)學(xué)問題的工具出現(xiàn)，在導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中有以下幾個(gè)方面需要明確，請(qǐng)同學(xué)們參考.

一、明確在某點(diǎn)的切線還是過某點(diǎn)的切線

例1已知函數(shù)f（x）=xlnx.若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程.

解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則y0=x0lnx0，切線的斜率為lnx0+1，所以，所以直線l的方程為x－y－1=0.

點(diǎn)評(píng)：在某點(diǎn)的切線，即該點(diǎn)為切點(diǎn)，進(jìn)而可直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.過某點(diǎn)的切線，該點(diǎn)可能在曲線上，也可能不在曲線上.過某點(diǎn)的切線可能不止一條.

二、明確原函數(shù)的圖像與導(dǎo)函數(shù)圖像的區(qū)別

圖1

圖2

例2已知函數(shù)y=f（x），y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖1，那么y=f（x），y=g（x）圖像可能是（ ）.

解：由導(dǎo)函數(shù)的圖像可知，y=f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)減，說明函數(shù)y=f（x）的圖像上任意一點(diǎn)切線的斜率為單調(diào)減，排除A、C.又由圖像知兩導(dǎo)函數(shù)在x=x0處相交，說明兩函數(shù)y=f（x），y=g（x）的圖像在x=x0處的切線斜率相等，排除B.答案為D.

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的增減性，由導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)反映出來，由導(dǎo)函數(shù)圖像可大略知道函數(shù)的圖像，解此類題需要對(duì)導(dǎo)數(shù)含義深刻理解.

三、明確是求最大值還是求最小值

若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖像恒在直線y=2ax下方，求a的取值范圍.

當(dāng)x2>x1=1，即時(shí)，在（x，+∞）上有g(shù)（′x）>0，此時(shí)g（x）2在區(qū)間（x2，+∞）上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有g(shù)（x）∈（g（x2），+∞），不合題意；

當(dāng)x2

點(diǎn)評(píng)：f（x）的圖像恒在直線y=2ax的下方，即g（x）=f（x）-2ax<0恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求gmax（x）<0.

四、明確是分開求最值還是合起來求最值

（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

由（1）知，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在（0，2）的最小值為

若對(duì)任意x1∈（0，2），當(dāng)x2∈［1，2］時(shí)，f（x1）≥g（x2）恒成立，只需當(dāng)x∈［1，2］時(shí)，即可.

點(diǎn)評(píng)：本題中兩個(gè)函數(shù)f（x1），g（x2）的變量x的取值獨(dú)立，故應(yīng)分別求最值.