運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上的概率問(wèn)題

☉浙江省杭州余杭第二高級(jí)中學(xué) 徐國(guó)鋒

隨著人們生活水平的不斷提高，體育運(yùn)動(dòng)正為越來(lái)越多的人所喜愛(ài).體育運(yùn)動(dòng)的魅力在于力量、在于美、在于技巧、在于競(jìng)爭(zhēng)精神，還在于懸念，而種種懸念的答案往往就隱藏在概率之中.運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上的概率問(wèn)題也成為各類考試中一類重要的問(wèn)題.

一、抽簽分組概率

例1 已知8支球隊(duì)中有3支弱隊(duì)，以抽簽方式將這8支球隊(duì)分為A、B兩組，每組4支.求A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率.

（間接考慮）3支弱隊(duì)分在一組，共2C15種分組方法，因而，三支弱隊(duì)在同一組的概率為

評(píng)析：涉及到平均分組、標(biāo)號(hào)問(wèn)題要注意防“重”.在平均分組不標(biāo)號(hào)（即無(wú)順序）時(shí)防“重”，即在分步依次分組后要除以所分組數(shù)的階乘.如例1中，8個(gè)隊(duì)不標(biāo)號(hào)平均分為兩組，不同的分組數(shù)不是C48種；若平均分組標(biāo)號(hào)則在分組的基礎(chǔ)上再乘以所分組數(shù)的階乘，如例1中，分為A、B兩組的方法數(shù)是種，不是種.

二、傳球概率

例2 甲、乙、丙三人做相互傳球練習(xí)，第一次甲傳給另外兩人中的一人，第二次由拿球者再傳給其他兩人中的一人，…，且拿球者傳給其他人種任何一人都是等可能的，求：

（1）第三次球傳回到甲的概率；

（2）若規(guī)定：最多傳五次球，且在傳球過(guò)程中，球傳回到甲手中即停止傳球；設(shè)ξ表示傳球停止時(shí)傳球的次數(shù)，求P（ξ=5）.

解：（1）畫出如下的樹狀圖，第三次傳遞時(shí)共8（中）種不同的傳遞方式，其中傳給甲的有2種，因而，第三次傳遞時(shí)甲得到球的概率為

再一種方法是按乘法原理考慮，分三步，最后球傳給甲.甲在傳球的過(guò)程中沒(méi)接到球，即甲→非甲→非甲→甲，共有方法2×1×1=2種，總的傳球方法為8種，即概率為

（2）注意在該問(wèn)題中包含兩種情形：最后甲得到球和甲一直沒(méi)有得到球，其中，兩種事件的個(gè)數(shù)都是2，因而，事件總數(shù)為16，

評(píng)析：利用樹狀圖、列舉法等是解決這類計(jì)數(shù)或概率問(wèn)題的基本方法，不過(guò)，該類問(wèn)題當(dāng)傳球人數(shù)或次數(shù)較多時(shí)，顯然不易使用.第二種方法需要對(duì)問(wèn)題合理轉(zhuǎn)化，利用兩個(gè)原理轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解決.該問(wèn)題顯然可以一般性的推廣：明顯在第n次傳遞時(shí)共有2n種不同的傳遞方式，其中在第2，3，4次傳遞時(shí)甲可以得到球的次數(shù)分別應(yīng)為4-2，8-4，16-8，…，即22-2，23-（22-2），24-（23-（22-2））， 第n次傳遞時(shí)甲得到球的方式是2n減去第n-1次傳遞時(shí)球不在甲手中的情況，2n-2n-1+2n-2-…+（-1）n-12=再進(jìn)一步推廣，我們可以得到，滿足例2條件的n個(gè)人傳球，第k次傳給甲的概率為

三、物品放置概率

例3 體育課后同學(xué)們把9個(gè)相同的足球隨機(jī)地放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)箱子里（假定每個(gè)箱子都可以放下所有的球），則每個(gè)箱子放球的個(gè)數(shù)不少于其編號(hào)的概率是多少？

解：9個(gè)足球隨機(jī)放入3個(gè)箱子中，共有39=19683種不同的方法，其中分別記1、2、3號(hào)箱子里的足球個(gè)數(shù)為x，y，z，則x+y+z=9，x≥1，y≥2，z≥3，轉(zhuǎn)化為求不定方程的解的個(gè)數(shù)，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化.令a=x，b=y-1，c=z-2，則a+b+c=6，a≥1，b≥1，c≥1，相當(dāng)于把6個(gè)相同元素分成3份，每份不少于1個(gè)，用“插（擋）隔板”的方法即可，故所求概率為.不同的放法有22種.

評(píng)析：解題是智力競(jìng)技，需要基本功，也需要一定的技巧，該題主要是轉(zhuǎn)化思想，把實(shí)際問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題：不定方程解，在數(shù)學(xué)范圍內(nèi)構(gòu)造變形，然后再轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)際問(wèn)題模型，用“插隔板”的方法解決.

四、測(cè)試達(dá)標(biāo)（命中）概率

例4 體育課進(jìn)行籃球投籃達(dá)標(biāo)測(cè)試，規(guī)定：每位同學(xué)有5次投籃機(jī)會(huì)，若投中3次則“達(dá)標(biāo)”；為節(jié)省測(cè)試時(shí)間，同時(shí)規(guī)定：若投籃不到5次已達(dá)標(biāo)，則停止投籃；若既使后面投籃全中，也不能達(dá)標(biāo)（如前3次投中0次）則也停止投籃.同學(xué)甲投籃命中率為且每次投籃互不影響.

（1）求同學(xué)甲測(cè)試達(dá)標(biāo)的概率.

（2）設(shè)測(cè)試中甲投籃次數(shù)記ξ，求ξ的分布列及期望Eξ.

解：（1）同學(xué)甲測(cè)試達(dá)標(biāo)情況為，前三次都投中，前四次投中三次或者前四次中有兩次投中第五次再投中，所以所求概率

（2）ξ的取值為3，4，5.ξ=3包含前三次全中或者全沒(méi)有投中，，ξ=4包含第一次沒(méi)投中前三次投中兩次第四次再投中，或者前三次中有一次投中第四次沒(méi)投中，表示前四次中投中兩次第五次投中，或者前四次中投中兩次第五次沒(méi)投中

所以ξ的分布列：

ξ 3 4 5 P 9 2 7 10 27 8 2 7

評(píng)析：這類問(wèn)題首先是分清楚隨機(jī)變量的實(shí)際意義，把隨機(jī)變量分解為基本事件的和事件，然后求出其相應(yīng)的概率，特別是最后不能達(dá)標(biāo)的情況，ξ=5時(shí)的情況是解這類問(wèn)題的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，要考慮兩個(gè)互斥的事件，然后利用概率的加法公式確定這時(shí)的概率.

五、比賽場(chǎng)次概率

例5 甲、乙兩人進(jìn)行某項(xiàng)對(duì)抗性游戲，采用“七局四勝”制，即先贏四局者為勝，若甲、乙兩人水平相當(dāng)，且已知甲先贏了前兩局，求：（1）乙取勝的概率；（2）比賽進(jìn)行完七局的概率；（3）記比賽局?jǐn)?shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.

ξ 4 5 6 7 P 1 4 1 4 1 4 1 4

評(píng)析：分類討論思想的正確運(yùn)用是這類問(wèn)題求解的根本，每一個(gè)問(wèn)題都要根據(jù)實(shí)際情況分解成基本事件的和事件，在每一類問(wèn)題中還可能需要把排列、組合方法與簡(jiǎn)單枚舉方法結(jié)合起來(lái).

六、賽場(chǎng)上金牌的概率

例6 2008年北京奧運(yùn)會(huì)乒乓球比賽將產(chǎn)生男子單打、女子單打、男子團(tuán)體、女子團(tuán)體共四枚金牌，賽前保守估計(jì)，中國(guó)乒乓球男隊(duì)獲得每枚金牌的概率均為，中國(guó)乒乓球女隊(duì)獲得一枚金牌的概率均為

（1）求按此估計(jì)中國(guó)乒乓球女隊(duì)比中國(guó)乒乓球男隊(duì)多獲得一枚金牌的概率.

（2）記中國(guó)乒乓球隊(duì)獲得金牌的數(shù)為ξ，試求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ.

解：（1）設(shè)中國(guó)乒乓球男隊(duì)獲0枚金牌，女隊(duì)獲1枚金牌為事件A，中國(guó)乒乓球男隊(duì)獲1枚金牌，女隊(duì)獲2枚金牌為事件B，則：

ξ 0 1 2 3 4 P 1 400 7 200 73 400 21 50 9 2 5

評(píng)析：奪金牌的根本在于實(shí)力，解題正確的根本在于扎實(shí)的基礎(chǔ)、合理的策略和嚴(yán)密清晰地?cái)?shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.該問(wèn)題突出分類討論思想的運(yùn)用，和對(duì)事件關(guān)系、互斥事件、積事件和事件概率等概念的準(zhǔn)確理解.