例析數(shù)形結(jié)合的思想方法在解高考題中的運用

☉江蘇省泰州市二中附中 曹文喜

我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想方法，在解題中要根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，靈活地運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，能使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化.運用數(shù)形結(jié)合的方法解題，歷來一直是高考考查的重點之一.舉例如下：

一、利用數(shù)形結(jié)合研究集合問題

【解 析】M=（{x，y）|x2+y2=9，0

【注】集合轉(zhuǎn)化為點集（即曲線），而用幾何方法進行研究.此題也屬探索性問題用數(shù)形結(jié)合法解，其中還體現(xiàn)了主元思想、方程思想，并體現(xiàn)了對有公共點問題的恰當(dāng)處理方法.

二、利用數(shù)形結(jié)合求最值

【解析】等式（x-2）2+y2=3有明顯的幾何意義，它表示坐標(biāo)平面上的一個圓，圓心為（2，0），半徑則表示圓上的點（x，y）與坐標(biāo)原點（0，0）的連線的斜率.如此以來，該問題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：動點A在以（2，0）為圓心，以為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值，由圖2可見，當(dāng)∠A在第一象限，且與圓相切時，OA的斜率最大，經(jīng)簡單計算，得最大值為

圖2

【注】通過轉(zhuǎn)化將此類問題變成求斜率最大值的問題是常見的也是最簡捷的方法.

三、利用數(shù)形結(jié)合求線段的長

圖3

【解析】設(shè)橢圓另一焦點為F2，如圖3，則|MF1|+|MF2|=2a，而a=5，|MF1|=2，故|MF2|=8.又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點，則ON是△MF1F2的中位線， 故

【注】若聯(lián)想到第二定義，可以確定點M的坐標(biāo)，進而求MF1中點的坐標(biāo)，最后利用兩點間的距離公式求出|ON|，但這樣就增加了計算量，顯得有些復(fù)雜.

四、利用數(shù)形結(jié)合探究參數(shù)范圍

例4 若方程lg（-x+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）內(nèi)有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍.

【解析】將對數(shù)方程進行等價變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個范圍內(nèi)有實解的問題，再利用二次函數(shù)的圖像進行解決，原方程變形為

圖4

設(shè)曲線y=（x-2）2，x∈（0，3）和直線y=1-m圖像如圖4所示.由圖可知：

①當(dāng)1-m=0時，有唯一解，m=1；

②當(dāng)1≤1-m<4時，有唯一解，即-3

故 m=1或-3

【注】此題也可設(shè)出曲線y=-（x-2）2+1，x∈（0，3）和直線y=m后畫出圖像求解.

五、利用數(shù)形結(jié)合解答復(fù)數(shù)問題

圖5

【解析】由于|z-2-2i|=|z-（2+2i）|，有明顯的幾何意義，它表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到復(fù)數(shù)2+2i對應(yīng)的點之間的距離，因此滿足的復(fù)數(shù)z對應(yīng)點Z，在以（2，2）為圓心，半徑為的圓上（如圖5），而|z|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z到原點O的距離，顯然，當(dāng)點Z、圓心C、點O三點共線時，|z|取得最值，故|z|的取值范圍為

【注】本題運用“數(shù)形結(jié)合法”，把共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)與復(fù)平面上的向量表示、代數(shù)運算的幾何意義等都表達得淋漓盡致，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的生動活潑.一般地，復(fù)數(shù)問題可以利用復(fù)數(shù)的幾何意義而將問題變成幾何問題，也可利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、復(fù)數(shù)性質(zhì)求解.

數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，運用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.平時教學(xué)時要注意培養(yǎng)學(xué)生的這種思想意識，做到胸中有圖，見數(shù)想圖，從而開拓學(xué)生的思維視野.