窺一斑而得全豹——從一道習題的解決談數(shù)學復習策略

☉江蘇省南通市通州區(qū)石港中學 何永峰

窺一斑而得全豹
——從一道習題的解決談數(shù)學復習策略

☉江蘇省南通市通州區(qū)石港中學 何永峰

一、例題呈現(xiàn)

已知圓C：x2+y2－2x+4y－4=0，試分析有沒有一條斜率為1的直線l存在，使得l被圓C截得的弦AB可以作為一個圓的過原點的直徑?如果該直線存在，試寫出其方程；如果不存在，請分析理由.

二、問題分析及常規(guī)解法

這道例題屬于探索型的題目，我們教師在實際的復習教學過程中，通常采用的是教學參考書或教輔資料上給出的參考解法，并灌輸給學生.

解法1：假設存在滿足條件的直線l：y=ax+b，設A（x1，y1），B（x2，y2），因為以AB為直徑的圓過原點，所以有OA⊥OB，得x1x2+y1y2=0. ①

解法評析：參考答案給出的這種解法初看上去屬于通解通法，與借助代數(shù)方法研究幾何問題的解析幾何最為基本的數(shù)學思想相吻合，本題借助于“設而不求”的方法，直接將題干中的條件“以AB為直徑的圓過原點”挖掘出來得“OA⊥OB”，再將A、B兩點坐標通過數(shù)形結合的方法等價轉化為等量關系式“x1x2+y1y2=0”.如果將題目中的情境圓換為圓錐曲線，解法上也是一樣的.不過回過頭去看這種解法，運算量大的缺點突顯，學生不容易想到，就是想到了也容易算錯.

筆者在教學過程中，用了以下兩種方法，使問題很快得到解決，同時也訓練了學生的思維能力.

三、另辟蹊徑

假設以弦AB為直徑并通過原點圓的方程是：x2+y2+Dx+Ey=0，其圓心的坐標為

得到直線l的方程為x－y+1=0或x－y－4=0.進一步檢驗，上述兩個方程滿足條件.

解法評析：將解法2與解法1進行對比可知，解法2相比而言解題的思路較為自然，運算量也比解法1有了明顯的減小，非常貼近于學生的實際，只要稍加引導，學生就可以想到這種方法，并且解答的正確率比較高，這有利于激發(fā)學生的成就感，并進一步化為學習數(shù)學的動力.

解法3：從高考的實際來看，源于課本高于課本是命題的重要特點，因此，在教學過程中應合理拓展，對于這道例題的解法，筆者適當?shù)匮a充知識：如果直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，則通過該直線與圓交點的圓系方程為（x2+y2+Dx+Ey+F）+λ（Ax+By+C）=0.如果從這一知識點出發(fā)，具體解法如下：

解法評析：該方法涉及的知識點是對課本知識的拓展，通過該方法的滲透，引導學生對教材中的或是練習中常見的問題進行反思，教學過程中對知識點進行適當補充有利于學生思維的發(fā)散性，在反思和比較的過程中一些優(yōu)秀的解法就會自然地生成，學生的數(shù)學思維能力、解題能力得到提升，并最終化為成績的提高.

四、教學反思

教學目標尤其是高三復習課的目標在于鞏固和加深學生原有的知識，通過對問題的思考與解決，促進學生的知識趨于系統(tǒng)化，使學生構建完整的知識結構，在復習和解答問題的過程中，幫助學生深化數(shù)學思想，提升解決數(shù)學問題的能力，包括概括能力和運用數(shù)學知識的能力，在能力的培養(yǎng)過程中逐步樹立終身學習的良好習慣.

筆者在長期的教學實踐中有了深刻的體會，不管是新課教學，還是高三數(shù)學復習，都應該從學生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，切忌在學生原有水平上簡單重復，需要有質疑的精神，要勤于分析參考答案的科學合理性，思考解題的捷徑和其他方法，切忌將學生訓練為機械模仿參考答案和存儲知識的容器.實踐表明，練不在多而在于精，因此，恰當適量地采用“一題多解”與“變式”教學，進行多角度的解題思路分析，探討解題規(guī)律和解題方法與技巧，對學生鞏固基礎知識，形成知識網絡，提高解題技能，發(fā)展邏輯思維，提高分析問題與解決問題的能力，會有明顯的效果.