導(dǎo)數(shù)中一類(lèi)問(wèn)題的規(guī)律探討

☉江蘇省南通市通州區(qū)二甲中學(xué) 代宗山

導(dǎo)數(shù)中一類(lèi)問(wèn)題的規(guī)律探討

☉江蘇省南通市通州區(qū)二甲中學(xué) 代宗山

導(dǎo)數(shù)問(wèn)題現(xiàn)在成了高考考查的熱點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、極值與最值的重要工具.每年高考考查導(dǎo)數(shù)問(wèn)題是以導(dǎo)數(shù)為載體，結(jié)合函數(shù)、不等式、方程這條高中數(shù)學(xué)主線來(lái)考查，而且在導(dǎo)數(shù)考查中，往往設(shè)置了參數(shù)，涉及分類(lèi)討論，對(duì)學(xué)生思維能力要求很高.所以，成也導(dǎo)數(shù)，敗也導(dǎo)數(shù).

雖然導(dǎo)數(shù)題目涉及三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等眾多函數(shù)，但有一類(lèi)問(wèn)題的規(guī)律是求導(dǎo)后函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，或者可以歸結(jié)為二次函數(shù)，下面舉例說(shuō)明.

一、二次函數(shù)形式

例1 （2012年北京卷改編）已知函數(shù)f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx，當(dāng)a2=4b時(shí)，求函數(shù)f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間（－∞，－1］上的最大值.

點(diǎn)評(píng)：求出h′（x）=0的兩個(gè)根，注意兩個(gè)根與區(qū)間值-1的大小關(guān)系，由此展開(kāi)討論，這一點(diǎn)是此題的關(guān)鍵之處.

例2 （2011年全國(guó)卷改編）已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+（3－6a）x+12a－4（a∈R）.若f（x）在x=x0處取得最小值，x0∈（1，3），求a的取值范圍.

解：（法一） 從函數(shù)極值點(diǎn)即方程的根入手，建立基本關(guān)系.由f′（x）=0得3x2+6ax+3－6a=0，其Δ=4a2+8a－4.

二、對(duì)數(shù)函數(shù)形式

點(diǎn)評(píng)：以上三種解法從不同的角度揭示了參數(shù)對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的影響，三種解法緊緊扣住了函數(shù)、不等式、方程三者的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

三、混合函數(shù)形式

又h（1）=0，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單增；當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單減.所以，增區(qū)間為（0，1）；減區(qū)間為（1，+∞）.

點(diǎn)評(píng)：第2問(wèn)分析：（1）求導(dǎo)后，由于求不出極值點(diǎn)，由此陷入困境.怎么辦呢？要對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)一步研究，自然想到再求導(dǎo)；（2）求導(dǎo)后h′（x）＜0，所以h（x）在（0，+∞）單減，注意我們是要判斷f（x）的正負(fù)即h（x）的正負(fù)；（3）注意x趨于0時(shí)，h（x）＜0，x趨于+∞時(shí)，h（x）＞0，函數(shù)h（x）的零點(diǎn)在哪？ h（1）呼之欲出.

通過(guò)以上幾例可以看出，如果求導(dǎo)后的函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，或可以化成二次函數(shù)，抓住函數(shù)極值點(diǎn)是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，實(shí)際上就是函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根這一點(diǎn)，從此切入，并善于在函數(shù)、方程、不等式不斷的轉(zhuǎn)換中解決問(wèn)題.在問(wèn)題的不斷的轉(zhuǎn)化中，尋找解決問(wèn)題的契機(jī)，以此尋求問(wèn)題的解決.