函數(shù)中易混概念剖析

☉江蘇省天一中學(xué) 何愛君

函數(shù)中易混概念剖析

☉江蘇省天一中學(xué) 何愛君

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，貫穿高中數(shù)學(xué)的始終，各個(gè)章節(jié)都能見到函數(shù)的身影，且數(shù)學(xué)概念千變?nèi)f化，給人的感覺不盡相同.解題中由于不能準(zhǔn)確地區(qū)分概念的內(nèi)涵和外延，常使解題出現(xiàn)錯(cuò)誤，本文以函數(shù)中易混淆的幾對(duì)概念舉例說明，供參考.

一、“定義域”與“恒有意義”

二、“值域?yàn)镈”與“f（x）∈A恒成立”

三、“D內(nèi)有解”與“解在D內(nèi)”

例3 關(guān)于x的方程x2－2mx+m2－1=0的解在區(qū)間（2，5）內(nèi)，求m的取值范圍.

錯(cuò)解：易求得x1=m－1，x2=m+1，由題意有2＜m－1＜5或2＜m+1＜5，即3＜m＜6或1＜m＜4，故1＜m＜6.

錯(cuò)因剖析：“方程f（x）=0在D內(nèi)有解”中只要求方程f（x）=0在D內(nèi)至少有一解就可以了，并不要求方程的所有解都在D內(nèi)；“方程f（x）=0的解在D內(nèi)”中要求方程的所有解均在D內(nèi).本題屬于解在區(qū)間內(nèi)的問題.

四、“f［g（x）］的反函數(shù)”與“f－1［g（x）］”

數(shù)u=g（x）代入函數(shù)f（x）中得到關(guān)于x的解析式y(tǒng)=f［g（x）］，再求其反函數(shù)，而f－1［g（x）］是先求得函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f－1（x），再將u=g（x）代入即得.

錯(cuò)誤在于分不清“f－1（x+1）”與“f（x+1）的反函數(shù)”兩個(gè)概念的差別.f－1（x+1）是f－1（x）在x+1處的函數(shù)值，而“錯(cuò)解”求的是f（x+1）的反函數(shù)（即y=x3－1）.

綜上，因?yàn)楦拍罨煜斐傻腻e(cuò)解問題屢見不鮮，本文拋磚引玉以期提高我們的警戒，請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中不斷歸納總結(jié)，以便減少錯(cuò)誤的發(fā)生.

錯(cuò)因剖析：“f［g（x）］的反函數(shù)”與“f－1［g（x）］”兩個(gè)概念有實(shí)質(zhì)的區(qū)別，體現(xiàn)在求法上的不同是：f［g（x）］的反函數(shù)是先將函