識(shí)辨究——談某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系

☉江蘇省江陰高級(jí)中學(xué) 戴 穎

識(shí)辨究
——談某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系

☉江蘇省江陰高級(jí)中學(xué) 戴 穎

數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑之一是微積分的創(chuàng)立，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開(kāi)拓了數(shù)學(xué)的新紀(jì)元，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的過(guò)渡創(chuàng)造了一個(gè)新的研究工具，為變量和函數(shù)研究開(kāi)拓了不可估量的貢獻(xiàn)．導(dǎo)數(shù)是其一個(gè)核心的內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)中“幾起幾落”，舊版教材中曾經(jīng)由極限引入導(dǎo)數(shù)，改版后又將極限刪除，但是導(dǎo)數(shù)作為核心部分一直保留下來(lái)，可以看出教材的編者對(duì)其重視程度．

初等微積分在世界各地基本上都已進(jìn)入高中教材．2003年教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》把微積分初步規(guī)劃于選修系列1（文科）、2（理科），但是出乎意料的是，新教材對(duì)微積分初步的編排有悖于傳統(tǒng)教材的編排，舊版教材是按照“極限——連續(xù)——導(dǎo)數(shù)——微分——積分”的關(guān)系呈現(xiàn)，而新教材是以“變化率——導(dǎo)數(shù)——積分”的順序編排．筆者兩種版本都教授過(guò)，應(yīng)該說(shuō)各有利弊，在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的問(wèn)題：學(xué)生對(duì)于其中某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在與否都是不理解的，尤其以新教材教授的學(xué)生為甚（大概就是因?yàn)樾陆滩膭h去了極限）．

針對(duì)這一有趣的問(wèn)題，筆者就蘇教版《高中數(shù)學(xué)選修2-2》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新教材”）中對(duì)關(guān)于函數(shù)在某一點(diǎn)處是否可導(dǎo)以及切線的存在提出自己的教學(xué)想法，供大家參考．

一、導(dǎo)數(shù)概念的深入理解

教材給出的導(dǎo)數(shù)定義略顯簡(jiǎn)易．因?yàn)閷?dǎo)數(shù)即為割線斜率的極限值，所以可以仿照單點(diǎn)極限而詳細(xì)化導(dǎo)數(shù)的定義1：

這是首先要解決的導(dǎo)數(shù)概念細(xì)化的問(wèn)題，便于接下去的討論．

二、基本初等函數(shù)

高中教材中對(duì)函數(shù)在某一點(diǎn)處連續(xù)是這樣下的定義2：

（1）函數(shù)f（x）在x0處有定義；

（2）函數(shù)f（x）在x0處有極限；

導(dǎo)數(shù)教學(xué)中，有這樣一個(gè)定理：連續(xù)不一定可導(dǎo)，而可導(dǎo)一定連續(xù)．一線教師都有這樣的親身經(jīng)歷，其實(shí)，學(xué)生不太理解這句話．因此也解決不了實(shí)際問(wèn)題．

從高中數(shù)學(xué)的基本初等函數(shù)來(lái)說(shuō)，比如：“正比例函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)”等，函數(shù)在定義域內(nèi)某點(diǎn)處，處處連續(xù)，但并非處處可導(dǎo)，但切線是否處處存在呢？對(duì)于一般的點(diǎn)當(dāng)然沒(méi)有問(wèn)題，不妨看些特殊的點(diǎn)．

圖1

問(wèn)題1如圖1，函數(shù)（fx）=是基本初等函數(shù)之一的冪函數(shù)．函數(shù)（fx）在x=0處顯然連續(xù)，但右導(dǎo)數(shù)不存在，同樣左導(dǎo)數(shù)不存在，因此函數(shù)f（x）在x=0處不可導(dǎo)．但進(jìn)一步思考：函數(shù)f（x）在x=0處的切線存在嗎？盡管有點(diǎn)超越高中數(shù)學(xué)的要求，但對(duì)愛(ài)思考的學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一種探究．為此，筆者想從兩個(gè)方面來(lái)談一談．

1．加深理解切線的概念

中學(xué)生對(duì)切線的理解，是循序漸進(jìn)的．在初中，一個(gè)學(xué)生認(rèn)為直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)稱(chēng)為相切；但在高中的圓錐曲線學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)知道雙曲線和直線有一個(gè)交點(diǎn)，但并非相切；在大學(xué)數(shù)學(xué)中，微分曲線的研究不僅僅是二次曲線，切線和曲線的交點(diǎn)不止一個(gè)，所以不能用交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)定義，而是用割線的極限位置定義切線．

圖2

2．切線的幾何意義

定義3：若函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，且在點(diǎn)x0處的左（或右）導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)f（x）的圖像在點(diǎn)（x0，f（x0））處的左（或右）半切線存在，且其斜率為f′－（x0）（或f′+（x0））．

圖3

從問(wèn)題1可知，常見(jiàn)的基本初等函數(shù)在某些特殊點(diǎn)處并非處處可導(dǎo)，但切線依舊存在．導(dǎo)數(shù)概念易從左（右）導(dǎo)數(shù)加深理解，切線的存在可從切線的幾何意義以及左（右）半切線上領(lǐng)會(huì)．

三、分段函數(shù)（分界點(diǎn)處是連續(xù)的函數(shù)）

下文討論分界點(diǎn)處連續(xù)的分段函數(shù)．（函數(shù)f（x）在x0處不連續(xù)必不可導(dǎo)、無(wú)切線）

分段函數(shù)是函數(shù)的重要組成部分，對(duì)分段函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與切線存在與否的探究，更深刻的理解上述問(wèn)題1中所闡述的．舉一個(gè)淺顯的例子：

圖4

把常見(jiàn)的分界點(diǎn)處連續(xù)的分段函數(shù)可導(dǎo)與切線問(wèn)題以圖5～8所示：

圖5

圖6

圖7

圖8

由圖5可知：A≠B，左、右半切線不重合，f′（x0）不存在，切線不存在；由圖6可知：A=B，左右半切線重合，f′（x0）存在，切線存在；由圖7可知：A=B=+∞，且同號(hào)，f′（x0）不存在，但切線存在（問(wèn)題1便是此類(lèi)情形）；由圖8可知：A=－∞，B為有限數(shù)，f′（x0）不存在，切線不存在．

為此，可以有結(jié)論：分界點(diǎn)x0處連續(xù)的分段函數(shù)，若點(diǎn)x0是f′（x）的跳躍間斷點(diǎn)或無(wú)窮型間斷點(diǎn)，則f（x）在點(diǎn)x0處一定不可導(dǎo)，切線不存在．

四、結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)與切線的存在與否問(wèn)題，尤其是一些較為的特殊點(diǎn)（往往也只對(duì)特殊的點(diǎn)才需要此類(lèi)研究），一般可用左右導(dǎo)數(shù)來(lái)比較．

本文主要探討高中常見(jiàn)基本初等函數(shù)在特殊點(diǎn)和分段函數(shù)在分界點(diǎn)連續(xù)的前提下，用左右導(dǎo)數(shù)值或左右半切線來(lái)判別導(dǎo)數(shù)的存在與否．將數(shù)形結(jié)合思想滲透其中，結(jié)合左右半切線的概念（對(duì)優(yōu)秀學(xué)生適時(shí)引入），使其提高對(duì)切線的理解，從圖像上進(jìn)行了直觀形象的解釋?zhuān)瑥乃季S上進(jìn)行了一種突破．

希望通過(guò)此類(lèi)探討，使學(xué)生在對(duì)某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)與切線存在與否的問(wèn)題上有更深刻的認(rèn)識(shí)和理解，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)．

1．中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］．北京：人民教育出版社，2003．