分類探討，零點突破

☉湖南省株洲縣第五中學(xué) 陽志長

分類探討，零點突破

☉湖南省株洲縣第五中學(xué) 陽志長

函數(shù)概念是高中數(shù)學(xué)的核心概念之一，函數(shù)知識是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，函數(shù)的思想方法貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程的始終.函數(shù)的零點是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，與方程、不等式、導(dǎo)數(shù)、極值等知識相關(guān)聯(lián)，成為高考命題的“熱點”和重點，突出考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.有容易題，重點考查零點的概念與存在定理；有難題，重點考查聯(lián)系的學(xué)習(xí)觀點、綜合運用知識的能力和數(shù)學(xué)思維能力.今分類探討，分析學(xué)生的錯誤、困難所在，突破零點教學(xué)瓶頸，提高零點問題的解答水平.

一、抓住零點存在性及個數(shù)問題，正確理解函數(shù)零點與方程根的關(guān)系

函數(shù)y=f（x）的零點就是方程f（x）=0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo).變通一下，由方程f（x）=0得到g（x）=h（x），就是函數(shù)y=g（x）的圖像與函數(shù)y=h（x）的圖像的交點的橫坐標(biāo).

例1（2012年高考數(shù)學(xué)天津卷理科第4題）函數(shù)f（x）=2x+x3－2在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點個數(shù)是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

解法1：因為f（0）=1+0－2=－1，f（1）=2+23－2=8，所以f（0）·f（1）＜0.又函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)連續(xù)不斷且單調(diào)遞增，故f（x）在（0，1）內(nèi)的零點個數(shù)是1.選B.

解法2：由方程f（x）=0，得2x－2=x3，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2x－2和y=x3的圖像，由圖像得曲線y=2x－2和y=x3在（0，1）內(nèi)只有一個交點.選B.

點評：本題主要考查函數(shù)零點的概念、零點的存在定理，是零點的存在性及零點的個數(shù)問題，是會考、高考常考題型，屬于容易題.2011年湖南理科第22題第（Ⅰ）問、2012年陜西理科第21題第（Ⅰ）問與此題是同種類型的問題，不過，考生存在表達(dá)問題方面的困難和一定的思維障礙.

解法1直接利用零點的存在定理解題，但是高一學(xué)習(xí)此定理時，學(xué)生的理解非常膚淺.“f（a）·f（b）＜0”是“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點”的充分不必要條件，并且只知道函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)存在零點，到底有幾個，還要考慮其他因素.高考復(fù)習(xí)時，可以通過反例，使學(xué)生自覺地與函數(shù)的圖像、單調(diào)性結(jié)合起來.

解法2將問題轉(zhuǎn)化為考查兩個函數(shù)圖像的交點問題.但是在分拆函數(shù)時，有多種選擇，學(xué)生存在選擇上的困難.高考復(fù)習(xí)時，要組織學(xué)生比較、選擇最佳方案，以有利于畫出圖像、利用圖像，引導(dǎo)學(xué)生正確理解函數(shù)零點與方程根的關(guān)系、函數(shù)零點與函數(shù)圖像交點的關(guān)系，學(xué)習(xí)選擇方法.

解法1：當(dāng)a=0時，函數(shù)為（fx）=2x－3，其零點x=不在區(qū)間［－1，1］上.

當(dāng)a≠0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間［－1，1］上的零點又分為兩種情況：

①函數(shù)在區(qū)間［－1，1］上只有一個零點，此時：

二、掌握含參零點問題的基本解法，促進(jìn)函數(shù)、方程、不等式的相互轉(zhuǎn)化

零點問題是方程、函數(shù)、不等式的交匯問題，突出考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，因此具有一定的思維容量和難度，尤其是含參零點問題.

例2已知a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax2+2x－3－a，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［－1，1］上有零點，求實數(shù)a的取值范圍.

點評：本題是含參零點問題，重點考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，無論是運算要求，還是分析問題、解決問題的思維能力，都對學(xué)生有較大的挑戰(zhàn)性.

解法1分兩級討論，逐步深入，數(shù)形結(jié)合，將“函數(shù)f（x）有零點”轉(zhuǎn)化為不等式（組）.通過解不等式（組），整合得到實數(shù)a的取值范圍.學(xué)生容易忽視a=0的情形，就是在考慮a≠0時，也容易忽視“二次函數(shù)”的隱含條件及數(shù)形結(jié)合思想的運用，出現(xiàn)思維障礙，或轉(zhuǎn)化錯誤.

解法2將函數(shù)零點問題，轉(zhuǎn)化為考查函數(shù)y=3－2x和y=2ax2－a的圖像的交點問題，數(shù)形結(jié)合，得到不等式（組），與解法1殊途同歸，通過解不等式（組），得到實數(shù)a的取值范圍.比例1的解法2選擇難度更大，學(xué)生往往顧此失彼，思維不嚴(yán)謹(jǐn)，以致所得到的不等式（組）出現(xiàn)偏差、造成解題失誤.

用相關(guān)解法，還可以解答2012年湖南理科第8題、山東理科第12題等試題，解法1和解法2是解決含參零點問題的基本方法.

三、把握極值、單調(diào)性、斜率等問題特征，與函數(shù)零點問題同步突破

一般地，與函數(shù)的極值、曲線切線的斜率、函數(shù)的單調(diào)性等相關(guān)的問題，歸根結(jié)底，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題.因此，在處理相關(guān)問題時，可以嘗試構(gòu)造函數(shù)，將問題化歸為函數(shù)的零點問題，運用導(dǎo)數(shù)的方法，使問題與零點問題同步突破，“盤活”一盤棋.

例3（2009年高考數(shù)學(xué)浙江卷理科第22題）已知函數(shù)f（x）=x3－（k2－k+1）x2+5x－2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R.

設(shè)函數(shù)p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，求實數(shù)k的取值范圍.

點評：本題歸結(jié)為考查導(dǎo)函數(shù)的零點，是含參零點問題，可以與零點問題同步突破.

解法1承接例2解法1，由于轉(zhuǎn)化不具等價性，要注意檢驗，防止因為沒有考慮“端點”的問題而出錯.

解法2運用分離參數(shù)方法，將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，另辟蹊徑，給出求解含參零點問題的第3種方法.例2可以用此法求解，但是將面對分離變量時分母為0的問題；例3也可以用例2的解法2求解，將問題轉(zhuǎn)化為考慮兩個函數(shù)的交點問題，但是難度將加大，下面來看上文提到的例4.

例4（2012年高考數(shù)學(xué)陜西卷理科第21題）設(shè)函數(shù)fn（x）=xn+bx+c（n∈N*，b、c∈R）.

點評：本題第（Ⅰ）問與例1是同種類型的問題，考查函數(shù)零點的概念、零點的存在定理.解題時用到導(dǎo)數(shù)方法，判斷函數(shù)的單調(diào)性、確定零點的唯一性.

第（Ⅲ）問解法1，運用零點的概念，建立函數(shù)y=fn（x）與y=fn+1（x）的關(guān)系，通過放縮，得到fn（xn）＜fn（xn+1），再利用函數(shù)y=fn（x）的單調(diào)性得到結(jié)論.

第（Ⅲ）問解法2，根據(jù)零點的存在定理，得到函數(shù)fn+1（x）的零點xn+1在區(qū)間（xn，1）內(nèi)，從而獲得問題的解決．

第（Ⅲ）問的解法1和解法2，看似平凡，實屬不易，要求考生目標(biāo)明確，思路清晰．同時，還要綜合運用不等式、函數(shù)單調(diào)性、數(shù)列等知識，用到放縮、化歸等思想方法，對考生整體把握問題的能力和綜合素養(yǎng)要求較高，具有“壓軸題”切入不易深入更難的風(fēng)格．

綜上所述，含參是零點問題的基本特征，也為零點問題增添了不確定因素，以及解決零點問題的難度．解決含參零點問題有三種途徑，一是直接根據(jù)函數(shù)零點存在條件，得到不等式（組）；二是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點問題，按照交點位置建立不等式（組）；三是分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域．常見的極值、最值、不等式等問題，可以歸結(jié)為函數(shù)的零點問題．零點問題可以出得容易，也可以出得較難，涉及眾多概念，溝通多方關(guān)系，用到多種思想方法．因此，高考復(fù)習(xí)時，可以分類探討，各個突破，再整合探究，以零點問題為突破口，推動學(xué)生數(shù)學(xué)思維運動和發(fā)展．