中考數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)

☉云南省紅河州彌勒縣西山民族中學(xué) 楊 鳳

中考第二輪復(fù)習(xí)以專題復(fù)習(xí)為主線，使學(xué)生在系統(tǒng)掌握基礎(chǔ)知識和基本技能的基礎(chǔ)上形成基本的數(shù)學(xué)思想方法，使之達(dá)到系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、完整化，進(jìn)而掌握通性、通法，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.數(shù)學(xué)思想比較豐富，初中常見的數(shù)學(xué)思想有五大類：函數(shù)的思想、方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化的思想.思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，方法是思想的體現(xiàn)，有什么樣的思想就有什么樣的方法，由于思想和方法的高度統(tǒng)一，有時稱為“數(shù)學(xué)思想方法”.下面通過分析和探究部分中考題的解法，對中考數(shù)學(xué)蘊含的思想方法作五個方面的總結(jié).

一、函數(shù)的思想

函數(shù)的思想是用運動變化的觀點分析問題和研究數(shù)量關(guān)系，也是用已知函數(shù)模型的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.

例1 （2011年山東濟(jì)寧市）如圖1，是張老師出門散步時離家的距離y與時間x之間的函數(shù)關(guān)系的圖像.若用黑點表示張老師家的位置，則張老師散步行走的路線可能是（ ）.

分析：圖1是“距離－時間”圖象，根據(jù)距離隨時間的運動變化來想象和確定行走路徑.

解析：由圖1知道，最終距離為0，說明行走后回到出發(fā)點，有一段路程隨時間的變化而不變，說明行走在圓弧上.故選D.

點評：本題著重考查看圖識圖能力，首先要弄清楚是什么關(guān)系圖，其次要根據(jù)圖象進(jìn)行分析和對應(yīng)的想象.

例2（2011年四川南充市）小明乘車從南充到成都，行車的平均速度y（km/h）和行車時間x（h）之間的函數(shù)圖像是（ ）.

分析：根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)模型確立函數(shù)圖像.

解析：設(shè)南充到成都的距離是Skm，則行車的平均速度y（km/h）和行車時間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系是因為S>0，所以由反比例函數(shù)圖象知道選B.

點評：本題以實際行程為背景考查反比例函數(shù)的圖像，需要能夠根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系，并運用函數(shù)模型解決問題.

二、方程的思想

方程的思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程（組），通過解方程（組）使問題得到解決.

例3（2011年云南玉溪市）2006年我市在全國率先成為大面積實施“三免一補(bǔ)”的州市.據(jù)悉，2010年我市籌措農(nóng)村義務(wù)教育經(jīng)費與“三免一補(bǔ)”專項資金3.6億元（由中央、省、市、縣（區(qū)））四級共同投入，其中，中央投入的資金約2.98億元，市級投入的資金分別是縣（區(qū)）級、省級投入資金的1.5倍、18倍），且2010年此項資金比2009年增加1.69億元.

（1）2009年我市籌措農(nóng)村義務(wù)教育經(jīng)費與“三免一補(bǔ)”專項資金多少億元？

（2）2010年省、市、縣（區(qū)）各級投入的農(nóng)村義務(wù)教育經(jīng)費與“三免一補(bǔ)”專項資金各多少億元？

（3）如果按2009-2010年籌措此項資金的年平均增長率計算，預(yù)計2011年，我市大約需要籌措農(nóng)村義務(wù)教育經(jīng)費與“三免一補(bǔ)”專項資金多少億元（結(jié)果保留一位小數(shù)）？

分析：（1）根據(jù)“2010年此項資金比2009年增加1.69億元”可以列式求解；（2）根據(jù)“三免一補(bǔ)”的資金投入總和可以列出方程；（3）根據(jù)年增長率的計算公式：，求出下一年的專項資金.

解析：（1）2009年我市籌措農(nóng)村義務(wù)教育經(jīng)費與“三免一補(bǔ)”專項資金是3.6－1.69=1.91（億元）.

答：（1）2009年我市籌措農(nóng)村義務(wù)教育經(jīng)費與“三免一補(bǔ)”專項資金1.91億元；（2）省、市、縣（區(qū)）分別投入資金為0.02億元、0.36億元、0.24億元；（3）預(yù)計2011年我市約籌措專項資金6.8億元.

點評：解決該問題需要通過閱讀發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系，并找出數(shù)量之間的相互關(guān)系，如市級投資是縣級的1.5倍，市級投資是省級的18倍，即縣級投資和省級投資是以市級投資為連接點，若設(shè)市級投資為x億元，則縣級投資為億元，省級投資為億元.根據(jù)已知條件中的總投資關(guān)系建立起等量關(guān)系，從而問題得到解決.

例4（2011年湖南常德市）某城市規(guī)定：出租車起步價允許行駛的最遠(yuǎn)路程為3千米，超過3千米的部分按每千米另收費.甲說：“我乘這種出租車走了11千米，付了17元”；乙說：“我乘這種出租車走了23千米，付了35元”.請你算一算這種出租車的起步價是多少元？以及超過3千米后，每千米的車費是多少元？

分析：甲和乙說的兩句話就是兩個等量關(guān)系，根據(jù)這兩個等量關(guān)系建立方程，問題便迎刃而解.

解析：設(shè)這種出租車的起步價是x元，超過3千米后每千米收費y元，根據(jù)題意得：

答：這種出租車的起步價是5元，超過3千米后每千米收費1.5元.

點評：這個問題涉及起步價和超過價，需要弄清楚它們之間的關(guān)系，并把已知的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號建立方程.

三、數(shù)形結(jié)合的思想

圖2

數(shù)形結(jié)合的思想是在數(shù)和形之間建構(gòu)一座橋梁，形成一一對應(yīng)關(guān)系，既分析數(shù)量關(guān)系，也揭示幾何意義，化抽象為具體，“以形助數(shù)”，“以數(shù)解形”，代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，從而看透問題的本質(zhì).華羅庚說過：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.

例5 （2011年吉林長春市）在長為10m、寬為8m的矩形空地中，沿平行于各邊的方向分割出三個全等的小矩形花圃，其示意圖如圖2所示.求小矩形花圃的長和寬.

分析：由于圖形中的三個矩形花圃全等，即三個矩形花圃的長和寬分別都相等，根據(jù)三個矩形花圃和大矩形的位置關(guān)系得出數(shù)量關(guān)系，即兩個花圃的長與一個花圃的寬等于矩形的長，兩個花圃的寬與一個花圃的長等于矩形的寬，列出方程組求解.

解析：設(shè)小矩形花圃的長為xm，寬為ym.

答：小矩形花圃的長為4m，寬為2m.

點評：本題以現(xiàn)實生活中的幾何圖形為背景考查圖形的位置特征與數(shù)量關(guān)系，關(guān)鍵是“以形助數(shù)”，幾何問題代數(shù)化，根據(jù)幾何圖形的位置特征和數(shù)量關(guān)系列出方程組，從而解決問題.

A.6

分析：先分別求出關(guān)于x的不等式的解集，再根據(jù)其他條件，結(jié)合數(shù)軸確定m的取值范圍.

解析：由x－m<0得x

圖3

因為不等式組的解包含4個整數(shù)，所以m的取值范圍是6

點評：本題要借助數(shù)軸由數(shù)到形進(jìn)行觀察分析，“以形助數(shù)”使問題得到解決.

四、分類討論的思想

分類討論的思想是在解答某些數(shù)學(xué)問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，分類討論遵循的原則是統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，不重復(fù)和不遺漏.

圖4

例7 （2011年江西?。┰谥苯亲鴺?biāo)系中，已知A（1，0）、B（－1，－2）、C（2，－2）三點坐標(biāo)，如圖4所示，若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，那么點D的坐標(biāo)可以是________（填序號）.

①（－2，0） ②（0，－4） ③（4，0） ④（1，－4）

分析：由于以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形的位置有三種情況，故需要一一討論確定點D的坐標(biāo).

解析：⑴以AB和BC為鄰邊的平行四邊形時，根據(jù)圖6作出點D，求得點D的坐標(biāo)是（4，0）；

⑵以AB和AC為鄰邊的平行四邊形時，根據(jù)圖6作出點D，求得點D的坐標(biāo)是（0，－4）；

⑶以AC和BC為鄰邊的平行四邊形時，根據(jù)圖6作出點D，求得點D的坐標(biāo)是（-2，0）.故填①②③.

點評：本題以△ABC為基礎(chǔ)的平行四邊形存在三種情況，需要按位置分類解決，考慮問題要周密，否則易漏解.

五、轉(zhuǎn)化的思想

轉(zhuǎn)化的思想就是對一個問題等價地?fù)Q一種方式、角度或觀點來處理，化陌生為熟悉，化復(fù)雜為容易，化抽象為具體，化未知為已知，化實際問題為數(shù)學(xué)模型.有的數(shù)學(xué)問題只有不斷地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化才能解決.

例8 （2011年湖北荊門市）如圖5，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm，高為5cm.若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為_______cm.

圖5圖6

分析：由于螞蟻爬行的路徑是折線，每一條線段的長無法算出，這就需要把部分合為整體考慮，將路徑展開在一個平面上作為整體考慮.

解析：將長方體沿PQ展開側(cè)面，如圖6所示.由勾股定理算得最短路程PQ是13cm，故螞蟻爬行的最短路徑長為13cm.

點評：本題考查了把部分轉(zhuǎn)化為整體，用整體求路程的方法.當(dāng)直接求部分行不通時，可以考慮部分構(gòu)成的整體.

例9 圖7是一個正六棱柱的主視圖和左視圖，則圖中的a=（ ）.

圖7圖8

分析：要計算a的值就必須將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化到俯視圖中，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)進(jìn)行計算.

解析：根據(jù)主視圖和左視圖中的數(shù)據(jù)，作出俯視圖，如圖8所示. 由正六邊形的性質(zhì)得AB=OA=2，BC=a，∠OAB=60°.在Rt△ABC中.故選B.

點評：在涉及三視圖時，需要根據(jù)“長對正，寬相等，高平齊”將數(shù)據(jù)在三個視圖中轉(zhuǎn)化，進(jìn)而進(jìn)行計算，有時是幾何體與視圖之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

總之，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中需要不斷對方法和思想進(jìn)行總結(jié)，使它上升至一個高度，形成數(shù)學(xué)思想方法，并用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)我們解題，這樣才能運用數(shù)學(xué)和駕馭數(shù)學(xué)，成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正主人.