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    撥云見日,細(xì)說函數(shù)定義域

    2012-08-27 02:42:12江蘇省沭陽高級中學(xué)周海勇
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年17期
    關(guān)鍵詞:實際意義值域定義域

    ☉江蘇省沭陽高級中學(xué) 周海勇

    函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容,函數(shù)的數(shù)學(xué)思想貫穿整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終,定義域是函數(shù)“三要素”(定義域、值域、對應(yīng)法則)之一,是函數(shù)最本質(zhì)的特征.在解決問題的過程中,如果忽視函數(shù)的定義域,常常會事倍功半,甚至誤入歧途,在求函數(shù)解析式時,必須考慮函數(shù)的定義域,否則所求函數(shù)關(guān)系式是不完整的.下面就對求函數(shù)定義域的方法進(jìn)行分類說明,希望對大家在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生解決與定義域有關(guān)的問題時有所幫助.

    題型一:由解析式確定函數(shù)的定義域

    當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時,則其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合.也就是:(1)若f(x)為整式函數(shù),則定義域為全體實數(shù);(2)若f(x)為分式函數(shù),則分母不能為0;(3)若f(x)為偶次方根,則被開方數(shù)不小于0;(4)若f(x)=x0,則定義域為{x|x∈R,且x≠0};(5)在解決實際問題時,自變量的取值要有實際意義等.

    分析:根據(jù)函數(shù)式子的特點,要求偶次根式下被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),分式的分母不為0;x0要有意義,即其中的自變量x不能為0.

    點評:求函數(shù)定義域就是求使函數(shù)解析式有意義的自變量取值的集合,一般可通過解不等式或不等式組完成.當(dāng)一個函數(shù)是由兩個或者兩個以上的式子的形式構(gòu)成時,那么它的定義域是使每個式子有意義的集合的交集.

    題型二:復(fù)合函數(shù)的定義域

    如果函數(shù)y=f(t)的定義域為A,函數(shù)t=g(x)的定義域為D,值域為C,則當(dāng)C?A時,稱y=f[g(x)]為f與g在D上的復(fù)合函數(shù),其中t叫中間變量,t=g(x)叫內(nèi)函數(shù),y=f(x)叫外函數(shù).復(fù)合函數(shù)的定義域由外函數(shù)的定義域、內(nèi)函數(shù)的值域以及內(nèi)函數(shù)的定義域共同確定.

    1.已知函數(shù)f(x)的定義域,求函數(shù)y=f[g(x)]的定義域

    分析:求滿足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范圍即可.

    例2設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為[0,1],則函數(shù)f(2x)的定義域是________.

    解:依題意,有:

    2.已知函數(shù)f[g(x)]的定義域,求函數(shù)f(x)的定義域

    分析:由已知a≤x≤b,求g(x)的值域,即為f(x)的定義域.

    變式1:已知函數(shù)g(x)=f(3-2x)的定義域為[-1,2],則函數(shù)f(x)的定義域為_____.

    解:g(x)的定義域為[-1,2].

    即-1≤x≤2.

    所以-1≤3-2x≤5.

    即f(x)的定義域為[-1,5].

    3.已知函數(shù)f[g(x)]的定義域,求函數(shù)f[h(x)]的定義域

    分析:先由y=f[g(x)]的定義域求出f(x)的定義域,再由f(x)的定義域求f[h(x)]的定義域.

    變式2:已知函數(shù)f(x+1)的定義域為[-2,3],求f(2x-2)的定義域.

    解:f(x+1)的定義域為-2≤x≤3.

    令t=x+1,則-1≤t≤4.

    故f(t)的定義域為-1≤x≤4.

    點評:(1)對于復(fù)合函數(shù)f[g(x)]而說,如果函數(shù)f(x)的定義域為A,則f[g(x)]的定義域是使得函數(shù)g(x)∈A的x的取值范圍.(2)如果f[g(x)]的定義域為A,則函數(shù)f(x)的定義域是函數(shù)g(x)的值域.

    題型三:由實際問題確定函數(shù)的定義域

    在解決函數(shù)實際應(yīng)用題時,要考慮結(jié)合實際問題,其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義,還要注意問題的實際意義對自變量的限制(如長度、面積必須大于0,人必須為自然數(shù)等).

    例3 甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過ckm/h.已知汽車每小時的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(km/h)的平方成正比,且比例系數(shù)為b;固定部分為a元.把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域.

    分析:先建立函數(shù)關(guān)系,根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式以及速度v的實際意義確定函數(shù)的定義域.

    故函數(shù)的解析式有意義得到v≠0,由自變量v的實際意義得到v>0,由題目的限制條件“速度v不得超過ckm/h”得到v≤c.

    所以函數(shù)的解析式及其定義域為

    點評:在解決關(guān)于函數(shù)的實際應(yīng)用問題時,一定要注意研究并寫明函數(shù)的定義域,否則扣分是比較多的.這是因為作為解答題的這類題型,往往還要考查函數(shù)的其他性質(zhì).如果函數(shù)的定義域出錯了,那么在此基礎(chǔ)上研究出來的函數(shù)的其他性質(zhì)也就不一定正確了.這一點我們要加倍注意,并形成重視函數(shù)定義域的良好意識與習(xí)慣.

    總之,函數(shù)的定義域是求解函數(shù)的一切問題的基礎(chǔ),解決函數(shù)的一切問題必須認(rèn)真考查函數(shù)的定義域,學(xué)會并掌握求函數(shù)的定義域的常用方法是學(xué)習(xí)好函數(shù)的基礎(chǔ).

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