因式分解總復(fù)習(xí)

☉海南華僑初級(jí)中學(xué) 王明照

因式分解的基本方法有提公因式法，公式法，分組分解法，十字相乘法及其他方法；因式分解的步驟常常用口訣表述為“一提二套三分組四其他”，也就是說(shuō)，先看是否有公因式，再看能否套公式，若所給式子有四、五項(xiàng)的就要分組，這些方法都無(wú)法解決就要采用一些特殊技巧如添項(xiàng)、分拆、重組等.還常常要進(jìn)行一些恰當(dāng)?shù)淖冃?，使多?xiàng)式達(dá)到分解要求.本文圍繞2011年全國(guó)各個(gè)省市考試題為例介紹一下這些常見的因式分解方法及小技巧.需要說(shuō)明的是，要想熟練掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)和技巧，還需要同學(xué)們通過(guò)平時(shí)練習(xí)去體驗(yàn)我們所講的方法和技巧.

一、因式分解的概念

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.因式分解是整式乘法的逆向變形.

注意：（1）分解因式要分解到不能分解為止；（2）結(jié)果中有相同因式時(shí)要寫成冪的形式.

二、因式分解的方法

1.提公因式法：多項(xiàng)式=公因式×（原多項(xiàng)式除以公因式所得的商）.

提公因式法的步驟：

第一步：正確找出公因式（①多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)是各系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母取各項(xiàng)的相同的字母；③相同字母的指數(shù)取最低次數(shù)）.

第二步：提出公因式并確定另一個(gè)因式，將結(jié)果寫成積的形式.

2.運(yùn)用公式法：把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以把多項(xiàng)式分解因式.這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法.

（1）平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）

公式特點(diǎn)：左邊是二項(xiàng)式，是兩個(gè)數(shù)的平方差，右邊是這兩個(gè)數(shù)的和與差的積.

（2）完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2

公式特點(diǎn)：左邊是三項(xiàng)式，是兩個(gè)數(shù)的平方和與這兩個(gè)數(shù)的積的兩倍的和或差；右邊是這兩個(gè)數(shù)的和或差的平方.

注意：①完全平方公式中，中間項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積的2倍，其符號(hào)決定是和的平方還是差的平方.

②公式中的兩個(gè)數(shù)可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.

3.十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x+q）.

所以x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）.關(guān)鍵要根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)把常數(shù)項(xiàng)分解.

4.分組分解法：把多項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M，分組后能夠有公因式或運(yùn)用公式，這樣的因式分解方法叫做分組分解法.

分組的原則——有公因式提取或可運(yùn)用公式.

分組分解的目的是最終達(dá)到整體多項(xiàng)式因式分解，要求分組后可直接提取公因式或可直接運(yùn)用公式，但必須使各組之間能提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解.

應(yīng)注意：

（1）要注意分解因式的對(duì)象是整式，不是整式不能分解因式.

（2）不要因式分解后又乘回來(lái).

（3）注意分解一定要徹底.

（4）因式分解的結(jié)果是幾個(gè)因式的積，而不是把多項(xiàng)式其中某幾項(xiàng)化為積的形式.

（5）因式分解的結(jié)果能寫成冪的形式就應(yīng)寫成冪的形式.

三、典型例題

類型一：考查因式分解的定義.

例1（遼寧鞍山3分）下列因式分解正確的是______.

A.x3-x＝x（x2-1） B.x2＋3x＋2＝x（x＋3）＋2

C.x2-y2＝（x-y）2D.x2＋2x＋1＝（x＋1）2

答案：D.

考點(diǎn)：因式分解的定義，平方差公式.

分析：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.注意三原則：分解要徹底，最后結(jié)果只有小括號(hào)，最后結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正.據(jù)此有：

A.x3-x＝x（x2-1），分解不徹底，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.x2＋3x＋2＝x（x＋3）＋2，不符合結(jié)果為最簡(jiǎn)整式的積的定義，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.x2-y2＝（xy）2，平方差公式應(yīng)用錯(cuò)誤，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.x2＋2x＋1＝（x＋1）2，選項(xiàng)正確.故選D.

類型二：考查運(yùn)用提公因式法因式分解.

例2 （廣西來(lái)賓3分）分解因式：1-x2=______.

答案：（1+x）（1-x）.

分析：因式1-x2中，可知是二項(xiàng)式，沒有公因式，直接用平方差公式分解即可：1-x2=（1+x）（1-x）.

例3 （重慶江津4分）分解因式：2x3-x2=______.

答案：x2（2x-1）.

分析：觀察等式的右邊，提取公因式x2即可求得答案.

類型三：考查運(yùn)用平方差公式因式分解.

例4 （海南3分）分解因式x2-4=______.

答案：（x+2）（x-2）.

分析：利用平方差公式直接分解：x2-4=（x+2）（x-2）.

例5（湖南懷化3分）因式分解：a2-9=______

答案：（a+3）（a-3）.

分析：利用平方差公式直接分解：a2-9=（a+3）（a-3）.

類型四：考查運(yùn)用完全平方公式對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

例6 （山東濟(jì)南3分）分解因式：a2-6a+9＝______.

答案：（a-3）2.

分析：本題是一個(gè)二次三項(xiàng)式，且a2和9分別是a和3的平方，6a是它們二者積的兩倍，符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因此用完全平方公式進(jìn)行因式分解：a2-6a+9=（a-3）2.

例7 （山東威海3分）分解因式：16-8（x-y）＋（x-y）2=______.

答案：（x-y-4）2.

考點(diǎn)：完全平方公式，代數(shù)式代換.

分析：因?yàn)?6-8m＋m2=（m-4）2，所以令m=x-y得16-8（x-y）＋（x-y）2=（x-y-4）2.

類型五：綜合運(yùn)用提公因式以及平方差公式進(jìn)行因式分解.

例8 （廣西玉林、防城港3分）分解因式：9a-a3=______.

答案：a（3+a）（3-a）.

分析：根據(jù)提取公因式法和應(yīng)用公式法分解因式：9a-a3=a（9-a2）=a（3+a）（3-a）.

例9 （江蘇南通3分）分解因式：3m（2x-y）2-3mn2＝______.

答案：3m（2x-y+n）（2x-y-n）.

分析：3m（2x-y）2-3mn2=3m［（2x-y）2-n2］=3m（2x-y+n）（2xy-n）.

例10 （山東萊蕪4分）分解因式：（a+b）3-4（a+b）=______.

答案：（a+b）（a+b+2）（a+b-2）.

分析：（a+b）3-4（a+b）=（a+b）［（a+b）2-4］=（a+b）（a+b+2）（a+b-2）

類型六：綜合運(yùn)用提公因式以及完全平方公式進(jìn)行因式分解.

例11 （江蘇揚(yáng)州3分）因式分解：x3-4x2+4x=______.

答案：x（x-2）2.

分析：應(yīng)用提取公因式法和應(yīng)用公式法因式分解：x3-4x2+4x=x（x2-4x+4）=x（x-2）2.

例12 （山東東營(yíng)4分）分解因式：x2y-2xy+y=______.

答案：y（x-1）2.

分析：x2y-2xy+y=y（x2-2x+1）=y（x-1）2.

例13 因式分解：3a+12a2+12a3=______.

答案：3a（1+2a）2.

分析：先提取公因式3a，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解：

3a+12a2+12a3=3a（1+4a+4a2）=3a（1+2a）2.

類型七：綜合運(yùn)用平方差公式以及完全平方公式進(jìn)行因式分解.

例14 （湖南岳陽(yáng)3分）分解因式：a4-1=______.

答案：（a2+1）（a+1）（a-1）.

分析：運(yùn)用平方差公式進(jìn)行兩次分解即可：a4-1=（a2+1）（a2-1）=（a2+1）（a+1）（a-1）.

類型八：運(yùn)用分組分解法進(jìn)行因式分解.

例15 （山東濰坊3分）分解因式：a3+a2-a-1=______.

答案：（a+1）2（a-1）.

考點(diǎn)：分組分解法因式分解，提取公因式，平方差公式.

分析：當(dāng)被分解的式子是四項(xiàng)時(shí)，應(yīng)考慮運(yùn)用分組分解法進(jìn)行分解.本題應(yīng)采用兩兩分組，然后提取公因式（a-1）得a3+a2-a-1=a2（a+1）-（a+1）=（a+1）（a2-1）=（a+1）2（a-1）.

例16（四川遂寧4分）閱讀下列文字與例題：

將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法.

試用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2=______.

答案：（a+b）（a+b+c）.

分 析 ：a2+2ab+ac+bc+b2=a2+2ab+b2+ac+bc=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）.

類型九：運(yùn)用十字相乘法因式分解.

例17 （貴州黔東南4分）分解因式：x2-2x-8=______.

答案：（x+2）（x-4）.

分析：根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)為-2，所以-8分解為2和-4相乘，x2可分解為兩個(gè)x相乘，交叉乘后一相加剛好是-2x，所以根據(jù)十字相乘法可分解為（x+2）（x-4）.

也可以利用配方法把這個(gè)多項(xiàng)式配成兩個(gè)式子的平方之差的形式，然后利用平方差公式因式分解.

類型十：求代數(shù)式的值.

例18 （甘肅天水4分）若x＋y=3，xy=1，則x2＋y2=______.

答案：7.

考點(diǎn)：求代數(shù)式的值，完全平方公式.

分析：將所求的式子配成完全平方公式，然后將x+y和xy的值整體代入求解：

類型十一：綜合題.

例19 （廣東廣州10分）分解因式：8（x2-2y2）-x（7x＋y）＋xy.

答案：原式＝8x2-16y2-7x2-xy＋xy＝x2-16y2＝（x＋4y）（x-4y）.

考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算，運(yùn)用公式法因式分解.

分析：首先利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，正好符合平方差公式，再運(yùn)用公式法分解因式即可解答.

練習(xí)題：

1.（m+n）（x-y）+（m-n）（y-x）

2.4x2-12xy+9y2

3.x4-y4

4.a（a+2）+b（b+2）+2ab

5.x2+4x-12

6.（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1

點(diǎn)評(píng)：因式分解在各省市中考試卷中大多數(shù)是選擇、填空題，十字相乘法和分組分解法考得比較少，主要以提公因式法和公式法的綜合運(yùn)用為主，所以在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)練習(xí)用這三種方法.