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    巧解拋物線變換問題

    2012-08-25 06:15:30江西會昌實驗學校
    中學數(shù)學雜志 2012年2期
    關鍵詞:原函數(shù)原點拋物線

    ☉江西會昌實驗學校 李 揚

    巧解拋物線變換問題

    ☉江西會昌實驗學校 李 揚

    一、拋物線的平移變換

    例1 (2011·重慶市江津區(qū))將拋物線:y=x2-2x向上平移3個單位,再向右平移4個單位得到的拋物線是__________.

    巧解方法:直接在一般式的自變量和因變量上分別進行“左加右減”和“上加下減”.

    解:用x-4代替解析式中的x,并對其中的y(即原等式右邊)加上3,就得到解析式:y=(x-4)2-2(x-4)+3,展開并整理得y=x2-10x+27.

    故答案為:y=x2-10x+27.

    點評:本題主要考查的是函數(shù)圖像的平移,用平移規(guī)律“左加右減,上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式.

    二、拋物線的翻折與旋轉變換

    (1)請直接寫出拋物線c2的表達式.

    (2)現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個單位長度,平移后得到的新拋物線的頂點為M,與x軸的交點從左到右依次為A,B;將拋物線c2向右也平移m個單位長度,平移后得到的新拋物線的頂點為N,與x軸交點從左到右依次為D,E.①當B,D是線段AE的三等分點時,求m的值;②在平移過程中,是否存在以點A,N,E,M為頂點的四邊形是矩形的情形?若存在,請求出此時m的值;若不存在,請說明理由.

    方法:拋物線y=ax2+bx+c若沿x軸翻折,所得圖像的函數(shù)解析式只需將原函數(shù)解析式中的y換成-y,即y=-ax2-bx-c;若沿y軸翻折,所得圖像的函數(shù)解析式只需將原函數(shù)解析式中的x換成-x,即y=ax2-bx+c.

    分析:(1)根據(jù)拋物線翻折的性質可求拋物線c2的表達式.

    1時,當AB=AE時兩種情況討論求解;②存在.理由:連接AN,NE,EM,MA.根據(jù)矩形的判定即可得出.

    圖1

    圖2

    圖3

    ②存在.

    所以四邊形ANEM為平行四邊形.

    要使平行四邊形ANEM為矩形,必需滿足OM=OA,

    所以當m=1時,以點A,N,E,M為頂點的四邊形是矩形.

    點評:本題是二次函數(shù)的綜合題型,考查了拋物線翻折和平移的性質,平行四邊形和矩形的判定,注意分析題意分情況討論結果.

    例3 求拋物線y=x2+2x+3經(jīng)過下列變換后的拋物線的解析式:(1)繞其頂點旋轉180°;(2)繞坐標原點旋轉180°.

    方法:拋物線y=ax2+bx+c繞頂點旋轉180°,先將一般式化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,再根據(jù)變換前后開口方向改變和頂點不變,即y=-a(x-h)2+k,最后整理成一般式;拋物線y=ax2+bx+c繞原點旋轉180°(關于原點對稱),所得圖像的函數(shù)解析式只需將原函數(shù)解析式中x換成-x,y換成-y即可,即y=-ax2+bx-c.

    解:(1)把一般式化為頂點式y(tǒng)=(x+1)2+2.注意到變換后的拋物線僅是開口方向發(fā)生了變化,而形狀、大小和頂點均未變.故所求的解析式為y=-(x+1)2+2,即y=-x2-2x+1.

    (2)因為旋轉前后的兩條拋物線關于原點對稱,所以用-x、-y分別代替函數(shù)y=x2+2x+3中的x、y即得所求解析式為y=-x2+2x-3.

    點評:本題考查了拋物線旋轉前后函數(shù)圖像的性質,要求掌握旋轉前后圖像的特征與解析式中字母系數(shù)的關系.

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