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    觀解一類不等式組問題

    2012-08-27 02:41:46高曉兵黃永秋
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年2期
    關(guān)鍵詞:不等號結(jié)合法數(shù)軸

    ☉高曉兵 黃永秋

    1.廣西北部灣職業(yè)技術(shù)學(xué)校 2.廣西浦北縣第六中學(xué)

    江就好老師在《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2011年第6期上發(fā)表的文章《例談用數(shù)形結(jié)合法解一類不等式組問題》,通過幾個實例較詳細(xì)地介紹了不等式組的數(shù)軸解法,具有較好的數(shù)學(xué)思想性和可操作性,但它須經(jīng)歷“作圖、看圖、表達(dá)”三個環(huán)節(jié),三個環(huán)節(jié)緊密相聯(lián),不容失誤,然而在細(xì)細(xì)品讀之后,發(fā)現(xiàn)數(shù)軸法的求解過程比較復(fù)雜,尤其對于含參情形,學(xué)生并不能很好地掌握.在深入研究數(shù)軸法的觀察及表達(dá)習(xí)慣,全面總結(jié)不等式組的基本特征后,筆者歸納出一種全新的方法——觀解法,對于江老師文中所給例題,能做到輕松快捷且準(zhǔn)確地求解,當(dāng)然更復(fù)雜的情形,此法依然快捷自如.下面就簡要介紹一些基本思想與具體的思路,同時通過幾個例題向大家介紹此法.

    一、觀解法的簡要介紹

    觀解法立足于數(shù)軸法,它完全按照向右觀察和表達(dá)數(shù)軸的習(xí)慣,預(yù)先要求將不等號的開口方向全部統(tǒng)一向右,當(dāng)然左邊空時系負(fù)無窮大,而右邊空則正無窮大.同時此法結(jié)合在數(shù)軸上不等式組的公共解集明顯由兩邊向中間靠攏的特征,左邊部分向中間靠攏時呈向右趨勢,而在數(shù)軸上越往右越大,所以“左大”,同理右邊部分向中間靠攏時呈向左趨勢,而在數(shù)軸上越往左越小,所以“右小”,所以它的取值原則為“左大右小”.綜上可以歸納出觀解法求不等式組的基本思路為:⑴確定每一個不等式組的解集;⑵依向右觀察和表達(dá)數(shù)軸的習(xí)慣,統(tǒng)一所有不等號開口方向向右,約定左邊空負(fù)無窮大,右邊空正無窮大;⑶依“左大右小”的原則確定不等式組的解集;⑷檢查解集,若所得解集不成立,則此不等式組無解.

    二、不含參數(shù)的不等式組

    例1 解下列一元一次不等式組:

    依“左大右小”得不等式組的解集為11<x<20.

    問:為什么解集是 11<x<20,而不是 11≤x<20 或者其他結(jié)果呢?

    答:因為11≤部分能取到最小值11,而11<部分任取一個數(shù)都大于11,所以左邊較大的是11<;同樣地,≤20部分能取到最大值20,而<20部分任取一個數(shù)都小于20,所以右邊較小的是<20.

    三、含有參數(shù)的不等式組

    A.m≥3 B.m=3 C.m<3 D.m≤3

    將不等式組解集中不等號開口變?yōu)橄蛴矣?<x.

    現(xiàn)依“左大右小”的定值原則可得m≤3,故選D.

    疑惑1:為什么是m≤3,而不是m<3、m>3或別的答案?

    解惑 1:依“左大右小”,顯然 m<3,因為如果 m>3的話,解集將是m<x,不合題意.

    綜上分析,可得m≤3.

    依題意不等式組有解集-1<x<1,現(xiàn)對照左右數(shù)值,可得

    所以(a+1)(b-1)=(1+1)(-2-1)=-6.

    A.6<m<7 B.6≤m<7 C.6≤m≤7 D.6<m≤7

    而題意指出該不等式組有4個整數(shù)解,可以推知此4個整數(shù)解為 3、4、5、6.

    為了3≤x<m只能取到3、4、5、6這四個整數(shù)解,則有6<m≤7,故選 D.

    疑惑 2:為什么是6<m≤7,而不能是6≤m<7或其他情形呢?

    解惑2:依題意,可以明顯推斷出6<m<7.接下來分析兩個端點的情形.假設(shè)m=6,此時解集為3≤x<6,它只含三個整數(shù)解3、4、5,不合題意,故 m≠6;再假設(shè) m=7,此時解集為 3≤x<7,它能取到四個整數(shù)解 3、4、5、6,符合題意.綜上所述,可得 6<m≤7.

    誠然,觀解法立足于數(shù)軸法,卻優(yōu)于數(shù)軸法,它簡化了求解的環(huán)節(jié)與過程,提高了速度與準(zhǔn)確度,弱化了求解難度,同時它同樣能直觀快捷地求解出含多個不等式、端點不易確定等復(fù)雜情形以及含有參數(shù)的情形.只要熟練掌握和運用此法,不等式組問題將會變得非常簡單.

    1.高曉兵.“遙望”交并問題[J].考試周刊,2011(25):82.

    2.江就好.例談用數(shù)形結(jié)合法解一類不等式組問題[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué),2011(06):20~21.

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