一道“高難度”中考壓軸題探析

☉湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部 陳金紅

一道“高難度”中考壓軸題探析

☉湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部 陳金紅

陳金紅，男，1968年生.中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，湖南省教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)會(huì)員.在 《中學(xué)數(shù)學(xué)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《中國數(shù)學(xué)教育》、《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》、《湖南教育·數(shù)學(xué)教師》、《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《數(shù)理天地》、《教育科學(xué)論壇》、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》發(fā)表數(shù)學(xué)教育教學(xué)專業(yè)論文數(shù)篇.曾榮獲湖南省常德市優(yōu)秀青年骨干教師稱號(hào)，在全國初中數(shù)學(xué)競賽中輔導(dǎo)學(xué)生數(shù)人次獲得全國一、二、三等獎(jiǎng)，多次榮獲全國初中數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀教練員稱號(hào).湖南省教育學(xué)會(huì)課題NH4—21主要參研員，多篇相關(guān)論文獲省級一、二等獎(jiǎng).主要研究方向：初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)、中考數(shù)學(xué)、初中數(shù)學(xué)競賽.

通觀2011年全國各地中考數(shù)學(xué)考試題，緊跟時(shí)代步伐，唱響時(shí)代旋律、反映社會(huì)風(fēng)貌的試題層出不窮，可謂精彩紛呈！本文僅就浙江湖州市第24題第3小問作一探析.

“如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn).P（0，m）是線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C除外），直線PM交AB的延長線于點(diǎn)D.

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)△ADP是等腰三角形時(shí)，求m的值；

（3）設(shè)過點(diǎn)P、M、B的拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）.當(dāng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng).請直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長（不寫解答過程）.

一、第3小問這道“高難度”題為何而“高”

首先出題者可謂良苦用心，“不寫解答過程，請直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長”.可猜呀！再就是公布的參考答案卻沒有過程；過程復(fù)雜，線路多，不如不寫，言外之意考考你，會(huì)嗎？！

二、如何解答？作如下探析

（1）過點(diǎn)P、M、B的拋物線，其中點(diǎn)M、B是定點(diǎn)，僅點(diǎn)P是有范圍運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn).又定點(diǎn)M、B的縱坐標(biāo)相同，均為2，故拋物線的對稱軸是線段MB的垂直平分線，即x=，始終不變.

（3）一般地，P點(diǎn)從線段OC上的點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)C除外）時(shí)，拋物線被x軸截得的線段長度逐漸增大，從而直線ME與x軸的銳角夾角∠MEO逐漸變小，于是由“過點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H”可知，∠HOE逐漸變大，（因Rt△OHE中兩銳角∠HEO、∠HOE互余?。┕视写棺鉎點(diǎn)逐漸“升高”的態(tài)勢！于是告知須找出點(diǎn)H的“開始”與“結(jié)束”的“兩端”位置！顯然點(diǎn)P在O點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生的垂足H是“開始”位置！

（5）最后重心落在點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑的“結(jié)束”點(diǎn)上：由⑷知，⊙O′上的點(diǎn)不全是H點(diǎn)，其中⊙O′與y軸的交點(diǎn)（見圖3）不能當(dāng)H，否則由∠OHM=90°?直線ME∥x軸（因∠yOx=90°），使得與“過點(diǎn)P、M、B的拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E”條件矛盾了！

三、簡評

第3小問本質(zhì)上是一個(gè)已移到高中再講的軌跡問題.本小題考察了拋物線、正方形與圓的基本知識(shí)、對稱性知識(shí)、弧長公式、圓周角與圓心角關(guān)系、直徑所對的圓周角是直角、勾股定理等知識(shí)；考查了運(yùn)動(dòng)與靜止、特殊與一般、猜想與分類、綜合與反證法等主要數(shù)學(xué)思想方法，是一道高水平的好壓軸題！

1.2011年全國各地中考數(shù)學(xué)試題.

2.2000年全國各地中考數(shù)學(xué)試題評析.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（初中）（雜志上多篇文章）.