全概率公式解題方法探究

聶紅科，范慧歆

(鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 450052)

全概率公式是概率論中一個(gè)重要的公式，也是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)。針對(duì)全概率公式，剖析其內(nèi)涵并將其推廣，后引入圖表法，數(shù)形結(jié)合地梳理各層次關(guān)系，使抽象的問(wèn)題直觀化、簡(jiǎn)單化、明了化，能有效解決較復(fù)雜問(wèn)題。

1 公式法

1.1 直接運(yùn)用全概率公式

定義1［1］設(shè) S為試驗(yàn) E的樣本空間，B1，B2，…，Bn為E的一組事件。若

則稱B1，B2，…，Bn為樣本空間S的一個(gè)劃分。

定理1［1］設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，…，Bn為 S 的一個(gè)劃分，且 P(Bi)＞0(i=1，2，…，n)，則

上式稱為全概率公式。

注1 全概率公式是在加法公式和乘法定理的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的，從定理1的表達(dá)中我們可以看出，P(A)實(shí)質(zhì)就是各條件概率P(A|Bi)的加權(quán)平均值，而各個(gè)條件事件Bi發(fā)生的概率P(Bi)就是權(quán)重。

注2 在具體運(yùn)用定理1的時(shí)候，如何選擇樣本空間S的劃分B1，B2，…，Bn顯得尤其重要。在選擇劃分的時(shí)候，一定要把產(chǎn)生結(jié)果的原因全找出來(lái)，不能遺漏，并且保證B1，B2，…，Bn為兩兩互不相容事件。選擇恰當(dāng)?shù)膭澐謱?huì)使計(jì)算大為簡(jiǎn)化，如果選擇不當(dāng)，將會(huì)影響計(jì)算，甚至導(dǎo)致錯(cuò)誤。這也是公式在運(yùn)用時(shí)的難點(diǎn)。

例1 設(shè)有來(lái)自一個(gè)地區(qū)的考生的報(bào)名表分別是10份，15份和25份，其中女生的報(bào)名表分別是3份，7份和5份，隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中抽出一份，求抽到的是女生表的概率。

分析 引起抽到女生表的所有原因是來(lái)自三個(gè)不同的考區(qū)都包含有女生，這構(gòu)成了樣本空間的一個(gè)劃分。顯然，由條件，各考區(qū)女生表的概率可求，可直接用全概率公式求解。

解:以事件A表示“抽出報(bào)名表是女生表”，事件Bi表示“報(bào)名表是第 i個(gè)考區(qū)的”(i=1，2，3)，則有

1.2 全概率公式的推廣

定理1的條件要求B1，B2，…，Bn為兩兩互不相容事件，但有時(shí)候，我們遇到的題目所得到的事件列并不滿足定理1的條件，下面給出一個(gè)更一般的結(jié)論。

推論1 設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，{Bn}為試驗(yàn)E中任意事件列，并且對(duì)一切n有P(Bn)＞0，∪n

證明:不妨設(shè) j＜ k，j，k=1，2，…，從而有 j≤k －1

例2 我軍甲、乙、丙三艘炮艇向同一敵艦射擊。設(shè)甲、乙、丙射中的概率分別為 0.3，0.5，0.8。又設(shè)甲擊中時(shí)敵艦沉沒(méi)的概率為0.7，甲擊不中乙擊中時(shí)敵艦沉沒(méi)的概率為0.4，只有丙擊中時(shí)敵般沉沒(méi)的概率為0.1，求敵艦沉沒(méi)的概率。

分析 對(duì)于目標(biāo)事件“敵艦沉沒(méi)”，雖然是由于“甲擊中”，“乙擊中”，“丙擊中”所引起的，但是這三個(gè)事件并不一定是不相容的。故不能直接用定理1，需要用推論1求解。

由題目可知:

在用公式法解題時(shí)，往往會(huì)一不小心就出錯(cuò)了，為了提高解題效率，下面給出圖表法。

2 圖表法

用公式法解題時(shí)，往往由于事件比較多，常常會(huì)有遺漏或在計(jì)算時(shí)分不清主次，弄不清楚哪些是條件事件以至于產(chǎn)生錯(cuò)誤。下面我們給出解此類題目的圖表法，也稱為概率樹(shù)法。它思路清晰，不容易出錯(cuò)，是數(shù)形結(jié)合的好方法，能很好地解決上面的問(wèn)題。

圖表法就是按事件發(fā)生的先后順序作出圖，它的形狀像一棵樹(shù)，有根、分支、節(jié)點(diǎn)和末梢，然后再按原途返回求解。見(jiàn)下圖所示:

圖表法主要是利用乘法原理，在上面樹(shù)形結(jié)構(gòu)中，在一整個(gè)分支上，從根到末梢，各事件發(fā)生的概率等于各段分支上概率的乘積。下面，我們就用圖表法給出例1和例2的解法。

例1 解法二:以事件A表示“抽出報(bào)名表是女生表”，事件Bi表示“報(bào)名表是第i個(gè)考區(qū)的”(i=1，2，3)，作出圖表

從上圖看出，最終抽到女生表的路徑有三條，把每條路徑的概率相乘再相加可得

例2 解法二:設(shè)表示事件“敵艦沉沒(méi)”

依題意作出樹(shù)形圖表

將圖中每條敵艦沉沒(méi)路徑的概率相乘再相加可得

注3 從上面的例子中我們可以體會(huì)到，圖表法思路更加清晰，解題更加方便，不容易出錯(cuò)，在具體應(yīng)用時(shí)可靈活運(yùn)用。當(dāng)層次分的越多越復(fù)雜時(shí)，圖表法更能顯示出它的優(yōu)越之處，但是，在使用時(shí)必須要注意:每一分支后的幾個(gè)事件必須是互不相容事件;從第一個(gè)節(jié)點(diǎn)之后，路徑中的概率均為條件概率。

［1］盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)量統(tǒng)計(jì)［M］.北京:高等教育出版社，2001，(12).

［2］魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］.北京:高等教育出版社，2005.