離散信號(hào)空間上的最小能量框架在升余弦脈沖信號(hào)上的去噪算法

謝映海，楊維，樊婷婷

(1.北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044；2.東南大學(xué) 移動(dòng)通信國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210096)

1 引言

小波分析[1～4]在數(shù)學(xué)理論和實(shí)際應(yīng)用中都有著十分重要的意義，特別是在信號(hào)處理領(lǐng)域上有著廣泛的應(yīng)用[5～10]。而在正交小波基礎(chǔ)上CHUI C K等[4]提出了最小能量（小波）框架的概念并研究了其性質(zhì)，它既可以利用小波理論對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析和處理，又克服了正交小波不能同時(shí)具備光滑性、緊支性、和對(duì)稱性的缺點(diǎn)，在信號(hào)處理領(lǐng)域上有著良好的應(yīng)用前景。

雖然從信息論角度出發(fā)，對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行離散化處理不可能取得比直接處理更好的結(jié)果。但隨著相關(guān)技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)漸漸在穩(wěn)定性，可程控性，集成規(guī)模等方面都比模擬信號(hào)處理有著較大優(yōu)勢(shì)，因此連續(xù)信號(hào)的離散化處理是信號(hào)處理領(lǐng)域中的一個(gè)總趨勢(shì)。

目前關(guān)于小波理論的研究大部分集中在連續(xù)信號(hào)空間上，為了把相關(guān)理論擴(kuò)展至離散信號(hào)處理領(lǐng)域，謝映海等[11]在連續(xù)信號(hào)空間的最小能量框架基礎(chǔ)上，首次給出離散信號(hào)空間上的最小能量框架的定義，并證明了它所具備的一些和連續(xù)信號(hào)空間上的最小能量框架相類似的優(yōu)良性質(zhì)；該文獻(xiàn)還針對(duì)數(shù)字通信系統(tǒng)中用來攜帶數(shù)字信息的矩形脈沖信號(hào)展開了去噪算法的研究，并獲得了較好的處理效果。

與矩形脈沖信號(hào)相比，升余弦脈沖信號(hào)的功率密度譜雖然具有較寬的主瓣，但拖尾衰減速度要快很多，在應(yīng)用中具有更高的實(shí)用價(jià)值。因此本文將在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，利用離散信號(hào)空間上的最小能量框架進(jìn)一步對(duì)這種類型的信號(hào)展開去噪算法的研究。對(duì)于所挑選的2組不同的最小能量框架，詳細(xì)地分析了抽樣離散化后的升余弦脈沖信號(hào)數(shù)列和加性高斯噪聲數(shù)列在這2組框架的各個(gè)子數(shù)列下的分解系數(shù)的各自統(tǒng)計(jì)特征，并根據(jù)它們呈現(xiàn)出來的明顯差異和閾值去噪算法的思想[12,13]，分別給出了其對(duì)應(yīng)的去噪算法。

比起傳統(tǒng)的直接對(duì)連續(xù)信號(hào)波形進(jìn)行處理的D4單小波閾值去噪算法[12]，這2個(gè)去噪算法的本質(zhì)都是連續(xù)接收信號(hào)的離散抽樣信號(hào)進(jìn)行分解，然后對(duì)分解子數(shù)列進(jìn)行一定的去噪處理后再重構(gòu)信號(hào)。使用具有一定冗余性的最小能量框架數(shù)列變換算法可以減少誤差，提高重構(gòu)精度，同時(shí)算法更有利于分離接收信號(hào)中的原始信號(hào)成分和噪聲成分，從而獲得比傳統(tǒng)的不具冗余性的正交小波變換算法更好的去噪效果。由于充分利用了接收信號(hào)的先驗(yàn)信息，本文提出的對(duì)接收信號(hào)的抽樣離散序列進(jìn)行去噪處理可以有效提高接收信號(hào)的輸出信噪比。而系統(tǒng)如果在接收機(jī)上增加了這樣的一個(gè)信號(hào)去噪的預(yù)處理環(huán)節(jié)，可以大幅度降低噪聲影響，減少解調(diào)的誤碼率，獲得較大的性能增益。理論分析和仿真結(jié)果表明，當(dāng)調(diào)制方式為BPSK且升余弦脈沖信號(hào)受加性高斯白噪聲的影響時(shí)，2個(gè)去噪算法在誤碼率上可以分別獲得約3.1dB和2.7dB左右的性能增益。

2 離散信號(hào)空間上的最小能量框架的基礎(chǔ)知識(shí)

本節(jié)主要介紹一下框架和文獻(xiàn)[11]給出的離散信號(hào)空間上的最小能量框架的一些基本性質(zhì)。

定義1 設(shè){xj:j∈J}是希爾伯特空間H上的一組元素，如果對(duì)于任意的元素f∈H，存在正數(shù)λ1和λ2，有

則稱{xj:j∈J}是H上的一個(gè)框架，λ1，λ2分別稱為框架的下、上框架界。而如果λ1=λ2=1，則稱框架是一個(gè)Parseval框架。而對(duì)于一個(gè)Parseval框架，有下列通用的分解和重構(gòu)公式：

定義2 設(shè)數(shù)列p[k]∈?2是一個(gè)數(shù)字低通濾波器的單位抽樣響應(yīng)，如果一數(shù)列組i=1,2,…,N對(duì)所有的整數(shù)j和l滿足下列條件：

最小能量框架不但可以使用Parseval框架的分解和重構(gòu)公式，而且也可以使用小波理論中特有的塔式分解和重構(gòu)算法，這為它們?cè)陔x散信號(hào)上的廣泛應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

其重構(gòu)算法如下：

及滿足分解前后的能量不變性等式：

注：由于可以利用分解公式對(duì)數(shù)列進(jìn)行逐層分解，因此數(shù)列[1,]jkc+的下標(biāo)第一個(gè)表示層數(shù)，第二個(gè)表示整數(shù)軸。

比起其他Parseval框架，離散信號(hào)空間上的最小能量框架的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就在于它可以使用塔式分解和重構(gòu)算法。從時(shí)域上看，塔式分解公式時(shí)可以看作是對(duì)離散信號(hào)在不同尺度下進(jìn)行逐層分解，通過分析各層的分解子信號(hào)的性質(zhì)來研究信號(hào)本身整體和局部的一些特征；從頻域上看，由于存在明確的重構(gòu)公式，最小能量框架可以看作是一個(gè)可準(zhǔn)確重建，由1N+個(gè)單位抽樣響應(yīng)分別為[]kp和:i=1,2,…,N 的數(shù)字濾波器組成的濾波器組，可從多個(gè)不同頻帶上對(duì)信號(hào)頻譜信息進(jìn)行分析處理。

3 離散信號(hào)空間上的最小能量框架在升余弦脈沖信號(hào)上的去噪應(yīng)用

在數(shù)字通信領(lǐng)域，脈沖寬度為T的矩形脈沖信號(hào)g1( t)=A(0≤t≤T )和升余弦脈沖信號(hào)是發(fā)射機(jī)比較常用的2種用來攜帶數(shù)字信息的基本信號(hào)類型。在頻譜方面，升余弦脈沖信號(hào)的譜函數(shù)雖然要比矩形脈沖信號(hào)的譜函數(shù)具有更寬的的主瓣，但拖尾的衰減速度無疑要快很多，因此具有更高的實(shí)用價(jià)值。

任何形式的信號(hào)在傳輸過程中不可避免的都會(huì)受到各種噪聲的污染，因此信號(hào)去噪一直是信號(hào)處理領(lǐng)域中的一個(gè)研究熱點(diǎn)。對(duì)采用升余弦脈沖的BPSK基帶信號(hào)s(t)而言，如果傳輸信道為加性高斯白噪聲信道，不失一般性，發(fā)送功率歸一化后接收信號(hào)r(t)可以表示為

其中，±分別代表數(shù)字信息0和1，u(t)是功率密度譜為2δ的高斯白噪聲的樣本函數(shù)。而檢測(cè)器將根據(jù)輸出向量的正負(fù)性來判決接收信號(hào)上的所攜帶的數(shù)字信息。

從頻帶角度上看，雖然接收信號(hào)受到了加性高斯白噪聲的污染，其在整個(gè)頻率范圍內(nèi)都具有平坦的功率密度譜，但假定接收端的信號(hào)和噪聲通過了一個(gè)理想的，帶寬足夠大的帶通濾波器，使得接收信號(hào)是一個(gè)帶限隨機(jī)信號(hào)。因此接收信號(hào)可以用一個(gè)非唯一，抽樣速率不低于其奈奎斯特速率的數(shù)字序列r[n]=s[n]+u[n]來表示。利用式（4）對(duì)r[n]進(jìn)行分解，有

對(duì)于式(8)，從頻域上看，各個(gè)子數(shù)列代表著接收信號(hào)數(shù)列通過不同濾波器后的濾波結(jié)果，因此濾波器如果具有線性相位，即框架實(shí)系數(shù)p[k]和(i=1,2,…,N)是中心對(duì)稱的或反對(duì)稱的，重構(gòu)過程就可以避免失真；而從時(shí)域上看，各個(gè)子數(shù)列代表著了對(duì)接收信號(hào)的局部信號(hào)數(shù)列進(jìn)行不同線性加權(quán)的結(jié)果。不同于一個(gè)波形周期內(nèi)矩形脈沖信號(hào)的恒幅度，升余弦脈沖信號(hào)的幅度是不斷變化的，因此如果系數(shù)p[k]和的長(zhǎng)度較長(zhǎng)，將使得加權(quán)過程所涉及到局部信號(hào)數(shù)過多，信號(hào)之間的相關(guān)性下降，導(dǎo)致分解效果降低，同時(shí)也大大提高了分解和重構(gòu)算法的計(jì)算復(fù)雜度。出于這種考慮，本文從眾多已經(jīng)構(gòu)造出來的最小能量框架中選用了下列2組[4]：

注：數(shù)列上的黑點(diǎn)表示零點(diǎn)位置。

應(yīng)用離散信號(hào)空間上最小能量框架進(jìn)行去噪的理論基礎(chǔ)就是先分析發(fā)送信號(hào)數(shù)列s[n]和噪聲數(shù)列u[n]在框架的各個(gè)子數(shù)列下的分解系數(shù)的不同統(tǒng)計(jì)特征，再根據(jù)這些特征的差異性制定一個(gè)具體算法來對(duì)其接收信號(hào)的分解系數(shù)進(jìn)行修正后重構(gòu)信號(hào)，從而去除噪聲的部分影響，盡量恢復(fù)原始信號(hào)。下面將基于上述2組最小能量框架分別給出其對(duì)應(yīng)的去噪算法。

3.1 基于式(9)的閾值去噪算法Ⅰ

接著產(chǎn)生一個(gè)長(zhǎng)度為100，均值為0，方差為1高斯噪聲序列u[n]，同樣對(duì)其進(jìn)行分解，也產(chǎn)生了3個(gè)點(diǎn)數(shù)為50的子數(shù)列，即和，具體情況如圖2所示。

比較圖1和圖2，可以清楚看出對(duì)s[n]而言，其子數(shù)列 c[n]基本反映s[n]的基本細(xì)節(jié)部分，承載了信號(hào)的大部分信息和能量，而d[n]，e[n]則都代表s[n]的高頻部分，2個(gè)子數(shù)列的絕對(duì)值大小和數(shù)列c[n]相比較，幾乎可以忽略不計(jì)；對(duì)高斯噪聲數(shù)列u[n]而言，由于其各點(diǎn)之間的不相關(guān)性，3個(gè)子數(shù)列的值仍然都表現(xiàn)出高斯噪聲的統(tǒng)計(jì)特征，且噪聲信號(hào)的能量均勻的分布在3個(gè)子數(shù)列上。而且在這組框架下，其他均值為 0，任意方差的高斯噪聲序列的分解子數(shù)列也均表現(xiàn)出了這種統(tǒng)計(jì)特性。

圖1 升余弦脈沖信號(hào)抽樣數(shù)列在式(9)下的分解

圖2 高斯白噪聲抽樣數(shù)列在式(9)下的分解

基于圖1和圖2的結(jié)果，在制定去噪算法時(shí)需要針對(duì)不同的子數(shù)列采用了不同的策略，以盡量保持原始信號(hào)成分和最大化地去除噪聲影響，達(dá)到最佳的去噪效果。對(duì)于加性高斯白噪聲，有如下的硬閾值函數(shù)[12,13]：

其中，ε是閾值，x是分解系數(shù)。

根據(jù)上述分析，在數(shù)字通信系統(tǒng)的接收機(jī)端增加了一個(gè)信號(hào)去噪的預(yù)處理環(huán)節(jié)，在解調(diào)器對(duì)受加性高斯白噪聲污染的二進(jìn)制升余弦脈沖信號(hào)進(jìn)行解調(diào)之前進(jìn)行信號(hào)去噪的預(yù)處理工作，其相關(guān)過程具體描述如下。

1) 原始設(shè)定：脈沖寬度為Tss，歸一化后發(fā)射功率恒定為1，且升余弦脈沖波形在信道傳輸過程中受到均值為0，方差為2δ的加性高斯白噪聲的影響。兩端同步后接收機(jī)對(duì)每個(gè)接收波形r(t), NTs≤t≤(N+1)Ts, N=0,1,…進(jìn)行抽樣間隔為Ts/100的等距抽樣且得到離散信號(hào)數(shù)列r[n]。

2) 信號(hào)預(yù)處理環(huán)節(jié)：

① 分解：

其中，p[k],,數(shù)值如式（9）所示。

② 去噪：對(duì)分解系數(shù)數(shù)列d[n]、e[n]、dc[n]和ec[n]而言，設(shè)定其閾值大小依次為εd=2.6× 10-2、εe=5.7× 10-4、εdc=1.8× 10-2和εec=4.0× 10-4。采用式（11）的硬閾值函數(shù)，即凡是絕對(duì)值小于這個(gè)閾值的點(diǎn)全部置零，依次得到4個(gè)新數(shù)列、、和。

③ 重構(gòu)：利用重構(gòu)式(6)對(duì)數(shù)列cc[n]、和進(jìn)行重構(gòu)得到一個(gè)新數(shù)列，再利用重構(gòu)公式對(duì)數(shù)列、和進(jìn)行重構(gòu)得到去噪后的新信號(hào)，根據(jù)抽樣定理的重構(gòu)公式，使用序列進(jìn)行重構(gòu)且得到信號(hào)波形( t)。

3.2 基于式(10)的閾值去噪算法Ⅱ

圖3 升余弦脈沖信號(hào)抽樣數(shù)列在式(10)下的分解

接著產(chǎn)生一個(gè)長(zhǎng)度為100，均值為0，方差為1高斯噪聲序列[n]，同樣對(duì)其進(jìn)行分解，也產(chǎn)生了4個(gè)點(diǎn)數(shù)為50的子數(shù)列，即、和，具體情況如圖4所示。

圖4 高斯白噪聲抽樣數(shù)列在式(10)下的分解

根據(jù)上述分析，同樣增加信號(hào)去噪的預(yù)處理環(huán)節(jié)，過程具體描述如下：

2) 信號(hào)預(yù)處理環(huán)節(jié)：

①分解：

③ 重構(gòu)：利用重構(gòu)式(5)對(duì)處理后數(shù)列進(jìn)行逐層重構(gòu)，最終得到去噪后的新信號(hào)，根據(jù)抽樣定理的重構(gòu)公式，使用序列進(jìn)行重構(gòu)且得到信號(hào)波形(t)。

最后解釋一下閾值及分解層數(shù)的設(shè)定問題：分析文獻(xiàn)[11]給出的關(guān)于矩形脈沖信號(hào)和高斯噪聲的分解效果圖可知，由于矩形脈沖的幅度恒定，因此在分解時(shí)其原始信號(hào)能量將絕大部分集中于第一個(gè)分解子數(shù)列中，因此閾值僅僅設(shè)定了一個(gè)；而升余弦信號(hào)由于幅度是變化的，因此原始信號(hào)能量的分布相對(duì)分散一些，因此需要針對(duì)不同子數(shù)列設(shè)定不同閾值。本文把閾值都設(shè)定在分解后各自子數(shù)列的最大絕對(duì)值上，這樣就可以在不損害原始信號(hào)成分的前提下盡量去除噪聲成分。而部分?jǐn)?shù)列因?yàn)榻^對(duì)值太小，為降低去噪算法的復(fù)雜度，因此在基本不影響效果的情況下就把它們直接置零處理；而在分解層數(shù)的選擇上，我們注意到，原始信號(hào)成分和噪聲成分得以分離的一個(gè)原因是由于信號(hào)數(shù)列值之間的局部較強(qiáng)相關(guān)性和噪聲數(shù)列值之間的不相關(guān)性，但隨著分解的進(jìn)行，這兩者都會(huì)受到一定的破壞。相關(guān)研究表明，當(dāng)分解層數(shù)大于2后，就基本上再難以分離原始信號(hào)成分與噪聲成分，因此這里把分解層數(shù)設(shè)定為2。

4 仿真結(jié)果

上節(jié)給出的2個(gè)去噪算法都充分利用了信號(hào)的先驗(yàn)信息，分析了原始信號(hào)和噪聲的分解子序列的各自統(tǒng)計(jì)特性，去噪時(shí)通過使用合適的閾值和直接歸零的方法，最大化去除噪聲對(duì)信號(hào)影響。以式（9）的去噪算法為例，圖5給出了其處理信號(hào)過程。

圖5 式(9)的去噪預(yù)處理環(huán)節(jié)

這里通過計(jì)算機(jī)仿真來驗(yàn)證這套算法的具體去噪效果，設(shè)發(fā)射機(jī)采用BPSK調(diào)制方式且采用脈沖寬度為1單位時(shí)間，發(fā)射功率為1的升余弦脈沖信號(hào)，信號(hào)s(t)在傳輸過程中受功率密度譜為2δ的高斯白噪聲的污染。

信號(hào)s(t)一共包含了610個(gè)脈沖信號(hào)，兩端同步后接收機(jī)對(duì)接收波形 r(t)進(jìn)行抽樣間隔為0.01的等距抽樣且得到離散信號(hào)數(shù)列 r[n]。利用上節(jié)給出的 2個(gè)去噪算法逐個(gè)對(duì)接收信號(hào)的每100個(gè)點(diǎn)的抽樣數(shù)列進(jìn)行去噪，處理后分別得到新信號(hào)r1[n]和r2[n]，把這 2個(gè)離散信號(hào)分別進(jìn)行數(shù)模轉(zhuǎn)換，最終得到了預(yù)處理后的模擬信號(hào)r1(t) 和r2(t) 。為更好地評(píng)價(jià)效果，這里也利用直接對(duì)連續(xù)信號(hào)波形進(jìn)行處理的 D4單小波閾值去噪算法對(duì)接收波形 r(t)進(jìn)行去噪處理，得到了信號(hào)r3(t)。假定接收信號(hào)的去噪過程都是在一個(gè)叫“去噪器”的黑箱子中完成的，則其輸入信號(hào)的信噪比和使用不同去噪算法去噪后的3個(gè)輸出信號(hào)的信噪比之間的關(guān)系曲線如圖 6所示。

圖6 不同去噪算法的去噪效果

離散空間上的最小能量框架在對(duì)接收信號(hào)的抽樣數(shù)列進(jìn)行分解時(shí)，去噪算法可以把把被污染的信號(hào)分解到多個(gè)子帶上，在充分利用先驗(yàn)信息的情況，可以有效分離和去除噪聲成分，因此利用式(9)和式(10)的最小能量框架都可以取得較好的去噪效果，且其效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的D4小波去噪算法。觀察圖6的結(jié)果，可以清楚看出對(duì)于受到加性高斯白噪聲影響的二進(jìn)制升余弦脈沖信號(hào)，去噪后部分噪聲能量從接收信號(hào)中被去除，從而使得處理后的信號(hào)的信噪比獲得提升。不管噪聲功率密度譜的大小，D4小波去噪算法可以獲得 1.8dB左右的信噪比指標(biāo)提升，基于式(11)的去噪算法的提升幅度為2.7dB左右，而基于式(10)的去噪算法的性能更好一些，提升幅度為3.1dB左右。究其原因，D4小波去噪時(shí)把信號(hào)分解成2個(gè)子數(shù)列時(shí)，原始信號(hào)成分和噪聲成分的分離程度明顯劣于后面兩者，因此去噪效果要差一些。而觀察圖1～圖4可以看出，式(9)分解時(shí)原始抽樣信號(hào)的能量絕大部分都集中在第 1個(gè)子數(shù)列上，而式(10)分解時(shí)原始信號(hào)的能量雖然大部分集中在第1個(gè)子數(shù)列，但第3和第 4個(gè)子數(shù)列上也占據(jù)了一定的份額，在噪聲能量在2個(gè)框架上分解時(shí)都是均勻分布的情況下，顯然式(9)的閾值去噪效果會(huì)比式(10)要好一些。

由此可見，如果接收機(jī)增加了一個(gè)簡(jiǎn)單的預(yù)處理環(huán)節(jié)，在發(fā)射功率沒有提高的情況下，進(jìn)入解調(diào)檢測(cè)環(huán)節(jié)的信號(hào)的信噪比可以大幅度提高，有效降低了信息傳輸?shù)恼`碼率，從而提高通信系統(tǒng)的整體性能。

5 結(jié)束語

本文利用了2個(gè)不同的離散信號(hào)空間上最小能量框架對(duì)升余弦脈沖信號(hào)展開去噪算法的研究。結(jié)果表明，如果利用本文所提供的2個(gè)去噪算法，在接收機(jī)端增加一個(gè)簡(jiǎn)單的去噪預(yù)處理環(huán)節(jié)，則可以改善數(shù)字通信系統(tǒng)的性能，獲得了較大的性能增益。這些工作和仿真結(jié)果表明離散信號(hào)空間上的最小能量框架在信號(hào)去噪領(lǐng)域上具備很好的應(yīng)用前景，值得做進(jìn)一步深入研究。

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