雙光子通道中任意初態(tài)原子比特周期量子回聲的調(diào)控

周并舉，劉小娟，詹杰，周仁龍

（湖南科技大學(xué) 物理學(xué)院，湖南 湘潭 411201）

1 引言

量子態(tài)是量子信息的載體。量子信息處理（量子通信和量子計(jì)算）是指以量子力學(xué)基本原理為基礎(chǔ)，通過對量子態(tài)的各種相干特性進(jìn)行計(jì)算、編碼和傳輸?shù)娜滦畔⑻幚矸绞剑谔岣哌\(yùn)算速度、確保信息安全、增大信息容量和提高檢測精度等方面可以突破現(xiàn)有的經(jīng)典信息系統(tǒng)的極限，成為研究熱點(diǎn)[1]。

二能級原子是雙量子態(tài)系統(tǒng)，稱為原子比特，是實(shí)現(xiàn)量子通信和量子計(jì)算的信息載體。如原子比特在量子通用邏輯門中得到實(shí)現(xiàn)[2]，如在不破壞其量子相干性的情況下，可能將飛行光比特所載信息傳送到靜止原子比特上，并在需要時(shí)成功讀取原子比特內(nèi)存儲的信息，這一技術(shù)將是未來量子信息處理中的重要組成部分[3]。

然而，原子比特、邏輯門等量子器件不可避免地會(huì)與環(huán)境相互作用，受到環(huán)境噪聲的影響。目前，研究表明，環(huán)境噪聲導(dǎo)致編碼的量子態(tài)從量子相干疊加態(tài)退化為經(jīng)典態(tài)，使原子比特消相干，給量子信息處理帶來錯(cuò)誤，嚴(yán)重阻礙了量子儲存器的規(guī)模化，是阻礙量子計(jì)算的主要因素[4]。因此，在存在環(huán)境噪聲條件下，量子通信的信息傳輸和量子計(jì)算的正常運(yùn)轉(zhuǎn)必然要考慮量子態(tài)的保真度問題[5]。保真度是量度量子態(tài)在外界干擾下回復(fù)的準(zhǔn)確性，而在外界擾動(dòng)下，保真度經(jīng)過周期T之后，完全回復(fù)到初值，稱之為量子態(tài)具有周期為T的量子回聲[6]，有著廣泛的應(yīng)用。如在核磁共振實(shí)驗(yàn)中，量子自旋回聲振幅的變化，是描述多體量子系統(tǒng)特性的有用工具[7]。獲得原子比特量子回聲成為量子信息領(lǐng)域中的重要任務(wù)。由于通常情況下，原子比特處于一種統(tǒng)計(jì)混合態(tài)，研究混合態(tài)原子比特的動(dòng)力學(xué)行為不僅具有更普遍意義[8,9]，而且對存在量子噪聲條件下的量子通信亦是十分重要的。由于雙光子微波激射器成功運(yùn)轉(zhuǎn)[10]和雙光子過程原子具有周期性量子力學(xué)通道的特性[11]，使雙光子通道成為量子通信中正確傳遞量子信息的重要工具, 成為人們深入研究的熱點(diǎn)。

本文選取相干光場作為原子比特的噪聲環(huán)境，研究雙光子通道中具有任意初態(tài)（純態(tài)和混合態(tài)）原子比特保真度的時(shí)間演化，探索原子比特量子回聲的產(chǎn)生條件。分別考察原子比特初態(tài)和環(huán)境參數(shù)對量子回聲形成的影響，獲得調(diào)控原子比特量子回聲的參數(shù)，并揭示其物理實(shí)質(zhì)。我們的研究結(jié)果對于存在環(huán)境噪聲條件下，運(yùn)用雙光子通道中原子比特實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)量子信息和量子計(jì)算是十分重要的。

2 理論模型及密度算符

考慮一個(gè)原子比特與單模輻射場相互作用雙光子過程的量子系統(tǒng)。在旋波近似下，系統(tǒng)的哈密頓量表示為[9]

其中，a+、a是頻率為ω的場模的產(chǎn)生和湮滅算符，SZ和S±分別為原子的反轉(zhuǎn)和躍遷算符，ω0為原子的躍遷頻率，g為原子和輻射場的耦合系數(shù)，考慮共振情況即 ω =ω0。

由相互作用哈密頓量HI決定的系統(tǒng)時(shí)間演化Dyson算符即為雙光子通道：

其中

設(shè)光場初始處于相干態(tài)：

如果原子比特初始為激發(fā)態(tài)和基態(tài)任意疊加純態(tài)，則任意時(shí)刻，雙光子通道中原子比特約化密度算符可以寫為式(8)。

其中，?是原子比特分布角，φ是它的偶極位相，文計(jì)算中取0π?≤≤，02πφ≤≤。

其中，全系統(tǒng)（光場+原子比特）初始密度矩陣：

而 ρf(0)和ρa(bǔ)(0)分別為光場和原子比特初始密度矩陣。則 ρa(bǔ)(t )的矩陣元為

若考慮原子比特初始處于任意混合態(tài)

其中，E1=|-＞＜-|表示基態(tài)，E2=|+＞＜+|為激發(fā)態(tài)。χi為原子比特處于態(tài)Ei（i=1,2）的概率，且χ1+χ2=1，則在任意時(shí)刻t＞0，原子的約化密度算符可以寫為

利用式(11)～式(17)，可以根據(jù)原子比特和光場的初態(tài)分布情況，研究原子比特（量子）態(tài)保真度，探討原子比特量子回聲產(chǎn)生的條件。

3 保真度及周期量子回聲

3.1 保真度的定義

為了描述輸入量子態(tài)ρ(0)(初態(tài))和輸出量子態(tài)ρ(t )(終態(tài))的偏差程度，人們引入量子態(tài)保真度，其定義為[5]

F( t)取值范圍在0～1之間，當(dāng)F( t)=0時(shí)，量子態(tài)的初態(tài)和末態(tài)相互正交，表示信息在傳輸過程中完全失真；當(dāng)F( t)=1時(shí)，初態(tài)和末態(tài)完全相同，表示信息理想傳輸過程。一般情況下，0＜F( t)＜1，表示初態(tài)和末態(tài)部分重疊，信息在傳輸過程中存在失真現(xiàn)象。

這樣，由式（7）表達(dá)的原子初始純態(tài)，原子比特態(tài)保真度表達(dá)式為

而式(14)表達(dá)的原子比特初始處于任意混合態(tài)時(shí)，原子比特態(tài)保真度表達(dá)式為

3.2 周期量子回聲

當(dāng)原子比特態(tài)保真度滿足以下等式

Fa( t)=Fa( t+nT),n =0,1,2,…時(shí)，

且

關(guān)系成立時(shí)，稱為原子比特產(chǎn)生了周期為T的量子回聲。

4 數(shù)值討論

在第3節(jié)的基礎(chǔ)上，本節(jié)分別討論不同原子比特初態(tài)和光場（環(huán)境）參數(shù)對原子比特態(tài)保真度的影響，研究量子回聲產(chǎn)生和控制。

首先，考察原子比特初態(tài)參數(shù)變化的影響。取環(huán)境參數(shù)確定，即取光場平均光子數(shù)=36，位相角β=0。

4.1 原子比特初始處于任意純態(tài)

圖1表明了原子比特初始的分布角θ從0→π/4→π/2變化時(shí)，原子比特態(tài)保真度Fa( t)的時(shí)間演化。顯然，F(xiàn)a( t)呈周期性變化。

由圖1(a)看出，原子比特初始處于非相干純態(tài)（激發(fā)態(tài)）時(shí)，在t=nπ(n=0,1,2,…)時(shí)刻附近，F(xiàn)a( t)幾乎在0～1之間振蕩，在其余時(shí)間保持值0.5。隨著原子分布角θ增大，θ→π/4，在t=nπ(n=0,1,2,…)時(shí)刻，F(xiàn)a( t)的最小值增大，而在其余區(qū)間，隨時(shí)間呈余弦函數(shù)形演化，如圖1(b)所示。

這些規(guī)律源于式(19)。首先，當(dāng)θ=0,Fa( t)只有第一項(xiàng)：即

其中，

圖1 原子比特態(tài)保真度時(shí)間演化(=36,β=0)

特別地，當(dāng)π/2θ=時(shí)，由式(7)可知原子比特初始處于等概率疊加態(tài)，即

保真度隨時(shí)間作余弦周期演化，如圖1(c)所示。在t=nπ(n=0,1,2…)時(shí)刻，F(xiàn)a( t)達(dá)到最大值1，而在t=nπ/2(n =0,1,2…)時(shí)刻，F(xiàn)a( t)為0。顯然滿足

Fa( t)=Fa( t+nπ )，t=π,n=0,1,2…

并且有

成立。這表明原子比特產(chǎn)生了具有周期為π的量子回聲。其物理實(shí)質(zhì)分析如下。

因與式(15)～式(17)決定的原子比特約化密度算符對應(yīng)的本征矢分別為[12]

其中

對應(yīng)的本征值表示為[11]

根據(jù)Schmidt分解定理[12]，可把全系統(tǒng)任意時(shí)刻的態(tài)矢表示為

將參數(shù)θ=π/2,t=nπ(n=0,1,2…)代入式(25)和式(26)，得π+=1,π-=0,δ=0,ξ=0。顯然，式(29)化為，這正是原子比特與光場完全退糾纏的直積態(tài)。而原子比特演化到態(tài)，這正是原子比特初態(tài)式(24)。因此，原子比特產(chǎn)生周期為π的量子回聲，物理實(shí)質(zhì)是原子比特與環(huán)境完全退糾纏。

而在t=nπ/2(n=0,1,2,…)時(shí)刻，π+=π-=1/2，原子與場處于最大糾纏態(tài)（EPR態(tài)），原子比特處于完全失真的混合態(tài)，保真度為0，與數(shù)值計(jì)算結(jié)果完全一致。

4.2 原子初始為混合態(tài)

圖2展示了原子比特初始處于混合態(tài)的情況。

定義η=|χ1-χ2|，即原子比特態(tài)概率差，與原子比特混合度成反比。當(dāng)η=1(χ1, χ2=0or1)，原子比特初始處于純態(tài)（基態(tài)或激發(fā)態(tài)），混合度為0；η=0(χ1=χ2=1/2)，原子比 特初始處于最大混合態(tài)；0＜η＜1，原子比特處于一般混合態(tài)。

圖2(a)表明了η=1時(shí)Fa( t)的演化，與圖1(a)完全一致。圖2(b)表明了η=0.4時(shí)Fa( t)的演化，與圖2(a)相比較，演化周期相同，但振幅變??；圖2(c)表明了η=0原子比特初始處于最大混合態(tài)保真度演化，此時(shí)，保真度為定值Fa( t)=0.5。

這些結(jié)果源于：當(dāng)η=1(χ1=0,χ2=1)，代入式(20)，保真度表達(dá)式為

與式(19)完全相同，故圖1(a)與圖2(a)演化曲線一致。當(dāng)01,η＜＜保真度由直流成分1χ和交流成分(χ1-χ2)ρ222部分組成，F(xiàn)a(t)的周期不變，但幅度受原子的混合度調(diào)制，隨混合度的增加幅度減小，因此0＜Fa(t)＜1。當(dāng)η=0(χ2=χ1=0.5), Fa(t)的交流成分消失，只有直流成分χ1起作用，因此，F(xiàn)a( t)取穩(wěn)定值0.5，如圖2(c)所示。

下面，考察環(huán)境Fa(t)的影響，即調(diào)節(jié)光場參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對原子比特周期量子回聲的控制。選取原子初始為最大的相干態(tài)(θ=π/2)。

4.3 光場平均光子數(shù)的調(diào)節(jié)

4.4 光場位相的調(diào)節(jié)

圖4表明，光場位相角β從0→π/4→π/2,原子比特周期量子回聲產(chǎn)生平移。β增加π/2時(shí)，與β=0時(shí)一致。表明光場位相可以調(diào)控原子比特量子回聲的位相，使之產(chǎn)生平移。

圖2 原子比特態(tài)保真度時(shí)間演化(=36,β=0)

圖3 原子比特態(tài)保真度時(shí)間演化(θ=π/2,β=0)

圖4 原子比特態(tài)保真度時(shí)間演化(θ= π /2,= 3 6)

5 結(jié)束語

本文運(yùn)用全量子理論，研究了相干光場為環(huán)境下的雙光子通道中任意初態(tài)原子比特的量子態(tài)保真度的演化, 探討了原子比特周期量子回聲的產(chǎn)生與調(diào)控。結(jié)果表明如下：1) 在光場參數(shù)一定的情況下，原子比特態(tài)保真度呈周期性演化，選擇原子比特初始處于最大相干純態(tài)(π/2θ=)，產(chǎn)生周期量子回聲，其物理實(shí)質(zhì)是原子比特與光場完全退糾纏；2) 原子比特初始處于任意混合態(tài)時(shí)，原子比特態(tài)保真度振幅受混合度調(diào)制，不出現(xiàn)周期量子回聲；3) 光場平均光子對原子比特量子回聲振幅產(chǎn)生非線性影響，控制平均光子數(shù)在 36～60左右，可以獲得穩(wěn)定的原子比特周期量子回聲；4) 調(diào)節(jié)光場位相角β，可控制原子比特量子周期回聲的位相，使之產(chǎn)生平移。

以上結(jié)果對于應(yīng)用雙光子通道中原子比特量子回聲的實(shí)現(xiàn)量子信息處理有著重要意義。

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