單模真空場－耦合雙原子系統(tǒng)的量子保真度演化

王冬艷，成 彬，楊亞輝

（1.河北省科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，河北 石家莊 050081；2.河北省信息安全認證工程技術(shù)研究中心；3.河北華燁冀科信息技術(shù)有限責(zé)任公司，河北 石家莊 050081；4.河北省機電一體化中試基地，河北 石家莊 050081）

保真度是量子信息科學(xué)領(lǐng)域中的一個重要概念，是表示信息在傳輸中保持初狀態(tài)的程度，直接表征了信息的通訊質(zhì)量［1］。近年來對保真度的研究已成為量子信息領(lǐng)域中的熱門課題，如純態(tài)編碼中的保真度，量子信息和量子隱性傳態(tài)理論中的保真度等［2－6］。本文討論研究單模真空場－耦合雙原子系統(tǒng)的量子保真度演化規(guī)律。

1 模型

兩個等同雙能級原子之間存在偶極－偶極相互作用，在旋轉(zhuǎn)波近似下，單模真空場與兩個雙能級原子與單光子發(fā)生共振，系統(tǒng)哈密頓量可表示為［7］

式中：α＋和α分別表示單模真空場的光子產(chǎn)生算符和湮滅算符；，（i＝1，2）表示原子的贗自旋算符；ga表示兩等同雙能級原子間偶極－偶極相互作用的耦合強度；g表示場—原子間的耦合強度。

假設(shè)初始時刻，兩等同耦合雙能級原子處于｜g1，g2〉和｜e1，e2〉的相干疊加態(tài)

上式中，｜g1，g2〉表示兩等同雙能級原子都處于能級最低態(tài)—基態(tài)；｜e1，e2〉表示兩等同雙能級原子均處于激發(fā)態(tài)。

若初始時刻，光場處在單模真空態(tài)｜Ψf（0）〉＝｜0〉，則該系統(tǒng)的在初始時刻的態(tài)矢可表示為

于是，在t＞0的任意時刻，上述場－原子相互作用系統(tǒng)的狀態(tài)演化為［7］

通過求解薛定諤方程，可得到各系數(shù)的解析表達式為

式中

由上可得系統(tǒng)的總的密度算符為

為描述量子態(tài)在傳輸過程中初態(tài)和末態(tài)的偏差程度，引入保真度的概念，其定義為［8］：

式中，ρ1和ρ2分別為源信息和目的信息所對應(yīng)的態(tài)密度算符。

由上面各式可計算得到保真度表達式，整個系統(tǒng)的保真度

原子系統(tǒng)的保真度

光場的保真度

2 保真度演化及分析

據(jù)上面計算得出的保真度表達式，通過模擬得出系統(tǒng)、光場和原子的保真度隨時間的演化曲線如下圖所示（其中F表示系統(tǒng)的保真度，F(xiàn)f表示光場的保真度，F(xiàn)a表示原子的保真度）。圖形中，縱坐標為保真度，橫坐標表示為時間。

圖1 θ＝π/6，g＝0.4時，ga取不同值時系統(tǒng)F、原子Fa、光場Ff保真度隨時間的演化曲線

由圖1可看出，系統(tǒng)、光場和原子的保真度演化都具有相似的周期性規(guī)律。原子的保真度較高，其最小值要比系統(tǒng)和光場的保真度最小值高。當ga的值較小時，即兩原子間偶極－偶極相互作用的耦合強度較弱時，三體系的保真度均表現(xiàn)出規(guī)則的周期性，原子系統(tǒng)的保真性能稍好于系統(tǒng)和光場的保真性能。隨著ga的值增大，即兩原子間相互作用開始增強時，如圖b中，可以看到一個很有趣的現(xiàn)象，保真度的演化規(guī)律呈現(xiàn)崩潰－回復(fù)特征。保真度演化為非等幅振蕩，每隔兩個小幅振蕩后就有一個大幅振蕩。保真度的變化周期明顯變大，三體系的保真度稍有提高，分析其原因，由于兩原子之間偶極－偶極相互作用的耦合強度變大，將會導(dǎo)致原子與光場相互作用減弱，所以體系的保真度增大。

圖2 g＝0.2，ga＝0.5gθ時，θ取不同值時系統(tǒng)F、原子Fa、光場Ff保真度隨時間的演化曲線

由圖2可以看出，系統(tǒng)、光場和原子的保真度具有周期性，系統(tǒng)的保真度最小，原子的保真度最大。當θ較小時，即兩原子處于基態(tài)的概率增大時，如圖a所示，三體系的保真度演化曲線均呈現(xiàn)規(guī)則的周期性，隨著θ數(shù)值增大，如圖b所示，三體系的保真度演化曲線周期變小，保真度數(shù)值略有增大。分析其原因，當θ增大時，兩個原子處在基態(tài)的幾率增大，因為基態(tài)為最低能級，所以原子和光場的作用要減弱，故系統(tǒng)保持原有狀態(tài)的程度要高，所以保真度增大。

圖3 θ＝π/3，ga＝0.01g g時，g取不同值時系統(tǒng)F、原子Fa、光場Ff保真度隨時間的演化曲線

從上圖可以看出，三體系的保真度的演化曲線都具有規(guī)則的周期性。當g的取值增大時，即原子和光場的耦合強度增強，系統(tǒng)、原子和光場的保真度演化曲線周期均減小，并且保真度的數(shù)值減小。分析其原因，隨著g取值的增大，原子和光場的相互作用增強，致使三體系在演化過程中保持原有狀態(tài)的程度降低，故保真度均減小。

3 總結(jié)

本文利用了全量子理論，研究了單模真空場與偶極－偶極耦合的兩等同雙能級原子相互作用系統(tǒng)中保真度的演化規(guī)律。結(jié)果表明，系統(tǒng)、原子和光場的保真度呈現(xiàn)相似的演化規(guī)律。原子與原子之間偶極相互作用的耦合系數(shù)、原子和光場之間的耦合系數(shù)以及初態(tài)時兩個原子均處于基態(tài)的概率影響著保真度的演化。當原子與原子之間偶極相互作用增大時，整個體系的保真度增大，并且演化曲線出現(xiàn)崩潰－回復(fù)特征；當原子和光場之間的耦合系數(shù)增大時，整個體系的保真度減小，并且演化曲線的周期明顯變??；當初態(tài)兩原子均處在基態(tài)的概率增大時，整個體系的保真度增大。

［1］胡冬梅，冉揚強，黃小春.原子與雙光場耦合系統(tǒng)量子信息保真度研究［A］.重慶工商大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）2007，24（2）：114－147.

［2］郭光燦.量子信息技術(shù) ［A］.重慶郵電大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）2010，（5）：521－525.

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［8］Quantum pathology of static internal imperfections in flawed quantum computers［A］.physics letters，J.PHYSLETA.2007，3－4（370）：207－212.