一類含毒素功能性反應(yīng)的捕食系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

朱慧穎，沈莉莉，趙維銳

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430070)

自20世紀(jì)80年代以來(lái)，不少學(xué)者開(kāi)始對(duì)毒素在植物－食草動(dòng)物系統(tǒng)的作用以及毒素對(duì)個(gè)體生長(zhǎng)模型的影響進(jìn)行研究。但遺憾的是這些模型中都沒(méi)有涉及到對(duì)時(shí)滯的討論。為了能夠更好地研究動(dòng)植物系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，筆者在充分考慮消耗的植物量轉(zhuǎn)換成新的動(dòng)物量的時(shí)間滯后性的前提下，構(gòu)造了新的植物－食草動(dòng)物模型，并分析了該系統(tǒng)的一系列動(dòng)力學(xué)性態(tài)。

1 模型建立

為了刻畫(huà)植物毒素對(duì)食草動(dòng)物的影響，馮芷蘭等在傳統(tǒng)的Holling－II型[1－3]功能性反應(yīng)中加入了毒素對(duì)食草動(dòng)物成長(zhǎng)影響的功能性反應(yīng):

則原來(lái)的植物－食草動(dòng)物系統(tǒng)變?yōu)?

其中:r為植物的內(nèi)稟增長(zhǎng)率;K為環(huán)境容納率;B為被消耗的植物量轉(zhuǎn)換成新的動(dòng)物量的轉(zhuǎn)換率(食草動(dòng)物通過(guò)對(duì)植物的覓食獲得增長(zhǎng)和繁殖);d為食草動(dòng)物的死亡率，該死亡率與植物毒素?zé)o關(guān);G=M/(4T);M為單位時(shí)間內(nèi)食草動(dòng)物能忍受的最大毒素量;T為單位植物所含的毒素量。因此，G的值越小，食草動(dòng)物受到毒素的影響就越大。

同時(shí)式(1)和式(2)的建立基于這樣一個(gè)假設(shè):食草動(dòng)物在吞食植物后，立刻獲得增長(zhǎng)和繁殖。這顯然是不符合實(shí)際的，在現(xiàn)實(shí)中食草動(dòng)物通過(guò)覓食實(shí)現(xiàn)增長(zhǎng)和繁殖是需要一定時(shí)間的。為了分析這一段時(shí)間對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性[4]的影響，引進(jìn)滯量τ，對(duì)原系統(tǒng)做如下改變:

式(3)假設(shè)食草動(dòng)物能控制自己的消化率，當(dāng)植物密度足夠大時(shí)，食草動(dòng)物就會(huì)減少對(duì)植物的消化量。故設(shè)定一個(gè)閾值Nm:當(dāng)植物量N不高于閾值Nm時(shí)，食草動(dòng)物的消化率為常數(shù);當(dāng)植物量N超過(guò)閾值Nm時(shí)，食草動(dòng)物的消化率就是植物量N的遞減函數(shù)。

對(duì)于這種情況，可以假設(shè):

式中，σ0＞0為一個(gè)常量。σ是N的函數(shù)，為食草動(dòng)物的消化率。在對(duì)σ(N)做了如上假設(shè)之后，C(N)也發(fā)生了變化，故不妨假設(shè):

為了便于討論，引進(jìn)記號(hào)g1(N)，令:

則可將式(3)改寫(xiě)成:

2 系統(tǒng)的一致持久性

為證明主要定理，先引進(jìn)如下引理:

引理1系統(tǒng)滿足初值條件:N(t)=φ1(t)＞0，P(t)=φ2(t) ＞0，t∈[－τ，0]的所有解在 t＞0上均為正。

證明首先證明N(t)在t＞0上大于零。由式(7) 可得:。e為食草動(dòng)物的覓食率，其大小取決于捕食者即食草動(dòng)物的移動(dòng)速度以及其能偵測(cè)到的食餌的分布區(qū)域的半徑大小。由于φ1(0)＞0，顯然當(dāng)t＞0時(shí)，N(t)恒為正。

下面證明P(t)在t＞0上大于零。假設(shè)存在t∈(0，+∞)，使得 P(t) ＜0。由于在[－ τ，0]上P(t)=φ2(t)＞0，因此0，顯然P'(t1)≤0。由式(7)知:

則N(t1－τ) ＞0，P(t1－τ) ＞0，從而 P'(t1) ＞0與P'(t1)≤0矛盾。因此當(dāng)t∈(0，+∞)，P(t) ＞0。

引理2式(7)在總是點(diǎn)耗散的。

證明由式(7)的第1式知:，由于方程滿足初始值為u(0)=u0的解為則由比較定理知:于是

下面證明存在M2＞0，使得P(t)≤M2。

令 W(t)=BN(t)+P(t+τ)，由式(7)可得:

進(jìn)一步引進(jìn)如下引理:

考慮一個(gè)度量為d的度量空間X，T為X上的一個(gè)連續(xù)半流，即:T0(x)=x，x∈X;Tt+s=TtTs，t，s≥0。Tt(x)關(guān)于 t和 x連續(xù)，集合X中的點(diǎn) x到集合X的子集Y的距離記作記過(guò)x的正半軌線極限集為B是緊的不變集，定義WS(B)為B的穩(wěn)定集:;將定義為

假設(shè)1假設(shè)X為開(kāi)集X0的閉包，?X0為X0的非空邊界。T(t)為定義在X上的半群滿足:T(t):X0→X0，T(t):?X0→?X0。

引理3若T(t)符合假設(shè)1且滿足:

(1)存在t0≥0，使得T(t)在t＞t0時(shí)是緊的;

(2)T(t)在X上是點(diǎn)耗散的;

則T(t)是一致持久的，當(dāng)且僅當(dāng)每一個(gè)Mi∈M 時(shí)，WS(Mi)∩X0=φ。

該引理的證明見(jiàn)文獻(xiàn)[5－6]。

關(guān)于式(7)的持久性，有如下結(jié)果:

定理1式(7)是一致持久的，如果a0＞d，其中h 為捕食者對(duì)每一份食餌的掌控時(shí)間，即食草動(dòng)物消化每一份食物所需要的時(shí)間。

證明由引理2可知，存在K1＞0，K2＞0，使得式(7)的所有解[N(t)，P(t)]均滿足:0≤N(t)≤K1，0≤P(t)≤K2，從而系統(tǒng)相空間 X 是一個(gè)定義在[－ τ，0]上，取值在[0，K1]×[0，K2]的正錐，記為 C[[－ τ，0]，K1]× C[[－ τ，0]，K2]。再由引理1知:正錐X是一個(gè)不變集。對(duì)于任意一對(duì)初始函數(shù)(φ，φ)∈X，令 X(t，φ，φ)為式(7)的解，并記 T(t)(φ，φ)(θ)=[N(t+ θ，φ，φ)，P(t+θ，φ，φ)]，－ τ≤ θ≤0，T(t):X →X，則滿足:首先 T(t)是連續(xù)的，其次對(duì)于N(t)≤M1，P(t)≤M2，都有故 T(t)在t≥τ上是全連續(xù)的，從而T(t)在t≥τ上是緊的。因此引理3的條件(1)滿足，又由引理2可知條件(2)也是滿足的。

定義 C+([－ τ，0]，R2+)為所有[－ τ，0]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)的集合，并記:

記 C=C1∪C2，X=C+([－ τ，0]，R2+)，X0=intC+([－ τ，0]，R2+)，則 C= ?X0，故式(7)有兩個(gè)常數(shù)解E0，EK:

以下證明 WS(Ei)∩X0=φ，i=0，K。

先證WS(E0)∩X0=φ。假設(shè)WS(E0)∩X0≠φ，即存在 N(t) ＞0，P(t) ＞0，使得limt→∞[N(t)，P(t)]=(0，0)。由式(7)的第一個(gè)方程可以得到:

接著證明 WS(EK)∩X0=φ。同樣假設(shè)WS(EK)∩X0≠φ，即存在 N(t) ＞0，P(t) ＞0，使得，則對(duì)任意小的正數(shù) ε:

使得N(t)＞K－ε，P(t)＜ε。其中a0=B·故由式(7)可得:存在T=T(ε)，使得:

考慮系統(tǒng):

綜上所述，式(7)滿足引理3的所有條件，則式(7)是一致持久的。

3 正平衡點(diǎn)的全局吸引性

假設(shè)τ=0，即考慮不含時(shí)滯的系統(tǒng)，則:

定義1如果式(9)的任意一個(gè)正解[N(t)，P(t)]滿足:則稱式(9)的正平衡點(diǎn)(N*，P*)是全局吸引的

。

定理2如果 r/K＞I1，a0＞d＞I2，則式(9)的正平衡點(diǎn)(N*，P*)是全局吸引[8]的。

證明設(shè)[N1(t)，P1(t)]是式(9)的任意一個(gè)正解，則由引理2可知，存在 t*，M≥m＞0，使得當(dāng)t＞t*時(shí)，有 m≤Ni(t)≤M，m≤Pi(t)≤M，i=1，2。 定 義 Lyapunov 函 數(shù) V(t) =沿著式(7)的解計(jì)算V(t)的Dini導(dǎo)數(shù):

其中，α=min{I1，I2}，對(duì)上述不等式兩端從

t*到t進(jìn)行積分，可得:

因此，當(dāng)t＞t*時(shí)有:

故式(9)的正平衡點(diǎn)是全局吸引的。

4 結(jié)論

通過(guò)在模型中引入消耗的植物量轉(zhuǎn)換成新的動(dòng)物量的時(shí)滯，對(duì)系統(tǒng)的一致持久性、平衡點(diǎn)的全局吸引性進(jìn)行了討論，由定理1知，當(dāng)a0＞d時(shí)，這里，式(7)是一致持久的。這表明食餌量達(dá)到頂峰狀態(tài)時(shí)，捕食者的出生率大于其死亡率是捕食者和食餌一致持續(xù)共存的充分條件。

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