基于刀具空間包圍體算法的數(shù)控切削仿真

李 楊，王子牛，王 彥，梁 佳

（1.貴州大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息學(xué)院，貴州 貴陽(yáng)550025；2.貴州大學(xué) 信息網(wǎng)絡(luò)中心，貴州 貴陽(yáng)550025）

0 引 言

多軸數(shù)控切削仿真的過(guò)程可以分解為刀具運(yùn)動(dòng)軌跡的計(jì)算，刀具運(yùn)動(dòng)軌跡與工件模型的切削判斷計(jì)算，以及工件模型的更新顯示計(jì)算3個(gè)部分。在刀具運(yùn)動(dòng)軌跡計(jì)算方面，國(guó)內(nèi)外所做的研究有刀具掃掠體構(gòu)造法［1－3］、刀具掃掠體的快速分解法［4］、刀具掃掠體精確計(jì)算法［5］、基于雙參數(shù)球族的包絡(luò)面法［6］等；在切削判斷計(jì)算方面，常用的方法是將工件模型的射線組與刀具運(yùn)動(dòng)所形成的掃掠體進(jìn)行求交計(jì)算［7］，也有采用由刀具掃掠體所構(gòu)造的掃掠面與工件模型上的不規(guī)則表面進(jìn)行曲面之間的求交計(jì)算［8－9］，同時(shí)還有基于空間分解的思想將工件模型離散為三角網(wǎng)格進(jìn)行求交計(jì)算的方法［10］；然而采用基于掃掠體的方法對(duì)刀具運(yùn)動(dòng)的軌跡進(jìn)行計(jì)算存在以下兩點(diǎn)不足：①刀具掃掠體臨界面模型的建立依賴于刀具的外形，所以復(fù)雜刀具模型的臨界面計(jì)算比較耗時(shí)［11－12］；②刀具掃掠體與工件模型射線組之間的求交計(jì)算過(guò)于繁瑣，并且對(duì)求交計(jì)算的范圍缺乏有效、準(zhǔn)確的判斷，尤其是在對(duì)復(fù)雜曲面的求交計(jì)算上會(huì)耗費(fèi)大量的運(yùn)算時(shí)間［13］，直接影響了仿真的效率。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了一種用于判斷刀具在空間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否與工件模型發(fā)生切削的有效計(jì)算方法，該方法不僅可以避免刀具掃掠體的復(fù)雜計(jì)算過(guò)程，而且還能降低刀具與工件模型之間的無(wú)效切削計(jì)算次數(shù)；此外，該算法思想可適用于所有可以通過(guò)母線方程來(lái)確定刀具旋轉(zhuǎn)體［14］的不規(guī)則刀具，并且在實(shí)時(shí)仿真和干涉檢測(cè)領(lǐng)域還存在著重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。

1 刀具空間運(yùn)動(dòng)情況分析

基于本文所提出的算法模型，可將五軸數(shù)控仿真中的刀具運(yùn)動(dòng)分為特殊運(yùn)動(dòng)和一般運(yùn)動(dòng)兩種情況，其中特殊運(yùn)動(dòng)主要是指刀具在空間中的垂直運(yùn)動(dòng)，即垂直于XOY平面的運(yùn)動(dòng)、垂直于XOZ平面的運(yùn)動(dòng)以及垂直于YOZ平面的運(yùn)動(dòng)；一般運(yùn)動(dòng)主要是指刀具在空間中平移加旋轉(zhuǎn)的組合運(yùn)動(dòng)。

通過(guò)對(duì)刀具運(yùn)動(dòng)情況的分析，現(xiàn)將刀具在特殊運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下各種垂直運(yùn)動(dòng)的情況進(jìn)行圖形描述，如圖1中的圖1（a）～圖1 （c）所示。

圖1 刀具在特殊運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的各種垂直瞬時(shí)情況

相對(duì)于刀具在特殊狀態(tài)下的垂直運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，刀具在一般狀態(tài)下的自由運(yùn)動(dòng)，即平移和旋轉(zhuǎn)的組合運(yùn)動(dòng)具有任意性，其運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)狀態(tài)如圖2所示。

圖2 刀具在一般運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的瞬時(shí)情況

2 刀具空間包圍體的計(jì)算

經(jīng)過(guò)對(duì)刀具空間運(yùn)動(dòng)情況的分析，可對(duì)刀具在兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的空間包圍體進(jìn)行計(jì)算。

2.1 特殊運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的空間包圍體計(jì)算

由于刀具在特殊情況下的運(yùn)動(dòng)是以軸線垂直于坐標(biāo)系每個(gè)子平面 （即垂直于XOY面、垂直于XOZ面、垂直于YOZ面的運(yùn)動(dòng)）而進(jìn)行位移的，所以該種情況下刀具空間包圍體的計(jì)算較為簡(jiǎn)便；以垂直于XOY平面的特殊運(yùn)動(dòng)為例，其相應(yīng)的空間包圍體結(jié)構(gòu)如圖3所示。

為了便于對(duì)所計(jì)算的刀具空間包圍體進(jìn)行表達(dá)，不妨設(shè)O1點(diǎn)為刀具的刀柄點(diǎn)，O2（x2，y2，z2）點(diǎn)為刀具的刀尖點(diǎn)，（i，j，k）為刀具的刀軸矢量［15］；同時(shí)采用Sak1（xS1，yS1，zS1）、Sak2（xS2，yS2，zS2）、Sak3（xS3，yS3，zS3）、Sak4（xS4，yS4，zS4）這4個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)來(lái)表示刀具空間包圍體上側(cè)面 （O1點(diǎn)所處的位置）的范圍，采用Tip1（xT1，yT1，zT1）、Tip2（xT2，yT2，zT2）、Tip3（xT3，yT3，zT3）、Tip4（xT4，yT4，zT4）這4個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)來(lái)表示刀具空間包圍體下側(cè)面 （O2點(diǎn)所處的位置）的范圍，由此可推出刀具在該種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的空間包圍體的計(jì)算公式，其中上側(cè)面的范圍計(jì)算如式 （1）所示，下側(cè)面的范圍計(jì)算如式 （2）所示

圖3 垂直于XOY平面的刀具空間包圍體結(jié)構(gòu)

同理，可以推導(dǎo)出垂直于YOZ和XOZ平面特殊運(yùn)動(dòng)的刀具空間包圍體的計(jì)算公式，此處不再詳解。

2.2 一般運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的空間包圍體計(jì)算

刀具在一般運(yùn)動(dòng)情況下的空間包圍體計(jì)算方法要比刀具特殊運(yùn)動(dòng)情況下的包圍體計(jì)算方法復(fù)雜，如圖2所示的刀具一般運(yùn)動(dòng)情況的瞬時(shí)狀態(tài)為例，對(duì)刀具所占空間包圍體的計(jì)算方法進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：

（1）分別過(guò)刀尖點(diǎn)O2和刀柄點(diǎn)O1作垂直于XOY面的垂線，垂足分別為O″和O′，并連接兩垂足，即此時(shí)的O″O′為刀具軸線在平面XOY上的投影。在XOY平面內(nèi)，過(guò)垂足點(diǎn)O″作平行于X軸的平行線O″N，同時(shí)過(guò)垂足點(diǎn)O′作垂直于直線O″O′的垂線O′N，該垂線與直線O″N相交于N點(diǎn)；此外，過(guò)點(diǎn)O′作垂直于直線O″N的垂線O′M，垂足為M點(diǎn)。此時(shí)存在的空間幾何關(guān)系有：①平面O″O′N與平面O1O2O″O′相互垂直；②RtΔO″O′M、RtΔO′NM和RtΔO″NO′之間相互相似。根據(jù)所作的幾何輔助線，其相應(yīng)的空間輔助解析如圖4所示。

圖4 刀具空間包圍體的幾何輔助解析

（2）由已知的刀尖點(diǎn)坐標(biāo)O2（x2，y2，z2）、刀具長(zhǎng)度h以及刀軸矢量（i，j，k）可對(duì)刀具的刀柄點(diǎn)坐標(biāo)O1進(jìn)行求解，即O1（x2＋h·i，y2＋h·j，z2＋h·k）。分別根據(jù)O1和O2的坐標(biāo)可直接求出O′和O″的坐標(biāo)，即O′（x2＋h·i，y2＋h·j，z′），O″（x2，y2，z″），由于O′和O″在同一平面上，所以Z方向的值相同，即z′＝z″；根據(jù)已知參數(shù)，可以對(duì)O′M和O″M的長(zhǎng)度值進(jìn)行求解，其計(jì)算表達(dá)式如下所示

在平面O″O′N上，由O′M和O″M的值可以求出直線O′O″和直線O″N之間的夾角，該夾角的計(jì)算公式如下所示

（3）由于RtΔO″NO′與RtΔO′NM相似，所以根據(jù)直角三角形相似的原理可以推出θ＝θ′，于是可得MN＝tanθ′·O′M，由式 （3）和式 （4）可將MN的求解轉(zhuǎn)換為：MN＝tanθ·h·j，進(jìn)而求出N點(diǎn)坐標(biāo)為N（x2＋h·i＋tanθ·h·j，y2，z′）。計(jì)算N點(diǎn)坐標(biāo)的目的在于需要求出垂直于平面O1O2O″O′的向量（tanθ·h·j，－h(huán)·j，0），根據(jù)上述幾何空間的構(gòu)造與證明，可以得出垂直于平面O1O2O″O′的向量也垂直于刀具空間包圍體的左右側(cè)表面，即面A1A2B2B1和面D1D2C2C1。

（4）在圓O1上 （即刀具的刀柄面），過(guò)圓心O1點(diǎn)作平行于直線O′N的平行線O1Q，并與刀具側(cè)表面A1A2B2B1的A1B1邊交于Q點(diǎn)，由于O1Q與O′N平行，并且O′N垂直于面A1A2B2B1，所以O(shè)1Q也垂直于面A1A2B2B1。在確定刀具包圍體的左右側(cè)表面后，現(xiàn)需要對(duì)刀具空間包圍體的前后側(cè)表面進(jìn)行確定，由于O1O2和O1Q相互垂直，并且兩條直線所確定的平面垂直于刀具包圍體的左右側(cè)表面，所以現(xiàn)在只需求出垂直于平面O1O2Q的向量，便可以得出垂直于刀具包圍體前后側(cè)表面 （即面B2B1C1C2和面A2A1D1D2）的向量。

得到垂直于刀具空間包圍體的前后、左右側(cè)表面向量后，先將其進(jìn)行單位化，然后再對(duì)刀具空間包圍體的8個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算；刀具在一般運(yùn)動(dòng)情況下的空間包圍體的結(jié)構(gòu)解析如圖5所示。

通過(guò)對(duì)刀具在一般運(yùn)動(dòng)情況下的空間包圍體結(jié)構(gòu)的研究與分析，可對(duì)任意時(shí)刻的刀具空間包圍體的范圍進(jìn)行計(jì)算，為了便于算法公式的表達(dá)，將垂直于刀具空間包圍體的左右側(cè)表面的向量采用參數(shù)形式進(jìn)行表示，即（qx，qy，qz），則可推導(dǎo)出刀具空間包圍體下側(cè)面的4個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式如式 （6）所示，上側(cè)面的4個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式如式 （7）所示

圖5 刀具在一般運(yùn)動(dòng)情況下的空間包圍體結(jié)構(gòu)解析

3 刀具與工件模型的切削計(jì)算

在判斷刀具與工件模型是否發(fā)生切削時(shí)，需要確定兩個(gè)條件：①刀具在任意時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)體范圍；②刀具與工件模型發(fā)生切削的準(zhǔn)確范圍。

首先對(duì)刀具在任意時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)體范圍進(jìn)行分析與計(jì)算，刀具的旋轉(zhuǎn)體范圍可以根據(jù)刀具的軸線方程、母線方程、刀具長(zhǎng)度以及刀具半徑共同確定，那么相對(duì)于平底刀而言，可根據(jù)刀具的側(cè)表面、上表面以及下表面3個(gè)部分來(lái)共同構(gòu)造刀具的旋轉(zhuǎn)體范圍，如圖6所示。

圖6 刀具旋轉(zhuǎn)體的組成結(jié)構(gòu)分析

假設(shè)p（x，y，z）為工件模型內(nèi)的任意單元數(shù)據(jù)點(diǎn)，計(jì)算該點(diǎn)是否在刀具旋轉(zhuǎn)體范圍內(nèi)的方法如式 （8）所示，其中dtop和dbottom分別表示該點(diǎn)到刀具上、下表面的距離

在確定刀具旋轉(zhuǎn)體范圍后，現(xiàn)在需要對(duì)刀具與工件模型發(fā)生切削的準(zhǔn)確范圍進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)所求出刀具空間包圍體的范圍，通過(guò)下標(biāo)數(shù)組轉(zhuǎn)化算法對(duì)刀具與工件模型發(fā)生切削的范圍進(jìn)行定位，數(shù)組下標(biāo)轉(zhuǎn)換算法如式 （9）所示

式中：Xmin、Ymin、Zmin——所需要準(zhǔn)確定位的刀具與工件模型發(fā)生切削的最小范圍值，Xmax、Ymax、Zmax——所需要準(zhǔn)確定位的刀具與工件模型發(fā)生切削的最大范圍值；Txmin、Tymin、Tzmin——刀具空間包圍體的最小范圍值，Txmax、Tymax、Tzmax——刀具空間包圍體的最大范圍值；Sxmin、Symin、Szmin——定義工件模型的最小范圍值；Δx、Δy、Δz——X、Y、Z軸方向上各自的離散精度。

4 測(cè)試與應(yīng)用

在數(shù)控幾何仿真中，決定仿真效率的參數(shù)指標(biāo)可歸納為兩點(diǎn)：①刀具與工件模型的切削計(jì)算時(shí)間；②工件模型的更新顯示時(shí)間和顯示精度。由于本算法模型是針對(duì)刀具與工件模型的切削計(jì)算時(shí)間進(jìn)行研究與改進(jìn)的，所以提出有效切削率和切削計(jì)算耗時(shí)兩個(gè)測(cè)評(píng)指標(biāo)來(lái)對(duì)本文所研究的算法進(jìn)行測(cè)試。若采用N＿theory和N＿practice來(lái)分別表示刀具在每一個(gè)刀位點(diǎn)與工件模型發(fā)生切削計(jì)算的理論次數(shù)與實(shí)際次數(shù)，那么有效切削率的計(jì)算公式可表示為：（N＿theory/N＿practice）·100%；而切削計(jì)算耗時(shí)是指刀具在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用于判斷是否與工件模型發(fā)生切削所消耗的運(yùn)算時(shí)間。

在相同測(cè)試條件下，將本文的算法模型與文獻(xiàn) ［7］中所提出的刀具掃掠體計(jì)算方法進(jìn)行分析比較，其中，相同的測(cè)試條件主要有以下3點(diǎn)：①加工過(guò)程中的刀具運(yùn)動(dòng)軌跡；②工件模型的尺寸 （設(shè)定為：120mm×100mm×30mm）；③工件模型的離散精度 （設(shè)定為：1mm）。

切削計(jì)算耗時(shí)的測(cè)試比較如圖7所示，文獻(xiàn) ［7］中的算法在對(duì)刀具掃掠體進(jìn)行切削計(jì)算時(shí)，所消耗的平均時(shí)間為8.103ms，而采用本文的算法進(jìn)行切削計(jì)算所消耗的平均時(shí)間為2.338ms；在切削計(jì)算耗時(shí)方面，計(jì)算速度提高近3.5倍。

圖7 刀具的切削計(jì)算耗時(shí)比較

此外，本文研究的算法與文獻(xiàn) ［7］中所提的算法在有效切削率上的比較如圖8所示，本文算法的平均有效切削率為30.01%，而文獻(xiàn) ［7］中的算法在平均有效切削率上僅為22.47%，在有效切削率上平均高出了近7.5%。

圖8 刀具的有效切削率比較

本算法模型已成功應(yīng)用到基于OpenGL的VC6.0環(huán)境下所開(kāi)發(fā)的五軸數(shù)控仿真系統(tǒng)中，其應(yīng)用實(shí)例如圖9所示。

圖9 刀具空間包圍體算法的實(shí)例應(yīng)用

5 結(jié)束語(yǔ)

在多軸數(shù)控實(shí)體仿真中，如何減少刀具與工件模型之間的無(wú)效切削計(jì)算，以及怎樣降低切削計(jì)算所產(chǎn)生的耗時(shí)已成為提高數(shù)控實(shí)體仿真效率的一個(gè)主要因素，基于該思想，本文研究了適用于多軸數(shù)控實(shí)體仿真的切削計(jì)算方法，所提出的刀具空間包圍體算法同樣可以適用于其它不規(guī)則的刀具模型。該算法不僅在有效切削率和切削計(jì)算耗時(shí)上優(yōu)于其它未采用準(zhǔn)確定位法來(lái)進(jìn)行切削計(jì)算的方法，而且在實(shí)時(shí)仿真和干涉檢測(cè)領(lǐng)域，本方法還存在著重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。

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