基于球Bessel函數(shù)的鋼球溫度分布均勻化時(shí)間計(jì)算

王小增，曾輝，楊久紅

(嘉應(yīng)學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，廣東 梅州 514018)

工業(yè)用球是重要的基礎(chǔ)零部件，而且在一些特殊條件下，常常需要特殊材質(zhì)的球，來(lái)完成不同環(huán)境下所要求達(dá)到的功能。一些特殊材質(zhì)球已廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如9Cr18,3Cr13不銹鋼，銅、鋁、鈦合金鋼以及瑪瑙、玻璃、陶瓷球等材質(zhì)球的推廣應(yīng)用。其中，軸承鋼球?yàn)閺V泛使用的工業(yè)用球。為使鋼球具有所需要的力學(xué)性能、物理性能和化學(xué)性能，除合理選用材料和各種成形工藝外，熱處理工藝往往是必不可少的。在熱處理過(guò)程中，鋼球的溫度控制是一項(xiàng)重要的內(nèi)容，直接影響著鋼球的熱處理質(zhì)量，如果溫度控制不當(dāng)，可能會(huì)導(dǎo)致鋼球開(kāi)裂[1-3]。球Bessel函數(shù)常用于解決球?qū)ΨQ(chēng)物體熱傳導(dǎo)定解問(wèn)題[4-6]。下文采用能量守恒定律推導(dǎo)了鋼球的熱傳導(dǎo)方程，采用球Bessel函數(shù)給出了鋼球在溫度上升過(guò)程中熱傳導(dǎo)方程的解析解，并對(duì)不同半徑，初始溫度為900 ℃的鋼球溫度達(dá)到均勻分布的時(shí)間進(jìn)行分析，通過(guò)擬合方法得出了計(jì)算公式。

1 球體熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)

作為球形傳熱體，如圖1所示，在笛卡爾坐標(biāo)系中，球的溫度分布為u(x,y,z,t)，球形表面為∑，d∑為球體表面積微元，m為面積微元的外法線(xiàn)方向。

圖1 球模型

設(shè)Q1為單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)球形表面∑流出的熱量，Q2為球體單位時(shí)間內(nèi)溫度升高所需的熱量，Q3為球體單位時(shí)間內(nèi)熱源產(chǎn)生熱量，此系統(tǒng)無(wú)熱源，所以Q3為0。由能量守恒定律得

Q3=Q1+Q2，

(1)

即Q2=-Q1。

(2)

設(shè)qm為單位時(shí)間內(nèi)由法線(xiàn)方向單位面積流出的熱量，由Fourier傳熱定律得

(3)

式中：λ為傳熱系數(shù)，W/(m2·℃)。

由(3)式得

(4)

由Gauss定理得

(5)

結(jié)合(2)式得

(6)

(7)

(8)

2 球Bessel函數(shù)理論

Helmholtz方程在球坐標(biāo)下分離變量得到球Bessel函數(shù)[7-8]

(9)

式中：k，l為中間變量。

令y(x)=x-1/2v(x)，得到半奇數(shù)階球Bessel方程為

(10)

球Bessel方程的解可以用半奇數(shù)階球Bessel函數(shù)表示，其中

(11)

(12)

用φl(shuí)表示上述函數(shù)可以得出遞推公式為

(13)

當(dāng)l為整數(shù)時(shí)，

(14)

(15)

3 球體熱傳導(dǎo)方程求解

3.1 方程求解

設(shè)球體半徑為r0，初始溫度為u0，環(huán)境溫度為U0。球體內(nèi)部溫度分布u(r,t)為定解問(wèn)題，熱傳導(dǎo)方程為

(16)

其中，0≤r≤r0,t≥0。

為解決邊界條件非齊次問(wèn)題，設(shè)u=v+U0，則關(guān)于v的方程為

(17)

選取球坐標(biāo)系，邊界條件和初始條件與θ,φ無(wú)關(guān)，即v=v(r,t)滿(mǎn)足方程

(18)

設(shè)v(r,t)=R(r)T(t)，代入方程分離變量得

(19)

R(0)有界，R(r0)=0，則

T′+k2a2T=0 ，

(20)

式中：T為中間變量；T′為T(mén)的一階導(dǎo)數(shù)。

R(r)為0階球Bessel方程，解為0階球Bessel函數(shù)j0(kr),代入邊界條件有R(r0)=j0(kr0)=0，則

knr0=nπ;n=1,2…,N。

(21)

一般解為

(22)

代入初始條件有

(23)

展開(kāi)以球Bessel函數(shù)為基函數(shù)的廣義Fourier級(jí)數(shù)可得

(-1)n+12(u0-U0),

(24)

最后得到方程的解為

(25)

3.2 級(jí)數(shù)收斂性分析

n取足夠大的定值可以保證溫度分布的計(jì)算精度，球體溫度分布的定解為

(26)

4 實(shí)例分析

4.1 鋼球溫度分布

某鋼球半徑 25 mm，鋼球初始溫度20 ℃，加熱爐溫度保持為900 ℃，密度為7 800 kg/m3,比熱容為448 J/(kg·℃),對(duì)流換熱系數(shù)為70 W/(m2·℃) ，n取10。得到鋼球溫度分布表達(dá)式為

(27)

鋼球在不同時(shí)間和不同位置的三維溫度分布如圖2所示。鋼球在不同位置隨時(shí)間的溫度分布如圖3所示，由圖可知，越靠近鋼球表面，溫度變化越劇烈，所以表面的微小裂紋容易導(dǎo)致鋼球的開(kāi)裂。

圖2 鋼球三維溫度分布

圖3 鋼球在不同位置隨時(shí)間的溫度分布

4.2 鋼球溫度分布均勻化時(shí)間計(jì)算

選取半徑為5 ～25 mm的鋼球代入(26)式進(jìn)行計(jì)算，得出鋼球的各個(gè)位置溫度均達(dá)到899.99 ℃所需的時(shí)間如圖4所示，由圖4可知，分布均勻化所需時(shí)間為鋼球半徑的二次函數(shù)，所以進(jìn)行二階擬合。

圖4 不同半徑鋼球溫度分布均勻化時(shí)間

設(shè)x為鋼球半徑，y為溫度分布均勻化所需時(shí)間，鋼球溫度分布均勻化時(shí)間計(jì)算的二階擬合公式為

y=0.04x2-1.469 2×10-15x+1。

(28)

鋼球半徑為12.7 mm時(shí)，由擬合公式計(jì)算的溫度分布均勻化所需時(shí)間為7.451 6 s；由溫度分布(26)式計(jì)算的結(jié)果為7.5 s，誤差為0.6%，可見(jiàn)由擬合公式計(jì)算不同半徑的鋼球溫度分布均勻化所需時(shí)間是可行的。

5 結(jié)論

(1)與鋼球內(nèi)部相比，鋼球的表面溫度變化劇烈，所以鋼球表面的細(xì)微裂紋容易擴(kuò)大造成整個(gè)鋼球在熱處理過(guò)程中開(kāi)裂，在鋼球熱處理之前應(yīng)確保鋼球無(wú)微小裂紋缺陷；

(2)由二次擬合公式可以精確計(jì)算不同半徑鋼球溫度分布均勻化所需的時(shí)間；

(3)由球Bessel函數(shù)得出鋼球熱傳導(dǎo)方程的解，可以方便地計(jì)算鋼球在不同位置以及不同時(shí)間的溫度值。